2020-2021学年台湾台湾高三上数学期中试卷 4页

‎2020-2021学年台湾台湾高三上数学期中试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 已知集合A={x||x|<3，x∈Z}‎，B=‎‎{x|x‎2‎−2x>0}‎，则集合A∩B的元素个数有(        ) ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 ‎ ‎ ‎2. 已知 a=‎‎2‎‎−‎‎1‎‎3‎，b=log‎2‎‎1‎‎3‎,c=‎log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎，则（        ） ‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.‎c>a>b 二、填空 ‎ ‎ ‎ 某工厂利用随机数表对生产的‎600‎个零件进行抽样测试，先将‎600‎个零件进行编号，编号分别为‎001‎，‎002‎，……，‎599‎，‎600‎．从中抽取‎60‎个样本，下图提供随机数表的第‎4‎行到第‎6‎行： ‎32 21 18 34 29‎  ‎78 64 54 07 32‎  ‎52 42 06 44 38‎  ‎12 23 43 56 77‎  ‎35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31‎  ‎34 57 86 07 36‎  ‎25 30 07 32 86‎  ‎23 45 78 89 07‎  ‎23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43‎  ‎67 89 53 55 77‎  ‎34 89 94 83 75‎  ‎22 53 55 78 32‎  ‎45 77 89 23 45‎ 若从表中第‎6‎行第‎6‎列开始向右依次读取‎3‎个数据，则得到的第‎6‎个样本编号是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 若变量x，y满足约束条件x+y≤2,‎‎2x−3y≤9,‎x≥0,‎则z=x+2y的最小值是________．   ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 某商品在‎5‎家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示： ‎ 价格x（元）‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量y（件）‎ ‎11‎ a ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是y‎∧‎‎=−3.2x+4a，则a=‎________．‎ 三、应用题 ‎ ‎ ‎ 已知等比数列 ‎{an}‎ 的公比 q>0‎ ,其前n项和为Sn，且S‎4‎‎=120‎，a‎3‎与a‎4‎ 的等差中项为 ‎6‎a‎2‎. ‎ ‎(1)‎求数列 ‎{an}‎ 的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设bn‎=‎‎1‎‎(log‎3‎an)⋅(log‎3‎an+1‎)‎ ，数列‎{bn}‎的前n项和为Tn，求Tn.‎ ‎ ‎ ‎ 在如图所示的多面体中，平面ABB‎1‎A‎1‎⊥平面ABCD，四边形ABB‎1‎A‎1‎是边长为‎2‎的菱形，四边形ABCD为直角梯形，四边形BCC‎1‎B‎1‎为平行四边形，且AB‎//‎CD，AB⊥BC，CD=1‎. ‎ ‎1‎若E，F分别为A‎1‎C‎1‎，BC‎1‎的中点，求证：EF⊥平面AB‎1‎C‎1‎；‎ ‎ ‎ ‎2‎若‎∠A‎1‎AB=‎‎60‎‎∘‎，AC‎1‎与平面ABCD所成角的正弦值为‎5‎‎5‎，求二面角A‎1‎‎−AC‎1‎−D的余弦值.‎ 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 参考答案与试题解析 ‎2020-2021学年台湾台湾高三上数学期中试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 一元二次不等式的解法 交集及其运算 ‎【解析】‎ 先求出集合A、集合B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 集合A=‎‎{−2，−1，0，1， 2}‎， 集合B=‎‎{x|x‎2‎−2x>0}=‎‎{x|x>2或x<0}‎， ∴ 集合A∩B=‎‎{−2，−1}‎． ∴ 集合A∩B中元素的个数为‎2‎． 故选B.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 指数式、对数式的综合比较 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解： a=‎‎2‎‎−‎‎1‎‎3‎，则‎01‎， 故c>a>b. 