2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：9 6页

www.ks5u.com 课时分层作业(一)　正弦定理 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)‎ A. B． C. D． A　[在△ABC中，由正弦定理知＝，又a＝5，b＝3，所以＝＝.]‎ ‎2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　)‎ A．－ B． C．－ D． D　[由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝.‎ ‎∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．‎ ‎∴cos B＝＝＝.]‎ ‎3．在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝(　　)‎ A．105° B．15°‎ C．105°或15° D．45°或135°‎ C　[由a＜c，得A＜C，又由sin C＝＝，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°.]‎ ‎4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．]‎ ‎5．在△ABC中，已知(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)‎ A．3∶5∶7 B．7∶5∶3 ‎ C．6∶5∶4 D．4∶5∶6‎ A　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，不妨设且k≠0，‎ 则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝3∶5∶7，即sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7.]‎ 二、填空题 ‎6．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝_____.‎ ‎3－　[利用正弦定理＝，‎ 而C＝180°－(A＋B)＝75°，‎ 故BC＝＝＝3－.]‎ ‎7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin‎2C，则△ABC的形状是________．‎ 直角三角形　[由已知得sin‎2A－sin2B＝sin‎2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，‎ 所以－＝，‎ 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．]‎ ‎8．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为，则a＝________.‎ ‎3　[∵S△ABC＝bcsin A＝×20×sin A＝5，∴sin A＝.∵△ABC外接圆的半径R 为，由正弦定理的推广可得＝2R，∴a＝2sin A＝2×＝3.]‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．‎ ‎[解]　法一：∵acos ＝bcos，‎ ‎∴asin A＝bsin B.‎ 由正弦定理，得a·＝b·，‎ ‎∴a2＝b2，∴a＝b，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ 法二：∵acos＝bcos，‎ ‎∴asin A＝bsin B.‎ 由正弦定理，得2Rsin‎2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，‎ ‎∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．‎ 故△ABC为等腰三角形．‎ ‎10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．‎ ‎(1)a＝10，b＝20，A＝80°；‎ ‎(2)a＝2，b＝6，A＝30°.‎ ‎[解]　(1)a＝10，b＝20，a＜b，‎ A＝80°＜90°，由＝得，‎ sin B＝＝2sin 80°＞2sin 30°＝1，∴本题无解．‎ ‎(2)a＝2，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，‎ ‎∵bsin A＝6sin 30°＝3，a＞bsin A，‎ ‎∴bsin A＜a＜b，∴本题有两解．‎ 由正弦定理得 sin B＝＝＝，‎ 又∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或B＝120°.‎ 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；‎ 当B＝120°时，C＝30°，‎ c＝＝＝2.‎ ‎∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；‎ 当B＝120°时，C＝30°，c＝2.‎ ‎11．(多选题)已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是(　　)‎ A．a＝7，b＝8，A＝105°　 B．b＝40，c＝20，C＝60°‎ C．b＝10，c＝5，C＝60° D．a＝2，b＝6，A＝30°‎ AB　[A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°，故三角形有两解．故选AB.]‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为(　　)‎ A．.， B．， C.， D．， C　[因为m⊥n，所以cos A－sin A＝0，所以tan A＝，则A＝.由正弦定理及已知条件，得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin‎2C，所以sin(A＋B)＝sin‎2C，所以sin C＝sin‎2C.因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以sin C＝1，所以C＝，B＝.]‎ ‎13．(一题两空)已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则sin A＝________，△ABC的面积为________．‎ 　　[由sin C＝cos C，得tan C＝，所以C＝.‎ 根据正弦定理可得＝，解得sin A＝.‎ 因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝.‎ 所以B＝，所以△ABC为直角三角形．‎ 所以S△ABC＝××1＝.]‎ ‎14．我国著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝.若a2sin C＝24sin A，a(sin C－sin B)(c＋b)＝(27－a2)sin A，则用“三斜求积公式”求得的S等于________．‎ 　[由a2sin C＝24sin A可得a‎2c＝‎24a，‎ ‎∴ac＝24.‎ 由a(sin C－sin B)(c＋b)＝(27－a2)sin A可得a(c－b)·(c＋b)＝(27－a2)a，整理得a2＋c2－b2＝27，‎ 结合“三斜求积公式”可得S＝＝＝.]‎ ‎15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎[解]　(1)由b2－a2＝c2，A＝及正弦定理得 sin2B－＝sin‎2C，∴－cos 2B＝sin‎2C.‎ 又由A＝，即B＋C＝，得2B＝π－‎2C，‎ ‎∴－cos 2B＝sin ‎2C＝2sin Ccos C＝sin‎2C.‎ 又∵sin C≠0，∴tan C＝2.‎ ‎(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝.‎ ‎∵sin B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin B＝.‎ 由正弦定理，得c＝.‎ 又A＝，bcsin A＝3，‎ ‎∴bc＝6，∴b＝3.‎