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- 2021-06-16 发布
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专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
命题范围:二元一次不等式(组)简单的线性规划问题
[基础强化]
一、选择题
1.在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A.(3,0) B.(1,3)
C.(0,3) D.(0,0)
2.不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A.3 B.9
C.18 D.36
3.设P(x,y)其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( )
A.10 B.9
C.3 D.无数个
4.已知点P(1,-2),Q(a,2),若直线2x+y-4=0与线段PQ有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,1)
5.[2019·天津卷]设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )
A.2 B.3
C.5 D.6
6.[2020·贵阳一中高三测试]若以不等式组的解为坐标的点所表示的平面区域为三角形,且其面积为,则实数a的值可以为( )
A.-3 B.1
C.-3或1 D.3或-1
7.[2019·浙江卷]若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )
A.-1 B.1
C.10 D.12
8.[2020·石家庄一中高三测试]若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9
C.10 D.12
9.[2020·银川一中高三测试]若x,y满足约束条件则t=的范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.[2020·全国卷Ⅲ]若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为________.
11.若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
12.[2020·邯郸一中高三测试]已知实数x,y满足则的取值范围为________.
[能力提升]
13.若z=mx+y在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个,则z的最小值是( )
A.-1 B.1
C.0 D.0或±1
14.[2020·开封一中高三测试]已知x,y满足条件则目标函数z=x+y从最小值变化到1时,所有满足条件的点(x,y)构成的平面区域的面积为( )
A. B.
C. D.
15.[2020·全国卷Ⅰ]若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为________.
16.[2020·合肥一中高三测试]已知实数x,y满足存在x,y使得2x+y≤a成立,则实数a的取值范围是________.
专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.D
2.
C 在平面直角坐标系中画出可行域如图的阴影部分所示,该阴影部分的形状为等腰梯形,其面积S=×(3+9)×3=18.
解析图3.A 当x=0时,y=0,1,2,3,共4个点;
当x=1时,y=0,1,2,共3个点;
当x=2时,y=0,1,共2个点;
当x=3时,y=0,共1个点.
∴共有4+3+2+1=10个点.
4.A 直线2x+y-4=0与线段PQ有公共点,说明点P,Q不在直线2x+y-4=0的同一侧,∴(2-2-4)(2a+2-4)≤0,解得a≥1,实数a的取值范围是[1,+∞),故选A.
5.C 本题主要考查线性规划,考查数形结合思想,考查的核心素养是数学运算、直观想象.
画出可行域如图中阴影部分所示,作出直线-4x+y=0,并平移,可知当直线过点A时,z取得最大值. 由可得所以点A的坐标为(-1,1),故zmax=-4×(-1)+1=5.
6.B 作出不等式组对应的平面区域如图所示,若不等式组表示的平面区域为三角形,由可得即A(2,0).满足题意时,点A(2,0)位于直线x-y+2a=0下方,即2+2a>0,解得a>-1,据此可排除A,C,D选项,故选B.
7.C 本题主要考查简单的线性规划知识,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.
作出可行域如图中阴影部分所示,数形结合可知,当直线z=3x+2y过点(2,2)时,z取得最大值,zmax=6+4=10.故选C.
8.C 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由x2+y2是点(x,y)到原点距离的平方,故只需求出三条直线的交点A(3,-1),B(0,2)C(0,-3)到原点距离的平方,然后再进行比较.经计算点A(3,-1)是最优解,x2+y2的最大值是10.故选C.
9.B 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为目标函数t=表示区域内的点与点M(3,2)连线的斜率.由图知当区域内的点与点M的连线与圆相切时斜率分别取最大值或最小值.设切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,则有=2,解得k=或k=0,所以t=的范围是,故选B.
10.7
解析:如图所示,x,y满足的可行域为△AOB及其内部.
由目标函数z=3x+2y得y=-x+.
当直线y=-x+过点A(1,2)时,z取最大值,最大值为7.
11.9
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.
由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.
由得点C(5,4),
∴ zmax=5+4=9.
12.
解析:不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示点D(-3,-1)与可行域内的点连线的斜率,很明显,在坐标原点处,目标函数取得最小值=,联立方程得可得则在点B处取得最大值=,综上可得,的取值范围为.
13.C 画出平面区域如图所示,可以判断出z的几何意义是直线mx+y-z=0在y轴上的截距,只有直线mx+y-z=0与直线x-2y=0重合时,才符合题意,此时,相应z的最小值为0.
14.A 画出表示的可行域,如图,平移直线y=-x+z,从经过点A到与直线BC:y=-x+1重合,目标函数z=x+y从最小值连续变化到1,满足条件的点(x,y)构成的平面区域的面积为四边形ABCO,面积为×2×2-×1×=,故选A.
15.1
解析:作出可行域如图,由z=x+7y得y=-+,易知当直线y=-+经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+7×0=1.
16.[2,+∞)
解析:令z=2x+y,画出约束条件的可行域,由可行域知目标函数过点B时取最小值,由可得x=-1,y=4,可得B(-1,4),z的最小值为2×(-1)+4=2.所以若存在x,y,使2x+y≤a成立,只需使a≥(2x+y)min,所以a≥2.
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