故选D.‎ 二、填空 ‎【答案】‎ ‎578‎ ‎【考点】‎ 简单随机抽样 ‎【解析】‎ 从表中第‎5‎行第‎6‎列开始向右读取数据，求出得到的前‎6‎个编号，由此能滶出结果．‎ ‎【解答】‎ 解：从第‎6‎行第‎6‎列开始向右读取数据编号内的数据依次为： ‎436,535,577,348,522,535,578,324,577,⋯‎， 因为‎535‎重复出现，所以符合要求的数据依次为 ‎436,535,577,348,522,578,324,⋯‎， 故第六个数据为‎578‎， 故答案为：‎578‎.‎ ‎【答案】‎ ‎−6‎ ‎【考点】‎ 求线性目标函数的最值 简单线性规划 ‎【解析】‎ 本题主要考查线性规划的应用.‎ ‎【解答】‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：   由z=x+2y得y=−‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎z， 平移直线y=−‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎z， 由图象知当直线经过点C时，z最小， ‎2x−3y=9,‎x=0,‎解得：x=0,‎y=−3,‎ ∴ C(0,−3)‎， 最小值为z=0+2×(−3)=−6‎. 故答案为：‎−6‎．‎ ‎【答案】‎ ‎10‎ ‎【考点】‎ 两个变量的线性相关 ‎【解析】‎ 根据回归直线过样本中心点‎(x‎¯‎, y‎¯‎)‎，求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可．‎ ‎【解答】‎ 解：根据题意得， x‎¯‎‎=‎9+9.5+10+10.5+11‎‎5‎=10‎， y‎¯‎‎=‎11+a+8+6+5‎‎5‎=a‎5‎+6‎， ‎ 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 因为回归直线过样本中心点‎(x‎¯‎, y‎¯‎)‎， 所以a‎5‎‎+6=−3.2×10+4a， 解得a=10‎． 故答案为：‎10‎．‎ 三、应用题 ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎因为a‎3‎‎+a‎4‎=2×6‎a‎2‎ ， 所以a‎1‎q‎2‎‎+a‎1‎q‎3‎=12a‎1‎q， 又q>0‎， 则q‎2‎‎+q−12=0‎，即q=3‎ 或q=−4‎ (舍)， 所以 S‎4‎‎=a‎1‎‎(1−q‎4‎)‎‎1−q=a‎1‎‎(1−81)‎‎1−3‎=120‎， 解得a‎1‎‎=3‎， 所以an‎=‎‎3‎n.‎ ‎(2)‎因为bn‎=‎‎1‎‎(log‎3‎an)⋅(log‎3‎an+1‎)‎， 所以 bn‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n−‎‎1‎n+1‎， 所以 Tn‎=b‎1‎+b‎2‎+⋯+‎bn ‎=1−‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎+⋯+‎1‎n−‎‎1‎n+1‎ ‎=1−‎1‎n+1‎=‎nn+1‎.‎ ‎【考点】‎ 等差中项 数列的求和 等比数列的前n项和 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎因为a‎3‎‎+a‎4‎=2×6‎a‎2‎ ， 所以a‎1‎q‎2‎‎+a‎1‎q‎3‎=12a‎1‎q， 又q>0‎， 则q‎2‎‎+q−12=0‎，即q=3‎ 或q=−4‎ (舍)， 所以 S‎4‎‎=a‎1‎‎(1−q‎4‎)‎‎1−q=a‎1‎‎(1−81)‎‎1−3‎=120‎， 解得a‎1‎‎=3‎， 所以an‎=‎‎3‎n.‎ ‎(2)‎因为bn‎=‎‎1‎‎(log‎3‎an)⋅(log‎3‎an+1‎)‎， 所以 bn‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n−‎‎1‎n+1‎， 所以 Tn‎=b‎1‎+b‎2‎+⋯+‎bn ‎=1−‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎+⋯+‎1‎n−‎‎1‎n+1‎ ‎=1−‎1‎n+1‎=‎nn+1‎.‎ ‎【答案】‎ ‎1‎证明：连结A‎1‎B， ∵ 四边形ABB‎1‎A‎1‎为菱形，∴ A‎1‎B⊥AB‎1‎.‎ ‎∵ 平面ABB‎1‎A‎1‎⊥平面ABCD，平面ABB‎1‎A‎1‎‎∩‎平面ABCD=AB， BC⊂‎平面ABCD，AB⊥BC，‎ ‎∴ BC⊥平面ABB‎1‎A‎1‎，又A‎1‎B⊂‎平面ABB‎1‎A‎1‎，∴ A‎1‎B⊥BC.‎ ‎∵ BC//B‎1‎C‎1‎，∴ A‎1‎B⊥B‎1‎C‎1‎. ∵ B‎1‎C‎1‎‎∩‎AB‎1‎‎=‎B‎1‎，∴ A‎1‎B⊥平面AB‎1‎C‎1‎.