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- 2021-06-16 发布
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[练案55]第六讲 双曲线
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·河北保定模拟)若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是( A )
A．m<2或m>6 B．2－2 D．－60，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析] ∵e＝＝＝，且a>0，b>0，
- 8 -
∴＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.
5．(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1(a>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，联立双曲线－y2＝1，解得|y|＝，由题意得＝2，所以a2＝，所以e＝＝＝，故选D.
6．(2019·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( C )
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
[解析] 由题意知＝，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝60)的左、右焦点，点P
- 8 -
在双曲线上，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( C )
A．8 B．6
C．4 D．2
[解析] 在△F1PF2中，由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2＝16.
△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°＝4.故选C.
9．(2019·湖北省武汉市部分重点高中联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝3相切，则该双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
[解析] 令－＝0，得y＝±x，即bx±ay＝0，
故双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.
由题意得＝，整理得a2＝3b2，
∴e＝＝＝.选B.
二、多选题
10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量·＝0，则下列结论正确的是( ACD )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．ΔPF1F2的面积为1
[分析] 求出双曲线C渐近线方程，焦点F1，F2，△PFE的面积即可判断．
[解析] A．代入双曲线渐近线方程得y＝±x，正确．B.由题意得F1(，0)，F2(－，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，错误．C.F1(，0)，渐近线方程为y＝x，距离为1，正确．D.由题意得F1(，0)，F2(－，0)，设P(x0，y0)，根据·＝0，解得x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为1.正确．故选：ACD.
- 8 -
11．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是( BC )
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．点P到两渐近线的距离的乘积为
D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32
[解析] 由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝＝5，∴离心率e＝＝，A错；渐近线方程为－＝0，即y＝±x，B正确；设点P坐标为(x，y)，则16x2－9y2＝144，且点P到两渐近线距离的乘积为·＝，C正确；∵，∴|PF1|·|PF2|＝＝32，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝16，D错；故选BC.
12．已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值可能为( BCD )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 不妨设过点F2(c,0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y＝(x－c)，与双曲线另一条渐近线y＝－x交点为P(，－)，因为点P在以线段F1F2为直径的圆外，所以·>0，即(－，)·(，)>0，－＋>0，－3a2＋b2>0.－3a2＋c2－a2>0，e2>4，∴e>2，故选BCD.
三、填空题
13．(2020·3月份北京市高考适应性考试)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝__1__.
[解析] 双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即x±ay＝0(a>0)，由题意知a＝1.
14．(2020·北京清华附中检测)过点P(2，－2)，且与双曲线－y2
- 8 -
＝1有公共渐近线的双曲线方程为 －＝1 .
[解析] 设双曲线方程为－y2＝λ，则λ＝－4＝－2，∴双曲线方程为－y2＝－2，即－＝1.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±X.
[解析] 根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，
故－＝2a，所以＝2，＝，
双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16．(2020·河南顶尖名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满足·＝0，则双曲线离心率为 .
[解析] 由题意，F1(c,0)，B(0，b)，
则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，
在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足·＝0，则PO⊥BF1，且PO＝a.
∴a＝，即a2＝.
∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a2＝0，e4－3e2＋1＝0.
解得e2＝，∴e＝.
B组能力提升
1．(2019·辽宁盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( D )
A． B．2
C． D．
[解析] 如图，作MD⊥x轴于点D，在Rt△MBD中，|BD|＝a，|MD|＝a，∴M(2a，a)
- 8 -
∴M点在双曲线上，∴a2＝b2，即a＝b.∴e＝.
2．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[解析] 由题意知右焦点到渐近线的距离b＝＝3，又e＝＝＝＝2，∴a2＝3，故双曲线方程为－＝1，选C.
3．(2019·安徽省淮南市模拟)已知点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为( A )
A．2x±y＝0 B．8x±y＝0
C.x±y＝0 D．3x±y＝0
[解析] 设内切圆半径为r，
∵S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2，
∴|PF1|r＝|PF2|·r＋·|F1F2|·r，
∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，
根据双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
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∴3a＝c，b＝＝2a，＝2，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
即为2x±y＝0，故选A.
4．(2020·四川省联合诊断)设双曲线C：－＝1的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( D )
A． B．
C． D．5
[解析] 如图所示：
∵直线4x－3y＋20＝0过点F，
∴F(－5,0)，半焦点c＝5，
设A为PF中点，∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，
又∵OA为△PFF2中位线，∴OA∥PF2，
由点到直线距离公式可得|OA|＝＝4，
∴|PF2|＝2|OA|＝8，
由勾股定理可得：|FP|＝＝6，
再由双曲线定义可得：|PF2|－|PF|＝2a＝2，
∴a＝1，
双曲线的离心率e＝＝5.答案选D.
5．(2020·北京市西城区期末)对于双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30°； ③ 实轴长为8，且焦点在x轴上．写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 －＝1(答案不唯一) .
[解析] 若选择①③，所以e＝＝2,2a＝8，解得a＝4，c＝8，所以b2＝c2－a2＝48.
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
若选择②③，因为焦点在x轴上，所以＝tan30°＝，2a＝8，解得a2＝16，b2＝，
- 8 -
所以双曲线的标准方程为－＝1.
若选择①②，当焦点在y轴上时，e＝＝2，＝tan30°＝.
又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为y2－＝1.
当焦点在x轴上时，无解．
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