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- 2021-06-16 发布
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第三节 等 比 数 列
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
等比数列与等比中项
(1)
等比数列的定义式
:________.
(2)
等比中项
①定义
:a,G,b
成等比数列
,
则
G
叫做
a
和
b
的等比中项
.
②
公式
:a,G,b
成等比数列⇔
_____.
③
性质
:{a
n
}
是等比数列⇒
=_____
或
=_______.
G
2
=ab
a
n
a
n+2
a
n-m
a
n+m
2.
等比数列的有关公式
(1)
通项公式
:a
n
=_____.
(2)
前
n
项和公式
:
a
1
q
n-1
3.
等比数列的性质
(1)
通项公式的推广
:a
n
=a
m
·____(n,m∈N
*
).
(2)
若
{a
n
}
为等比数列
,
且
k+
l
=m+n(k,
l
,m,n∈N
*
),
则
a
k
·a
l
=a
m
·a
n
.
(3)
若
{a
n
},{b
n
}(
项数相同
)
是等比数列
,
则
{λa
n
}(λ≠0),{ },{ },
{a
n
·b
n
},{ }
仍是等比数列
.
(4)
在等比数列
{a
n
}
中
,
等距离取出若干项也构成一个等比数列
,
即
a
n
,a
n+k
,
a
n+2k
,a
n+3k
,…
为等比数列
,
公比为
__.
q
n-m
q
k
(5)
若公比不为
-1
的等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
则
S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,…
成等比数
列
,
其公比为
__.
(6)
若
a
1
·a
2
·…·a
n
=T
n
,
则
T
n
, …
成等比数列
.
q
n
【
知识点辨析
】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
等比数列
{a
n
}
的公比
q>1,
则该数列单调递增
. (
)
(2)
数列
{a
n
},{b
n
}
都是等比数列
,
则数列
{a
n
b
n
},
仍然是等比数列
.
(
)
(3)
数列
{a
n
}
的通项
a
n
=a
n
,
则其前
n
项和为
S
n
= (
)
(4)
设
S
n
是等比数列
{a
n
}
的前
n
项和
,
则
S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
是等比数列
. (
)
提示
:
(1)×.
在等比数列
{a
n
}
中
,
若公比
q>1,
当
a
1
>0
时
,
该数列为递增数列
,a
1
<0
时
,
该数列为递减数列
,
所以
(1)
错误
.
(2)√.
设等比数列
{a
n
},{b
n
}
的公比分别为
q
1
,q
2
,
则
=q
1
q
2
(
与
n
无关的常
数
), (
与
n
无关的常数
),
所以
(2)
正确
.
(3)×.
对于数列
{a
n
},
当
a=1
时
,S
n
=n,
当
a≠1
时
,
则其前
n
项和为
S
n
=
所以
(3)
错误
.
(4)×.
在公比
q=-1,n
为偶数时
,S
n
=S
2n
-S
n
=S
3n
-S
2n
=0,
此时
,S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
不是等
比数列
,
所以
(4)
错误
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
运算错误
考点一、
T5
2
q=1
的特殊性是否讨论
考点一、
T2
3
不能进行正确转化
考点二、
T2
4
等比数列性质应用错误
考点三、角度
1,2
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
5P25T3
改编
)3+
与
3-
的等比中项为
________.
【
解析
】
因为
(3+ )×(3- )=3
2
-( )
2
=4,
所以
3+
与
3-
的等比中
项为
±2.
答案
:
±2
2.(
必修
5P31B
组
T3
改编
)
一个等比数列的前
n
项和为
12,
前
2n
项和为
36,
则前
3n
项和为
________.
【
解析
】
因为
S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
成等比数列
,
所以
12,24,S
3n
-36
成等比数列
,
所以
24
2
=12(S
3n
-36),
解得
S
3n
=84.
答案
:
84
3.(
必修
5P27
例
5
改编
)
设
{a
n
}
是公比为正数的等比数列
,
若
a
1
=1,a
5
=16,
则数列
{a
n
}
的前
7
项和为
________.
【
解析
】
设等比数列
{a
n
}
的公比为
q(q>0),
由
a
5
=a
1
q
4
=16,a
1
=1,
得
16=q
4
,
解得
q=2,
所以
S
7
= =127.
答案
:
127
【
解题新思维
】
活用等比数列前
n
项和的性质解题
【
结论
】
在等比数列
{a
n
}
中
,
其前
n
项和为
S
n
,
当公比
q≠-1
时
,S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,
…
成等比数列
(n∈N
*
).
【
典例
】
设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
=3,
则
=________.
【
解析
】
由等比数列的性质
S
3
,S
6
-S
3
,S
9
-S
6
仍成等比数列
,
由已知得
S
6
=3S
3
,
所以 即
S
9
-S
6
=4S
3
,S
9
=7S
3
,
所以
.
答案
:
【
一题多解
】
因为
{a
n
}
为等比数列
,
由
=3,
设
S
6
=3a,S
3
=a(a≠0),
所以
S
3
,
S
6
-S
3
,S
9
-S
6
为等比数列
,
即
a,2a,S
9
-S
6
成等比数列
,
所以
S
9
-S
6
=4a,
解得
S
9
=7a,
所
以
答案
:
【
迁移应用
】
已知数列
{a
n
}
是等比数列
,S
n
为其前
n
项和
,
若
a
1
+a
2
+a
3
=4,a
4
+a
5
+a
6
=8,
则
S
12
=
(
)
A.40 B.60 C.32 D.50
【
解析
】
选
B.
数列
S
3
,S
6
-S
3
,S
9
-S
6
,S
12
-S
9
是等比数列
,
即数列
4,8,S
9
-S
6
,S
12
-S
9
是首项为
4,
公比为
2
的等比数列
,
则
S
9
-S
6
=a
7
+a
8
+a
9
=16,S
12
-S
9
=a
10
+a
11
+a
12
=32,
因此
S
12
=4+8+16+32=60.
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