‎ ‎∵ E，F分别为A‎1‎C‎1‎，BC‎1‎的中点， ∴ EF//A‎1‎B，∴ EF⊥平面AB‎1‎C‎1‎.‎ ‎2‎解：以AB中点为原点建立如图空间直角坐标系，‎ 设BC=t，‎ 则A(1，0，0)‎，B(−1，0，0)‎，C(−1，t，0)‎，D(0，t，0)‎，A‎1‎‎(0，0，‎3‎)‎，B‎1‎‎(−2，0，‎3‎)‎，‎ AC‎1‎‎→‎‎=AA‎1‎‎→‎+AC‎→‎=(−3，t，‎3‎)‎‎，平面ABCD的法向量n‎→‎‎=(0，0，1)‎,‎ cos⟨AC‎1‎‎→‎,n‎→‎⟩=‎3‎‎12+‎t‎2‎=‎‎5‎‎5‎‎，解得t=‎‎3‎，‎ ‎∴ AC‎1‎‎→‎‎=(−3，‎3‎，‎3‎)‎，AD‎→‎‎=(−1，‎3‎，0)‎，AA‎1‎‎→‎‎=(−1，0，‎3‎)‎.‎ 设平面ADC‎1‎的一个法向量为m‎→‎‎=(x‎1‎，y‎1‎，z‎1‎)‎，‎ 由m‎→‎‎⋅AC‎→‎‎1‎=0‎m‎→‎‎⋅AD‎→‎=0‎得‎−3x‎1‎+‎3‎y‎1‎+‎3‎z‎1‎=0‎‎−x‎1‎+‎3‎y‎1‎=0‎，‎ 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 令y‎1‎‎=1‎，得m=(‎3‎，1，2)‎.‎ 设平面AA‎1‎C‎1‎的一个法向量为n‎→‎‎=(x‎2‎，y‎2‎，z‎2‎)‎，由n‎→‎‎⋅AC‎1‎‎→‎=0，‎n‎→‎‎⋅AA‎1‎‎→‎=0‎，‎ 得‎−3x‎2‎+‎3‎y‎2‎+‎3‎z‎2‎=0，‎‎−x‎2‎+‎3‎z‎2‎=0‎，‎ 令z‎2‎‎=1‎，得n‎→‎‎=(‎3‎，2，1)‎.‎ ‎∴ ‎cos⟨m‎→‎,n‎→‎⟩=‎m‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎ ‎=‎3+2+2‎‎3+1+4‎‎×‎‎3+4+1‎=‎7‎‎8‎‎×‎‎8‎=‎‎7‎‎8‎‎.‎ 又∵ 二面角A‎1‎‎−AC‎1‎−D是钝角，‎ ‎∴ 二面角A‎1‎‎−AC‎1‎−D的余弦值是‎−‎‎7‎‎8‎.‎ ‎【考点】‎ 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ ‎1‎证明：连结A‎1‎B， ∵ 四边形ABB‎1‎A‎1‎为菱形，∴ A‎1‎B⊥AB‎1‎.‎ ‎∵ 平面ABB‎1‎A‎1‎⊥平面ABCD，平面ABB‎1‎A‎1‎‎∩‎平面ABCD=AB， BC⊂‎平面ABCD，AB⊥BC，‎ ‎∴ BC⊥平面ABB‎1‎A‎1‎，又A‎1‎B⊂‎平面ABB‎1‎A‎1‎，∴ A‎1‎B⊥BC.‎ ‎∵ BC//B‎1‎C‎1‎，∴ A‎1‎B⊥B‎1‎C‎1‎. ∵ B‎1‎C‎1‎‎∩‎AB‎1‎‎=‎B‎1‎，∴ A‎1‎B⊥平面AB‎1‎C‎1‎.‎ ‎∵ E，F分别为A‎1‎C‎1‎，BC‎1‎的中点， ∴ EF//A‎1‎B，∴ EF⊥平面AB‎1‎C‎1‎.‎ ‎2‎解：以AB中点为原点建立如图空间坐标系，‎ ‎ ‎ 设BC=t，‎ 则A(1，0，0)‎，B(−1，0，0)‎，C(−1，t，0)‎，D(0，t，0)‎，A‎1‎‎(0，0，‎3‎)‎，B‎1‎‎(−2，0，‎3‎)‎，‎ AC‎1‎‎→‎‎=AA‎1‎‎→‎+AC‎→‎=(−3，t，‎3‎)‎‎，平面ABCD的法向量n‎→‎‎=(0，0，1)‎,‎ cos⟨AC‎1‎‎→‎,n‎→‎⟩=‎3‎‎12+‎t‎2‎=‎‎5‎‎5‎‎，解得t=‎‎3‎，‎ ‎∴ AC‎1‎‎→‎‎=(−3，‎3‎，‎3‎)‎，AD‎→‎‎=(−1，‎3‎，0)‎，AA‎1‎‎→‎‎=(−1，0，‎3‎)‎.‎ 设平面ADC‎1‎的一个法向量为m‎→‎‎=(x‎1‎，y‎1‎，z‎1‎)‎，‎ 由m‎→‎‎⋅AC‎→‎‎1‎=0‎m‎→‎‎⋅AD‎→‎=0‎得‎−3x‎1‎+‎3‎y‎1‎+‎3‎z‎1‎=0‎‎−x‎1‎+‎3‎y‎1‎=0‎，‎ 令y‎1‎‎=1‎，得m=(‎3‎，1，2)‎.‎ 设平面AA‎1‎C‎1‎的一个法向量为n‎→‎‎=(x‎2‎，y‎2‎，z‎2‎)‎，由n‎→‎‎⋅AC‎1‎‎→‎=0，‎n‎→‎‎⋅AA‎1‎‎→‎=0‎，‎ 得‎−3x‎2‎+‎3‎y‎2‎+‎3‎z‎2‎=0，‎‎−x‎2‎+‎3‎z‎2‎=0‎，‎ 令z‎2‎‎=1‎，得n‎→‎‎=(‎3‎，2，1)‎.‎ ‎∴ cos⟨m‎→‎,n‎→‎⟩=m‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎=‎3+2+2‎‎3+1+4‎‎×‎‎3+4+1‎=‎7‎‎8‎‎×‎‎8‎=‎‎7‎‎8‎.‎ 又∵ 二面角A‎1‎‎−AC‎1‎−D是钝角，‎ ‎∴ 二面角A‎1‎‎−AC‎1‎−D的余弦值是‎−‎‎7‎‎8‎.‎ 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页