辽宁省抚顺市2020届高三一模考试数学（理）试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com ‎2020年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试 数学（供理科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试题册上无效.‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写出本试题册上无效.‎ ‎4．考试结束后，将本试题册和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的四则运算求出，再根据共轭复数的概念得到．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式并用列举法求出集合，再根据交集的定义求解即可．‎ - 26 -‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎3.居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.一般来说，CPI的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，下图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图.‎ 则下列对该折线图分析正确的是（ ）‎ A. 这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数 B. 这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数 C. 2009年～2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年～2018年这4年居民消费价格指数的方差 D. 2011年～2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数的平均值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 结合图象，从低到高依次写出各点的横坐标（即年份），由此可判断A选项，观察各点的纵坐标，由此可判断B选项与D选项；根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，从而可判断C选项．‎ ‎【详解】解：结合图象，从低到高各点的横坐标依次为2009，2015，2014（2017），2016，2018，2013，2012，2010，2011，则A错；‎ 观察各点的纵坐标，可得2014年与2017年的数据相等，其余各年的数据均不相等，则B错；‎ 同时2011年～2013年这3年居民消费价格指数均大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数，则D对；‎ 根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，明显发现2015年～2018年这4年居民消费价格指数更稳定，则C错；‎ 故选：D．‎ 点睛】本题主要考查根据折线图解决实际问题，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎4.函数的图象大致为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（法一）结合选项中的图象，求出的符号即可得出结论；‎ ‎（法二）求导，判断函数在上的单调性，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：（法一）∵，‎ ‎∴，‎ - 26 -‎ 符合要求的只有D选项；‎ ‎（法二）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 符合要求的只有D选项；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，通常结合函数的定义域、奇偶性、单调性等性质利用排除法解题，属于基础题．‎ ‎5.把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不同排法的种数为（ ）.‎ A. 120 B. 96 C. 48 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用捆绑法将《周髀算经》和《九章算术》捆绑在一起后与其余三本书全排列，再乘以《周髀算经》和《九章算术》的全排列即可．‎ ‎【详解】解：由题意可得《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻的不同排法有种，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查排列中的相邻问题，一般用捆绑法解决，属于基础题．‎ ‎6.函数的最小正周期及对称轴是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数为的形式，再用整体法即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎，‎ ‎∴函数的最小正周期，‎ 由得，‎ 即函数的对称轴为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题．‎ ‎7.已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：‎ ‎①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．‎ ‎【详解】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；‎ - 26 -‎ ‎②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；‎ ‎③若，则，故③为真命题；‎ ‎④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．‎ ‎8.设双曲线的左、右两个焦点分别为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义可得，再根据点在双曲线的右支上，，从而求得此双曲线的离心率的范围．‎ ‎【详解】解：由双曲线的定义可得，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ - 26 -‎ ‎∵点在双曲线的右支上，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴离心率，‎ 又双曲线的离心率，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率的应用，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎9.若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，由此即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎10.如图，在正方体中，是棱的中点，则平面与平面 - 26 -‎ 的交线与直线所成角的正切值为（ ）.‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长与直线相交于，连接，则为平面与平面的交线与直线所成角，从而解直角三角形即可．‎ ‎【详解】解：延长与直线相交于，连接，‎ 则平面与平面的交线为，‎ 而，‎ ‎∴为平面与平面的交线与直线所成角，‎ ‎∵是棱的中点，且，‎ ‎∴，‎ - 26 -‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，若为坐标原点，点、在抛物线上，且，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，由题意可设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线方程并消元，由韦达定理得，，又可得，由此可求出，再根据抛物线的定义即可求出比值．‎ ‎【详解】解：由题意可得，‎ 由题意可知直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，‎ 联立消元得，‎ 设，，不妨设，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ - 26 -‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查转化与化归思想，属于中档题．‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求导得，从而有在上单调递减，，根据单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ - 26 -‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用，考查利用单调性解不等式，本题的关键是构造函数，属于难题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：‎ ‎13.在菱形中，若，则的值为______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，由此可求出答案．‎ ‎【详解】解：设，如图 则，‎ 则，‎ 故答案为：18．‎ ‎【点睛】本题主要考查定义法求平面向量的数量积，考查平面向量的基本运算，属于基础题．‎ - 26 -‎ ‎14.在中，角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意及余弦定理可得，求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ 由余弦定理，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．‎ ‎15.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.‎ ‎16.“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子 - 26 -‎ 一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.‎ 某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是______.如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为______.‎ ‎【答案】 (1). 800 (2). 120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一空因为样本容量为800，则回答“不是”的人数不超过样本容量即可；结合掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，则回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，由此可得出第二空答案．