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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业:9

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www.ks5u.com 课时分层作业(一) 正弦定理 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是(  )‎ A. B. C. D. A [在△ABC中,由正弦定理知=,又a=5,b=3,所以==.]‎ ‎2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于(  )‎ A.- B. C.- D. D [由正弦定理得=,‎ ‎∴sin B===.‎ ‎∵a>b,A=60°,∴B为锐角.‎ ‎∴cos B===.]‎ ‎3.在△ABC中,a=5,c=10,A=30°,则B=(  )‎ A.105° B.15°‎ C.105°或15° D.45°或135°‎ C [由a<c,得A<C,又由sin C==,得C=45°或135°,所以B=105°或15°.]‎ ‎4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B [由题意有=b=,则sin B=1,即B为直角,故△ABC是直角三角形.]‎ ‎5.在△ABC中,已知(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于(  )‎ A.3∶5∶7 B.7∶5∶3 ‎ C.6∶5∶4 D.4∶5∶6‎ A [因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=4∶5∶6,不妨设且k≠0,‎ 则a=k,b=k,c=k,所以a∶b∶c=3∶5∶7,即sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7.]‎ 二、填空题 ‎6.在△ABC中,AB=,A=45°,B=60°,则BC=_____.‎ ‎3- [利用正弦定理=,‎ 而C=180°-(A+B)=75°,‎ 故BC===3-.]‎ ‎7.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin‎2C,则△ABC的形状是________.‎ 直角三角形 [由已知得sin‎2A-sin2B=sin‎2C,根据正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=,‎ 所以-=,‎ 即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.]‎ ‎8.在△ABC中,bc=20,S△ABC=5,△ABC外接圆的半径为,则a=________.‎ ‎3 [∵S△ABC=bcsin A=×20×sin A=5,∴sin A=.∵△ABC外接圆的半径R 为,由正弦定理的推广可得=2R,∴a=2sin A=2×=3.]‎ 三、解答题 ‎9.在△ABC中,acos=bcos,判断△ABC的形状.‎ ‎[解] 法一:∵acos =bcos,‎ ‎∴asin A=bsin B.‎ 由正弦定理,得a·=b·,‎ ‎∴a2=b2,∴a=b,‎ ‎∴△ABC为等腰三角形.‎ 法二:∵acos=bcos,‎ ‎∴asin A=bsin B.‎ 由正弦定理,得2Rsin‎2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,‎ ‎∴A=B(A+B=π不合题意,舍去).‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎10.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.‎ ‎(1)a=10,b=20,A=80°;‎ ‎(2)a=2,b=6,A=30°.‎ ‎[解] (1)a=10,b=20,a<b,‎ A=80°<90°,由=得,‎ sin B==2sin 80°>2sin 30°=1,∴本题无解.‎ ‎(2)a=2,b=6,a<b,A=30°<90°,‎ ‎∵bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,‎ ‎∴bsin A<a<b,∴本题有两解.‎ 由正弦定理得 sin B===,‎ 又∵B∈(0°,180°),∴B=60°或B=120°.‎ 当B=60°时,C=90°,c===4;‎ 当B=120°时,C=30°,‎ c===2.‎ ‎∴当B=60°时,C=90°,c=4;‎ 当B=120°时,C=30°,c=2.‎ ‎11.(多选题)已知两边和其中一边的对角,则△ABC无解的是(  )‎ A.a=7,b=8,A=105°  B.b=40,c=20,C=60°‎ C.b=10,c=5,C=60° D.a=2,b=6,A=30°‎ AB [A中,由a<b,A=105°,可得B>105°,与三角形的内角和为180°矛盾,故三角形无解;B中,由正弦定理=,得sin B===>1,所以B不存在,故三角形无解;C中,由正弦定理=,得sin B===,又b<c,所以B=45°,所以A=180°-(B+C)=75°,故三角形有唯一解;D中,由正弦定理=,得sin B===,所以B=60°或B=120°,故三角形有两解.故选AB.]‎ ‎12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为(  )‎ A.., B., C., D., C [因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理及已知条件,得sin Acos B+sin Bcos A=sin‎2C,所以sin(A+B)=sin‎2C,所以sin C=sin‎2C.因为0<C<π,所以sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,B=.]‎ ‎13.(一题两空)已知△ABC中,AB=,BC=1,sin C=cos C,则sin A=________,△ABC的面积为________.‎   [由sin C=cos C,得tan C=,所以C=.‎ 根据正弦定理可得=,解得sin A=.‎ 因为AB>BC,所以A<C,所以A=.‎ 所以B=,所以△ABC为直角三角形.‎ 所以S△ABC=××1=.]‎ ‎14.我国著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积公式”为S=.若a2sin C=24sin A,a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于________.‎  [由a2sin C=24sin A可得a‎2c=‎24a,‎ ‎∴ac=24.‎ 由a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A可得a(c-b)·(c+b)=(27-a2)a,整理得a2+c2-b2=27,‎ 结合“三斜求积公式”可得S===.]‎ ‎15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.‎ ‎(1)求tan C的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积为3,求b的值.‎ ‎[解] (1)由b2-a2=c2,A=及正弦定理得 sin2B-=sin‎2C,∴-cos 2B=sin‎2C.‎ 又由A=,即B+C=,得2B=π-‎2C,‎ ‎∴-cos 2B=sin ‎2C=2sin Ccos C=sin‎2C.‎ 又∵sin C≠0,∴tan C=2.‎ ‎(2)由tan C=2,C∈(0,π),得sin C=,cos C=.‎ ‎∵sin B=sin(A+C)=sin,∴sin B=.‎ 由正弦定理,得c=.‎ 又A=,bcsin A=3,‎ ‎∴bc=6,∴b=3.‎