‎ ‎【详解】解：∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查，‎ ‎∴回答为“不是”的人数的最大值是800，‎ ‎∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，‎ ‎∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，‎ 而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，‎ 则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，‎ ‎∵其中共有260人回答为“是”，‎ ‎∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60，‎ ‎∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120，‎ 故答案为：800；120．‎ ‎【点睛】本题主要考查随机抽样的概念及特征，考查涉及敏感性信息的问卷调查，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的公差为，前项和为，，，且______.从“①等比数列的公比，，；②，，为等比数列的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.‎ - 26 -‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】选择②；（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若选①，则由题意，则，不符合题意，故选②；‎ ‎（1）由题意得，，由此解方程组即可得出；‎ ‎（2）利用裂项相消法求出，而，从而得出证明．‎ ‎【详解】解：若选①，因为的公比，且，则，则，不符合题意，故选②；‎ ‎（1）由为等差数列，，得，则，‎ 又，，为等比数列的前3项，‎ ‎∴，即，解得或（舍），‎ ‎∴，；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的应用，考查裂项相消法求数列的和，考查计算能力与转化能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，已知等边与直角梯形所在的平面互相垂直，且，，，.‎ - 26 -‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，则，得，则，则平面；‎ ‎（2）解：取中点，中点，连接，，则，可证平面，则平面，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与直线的方向向量的夹角的余弦值即可求出答案．‎ ‎【详解】（1）证明：连接交于点，连接，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ - 26 -‎ ‎（2）解：取中点，中点，连接，，‎ ‎∴，‎ 又∵等边，∴；‎ ‎∵平面平面，，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面，‎ 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎∴，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由得一个，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查证明线面平行的方法，考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．‎ ‎19.我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：）的数据，将这些数据按照 - 26 -‎ ‎，，，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中的值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于的家庭数；‎ ‎（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数；‎ ‎（3）现从月均用水量在，的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在中的数量为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1），36000；（2）2.02；（3）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，解得，由此可得全市月均用水量不低于的家庭所占比例为12%，从而求出答案；‎ ‎（2）直接根据平均数的计算公式求解即可；‎ ‎（3）按照分层抽样抽取9个家庭，即抽3家，抽6家，因此可能的取值为1,2,3,4，根据概率计算公式即可求出的分布列，再根据期望的计算公式即可求出期望．‎ ‎【详解】解：（1）∵频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴月均用水量不低于的家庭所占比例，‎ - 26 -‎ 因此估计全市月均用水量不低于的家庭所占比例为12%，‎ 家庭数约为；‎ ‎（2）因为，‎ 因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02；‎ ‎（3）在月均用水量，中，有4家，有8家，共12家，‎ 按照分层抽样抽取9个家庭，即抽3家，抽6家，‎ 因此可能取值为1,2,3,4，‎ 其中，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望．‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的实际应用，考查随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆，为椭圆上的动点，点在轴上，且直线垂直于轴，点满足.‎ - 26 -‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）设点是椭圆的右焦点，点是上在第一象限内的点，过点作的切线交椭圆于，两点，试判断的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由已知有，由题意得，由此可求出答案；‎ ‎（2）由已知得，设，且 结合两点间距离公式以及椭圆的方程可得，，从而得．‎ ‎【详解】解：（1）设，，由已知有，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ 代入得，‎ ‎∴的方程为；‎ - 26 -‎ ‎（2）由已知得，设，且，‎ 则，‎ 又，代入上式得 ‎，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 同理，得，‎ 故的周长为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：若，则对于任意，不等式恒成立．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）求定义域，求导，再分类讨论得导数符号，从而得出函数的单调性；‎ ‎（2）原不等式即，变形为，只需证恒成立；设函数，，结合导数易得，，由，得，从而得出证明．‎ ‎【详解】（1）解：函数的定义域为，，‎ ‎①当时，，则内单调递减；‎ ‎②当时，由得，，解得，由得，，则在内单调递减，在内单调递增；‎ ‎③当时，，则，则在内单调递减；‎ ‎④当时，由得，，解得，或，由得，，则在，内单调递减，在内单调递增；‎ - 26 -‎ 综上：当时，在内单调递减；在内单调递增；‎ 当时，在内单调递减；‎ 当时，在，内单调递减，在内单调递增；‎ ‎（2）证明：原不等式即，变形为，‎ ‎∴只需证恒成立，‎ 设函数，，‎ 因为，易得在单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ ‎，在单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 因为，所以，即在内恒成立，‎ ‎∴若，则对于任意，不等式．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．‎ ‎※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ 选修4——4：坐标系与参数方程 - 26 -‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线与曲线的公共点的极坐标；‎ ‎（2）若点的极坐标为，设曲线与轴相交于点，则在曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点的直角坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）存在，点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出曲线和的直角坐标方程，联立方程求得两曲线的公共点的直角坐标，再转化为极坐标；‎ ‎（2）求出点和点的直角坐标，假设存在点满足条件，设点，求得，，由题意得，结合数量积的坐标表示即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）由题知，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，‎ 联立与直角坐标方程解得或，‎ 故两曲线的公共点的直角坐标为和，‎ ‎∴曲线与曲线的公共点的极坐标为，；‎ ‎（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，‎ - 26 -‎ 假设存在点满足条件，不妨设点，‎ 则，，‎ 因为，所以，即，且，‎ 得，‎ 化简得，又，‎ 得，，‎ 所以点，‎ 即在曲线上存在点，使得．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力，属于中档题．‎ 选修4——5：不等式选讲 ‎23.设，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：恒成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；‎ ‎（2）结合绝对值三角不等式、基本不等式证明即可．‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式等价于①，‎ 当时，①式化为，解得，解集为；‎ 当时，①式化为，解得，从而；‎ - 26 -‎ 当时，①式化为，解得，从而；‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当且仅当且时等号成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题．‎ - 26 -‎ - 26 -‎