【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题一文（含解析） 15页

1 2021 届高三数学入学调研试题（一）文 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 2{ | 2 0}A x x x   ，集合 { | 1}B x x  ，则 A B  （ ） A．[0,1] B．[1,2] C．{0,1} D．{1,2} 2．若复数 5 i 1 iz   ，则 1z   （ ） A． 2 2 B．8 C． 10 D．1 3．已知 0.51( )2a  ， 2log 0.3b  ， bc a ，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ） A． a b c  B． c a b  C．b a c  D． a c b  4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出 并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展 产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生 400 名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大 发明，能说出两种及其以上发明的有 73人，据此估计该校三年级的 400 名学生中，对四大发明只能 说出一种或一种也说不出的有（ ） A． 69 人 B．84 人 C．108人 D．115人 5．函数 22( ) 4 1 x x xf x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ln , 0( ) 2 ( 2), 0 x xf x x x x      ，则函数 ( ) 3y f x  的零点个数是（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 7．在 ABC△ 中， D 是 BC 边上的一点， F 是 AD 上的一点，且满足 2AD AB AC  uuur uuur uuur 和 2FD FA  0   ，连接CF 并延长交 AB 于 E ，若 AE EB  ，则  的值为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出 的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算 法求某多项式值的一个实例，若输入 n ， x 的值分别为3， 2 ，则输出 v 的值为（ ） A．35 B． 20 C．18 D．9 9．正三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AA AB ， D 是 BC 的中点，则异面直线 AD 与 1AC 所成的角 为（ ） A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． π 2 10．设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 作倾斜角为 60 直线与 y 轴和双曲线的右支交于 A、 B 两点，若点 A平分线段 1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） 2 A． 3 B． 2 3 C． 2 D． 2 1 11 ． 已 知 函 数 π( ) 2sin( )( 0)6f x x    ， 0x ， 1x ， 2 [0,π]x  ， 对 [0,π]x  ， 都 有 0 1( ) ( ) ( )f x f x f x  ，满足 2( ) 0f x  的实数 x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条 件的实数 0x 有且只有1个；②满足题目条件的实数 1x 有且只有1个；③ ( )f x 在 π(0, )9 上单调递增； ④ 的取值范围是 13 19[ , )6 6 ，其中所有正确结论的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 12．已知长方体 1 1 1 1 ABCD A B C D 内接于半球O ，且底面 ABCD 落在半球的底面上，底面 1111 DCBA 的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为3，AB BC ，则该长方体体积的最大值为（ ） A．12 3 B． 6 6 C． 48 D． 72 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则甲获胜的概率是_____． 14．若 x ， y 满足约束条件 4 0 2 4 0 0 x y x y x y           ，则 2z x y  的最小值为_____． 15．已知函数 ( ) ln( )f x a x  在   0, 0f 处的切线方程为 y x ，则满足  0 2 1f x   的 x 的 取值范围为_______． 16．如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a ， ( )b a b ，原点O 为 AD 的中点， 抛物线  2 2 0y ax a  经过C ， F 两点，则 b a  _______． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活 动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取 200 名学生进行测试，并将其成绩分为 A ， B ，C ， D ， E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)： 根据以上抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数； （2）若等级 A ， B ，C ， D ， E 分别对应100分、90分、80 分、 70 分、 60 分，学校要求平均 分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体” 是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 D ，E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学 生样本，再从中任意选取 2 位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自 D 级别”的概率． 18．（12 分）已知数列{ }na 是各项均为正数的等比数列，若 1 1a  ， 2 4 16a a  ． （1）设 2logn nb a ，求数列{ }nb 的通项公式； （2）求数列{ }n na b 的前 n 项和 nS ． 3 19．（12 分）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， //CD AB ， AB BC ， 1AA AB BC   2 2CD  ，点 M 是 1AB 的中点． （1）证明： //CM 平面 1 1ADD A ； （2）求点C 到平面 1ADA 的距离． 20．（12 分）已知中心在原点 O 的椭圆 C 的左焦点为  1 1,0F  ， C 与 y 轴正半轴交点为 A ，且 1 π 3AFO  ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点 A作斜率为 1k 、  2 1 2 0k k k  的两条直线分别交 C 于异于点 A的两点 M 、 N ．证明： 当 1 2 1 1 kk k   时，直线 MN 过定点． 4 21．（12 分） 2( ) ( 2)ln ln ( 0)f x ax a x a ax       ， 2( ) ( 2 )lng x x x x  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）设不等式   21( ) ( 2) ( 0)2 mg x x m x m     对任意的 1[ , ]x ee  恒成立，求实数 m 的取值 范围． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 22 1 2 1 x t y t       (t 为参数)，以直角坐标系的原点为极 点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为  2sin cos m    ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于 A ， B 两点，求以 AB 为直径的 圆的直角坐标方程． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ( ) 2 1f x x a   ． （1）当 2a  时，求 ( ) 1f x  的解集； （2）当 [ 1,1]x  时， ( ) 3f x  ，求 a 的取值范围． 2021 届高三入学调研试卷 文 科 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵ [0,2]A  ， [1, )B   ，∴ [1,2]A B  ． 2．【答案】A 【解析】∵ 5 i (5 i)(1 i) 6 4i 3 2i1 i (1 i)(1 i) 2z           ，则 1 2 2iz    ， 因此， 2 21 2 2 2 2z     ． 3．【答案】C 【解析】∵ 0.51( )2a  ， 2log 0.3b  ， bc a ， ∴ 1 00.51( )2 1 1 1( ) ( ) 12 2 2a    ， 2 2log 0.3 log 1 0b    ， 1 2 2 2 1 21 2 1 1log 0.3 0.5 log 0.3 02 1 log 0.3 2 1 1( ) ( ) 0.3 0.3 12 2 1 0.3( 1 2 1 ) c       ，∴b a c  ． 4．【答案】C 【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100 73 27  人， 设该校三年级的 400 名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有 x 人， 则100 400 27 x  ，解得 108x  人． 5．【答案】A 【解析】由题意， 2 22( ) ( 0)4 1 2 2 x x x x x xf x x     ， 22( ( )22 2 )( ) 2 x x x x x x ff x x        ， 所以函数 ( )f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项 B； 当 1x  时， 21 1 2 1 2(1) 04 1 3f    ，故排除选项 D； 当 1 2x  时， 212 ( )1 22( ) (1)2 2 1 4f f     ，故排除选项 C， 所以本题正确答案为 A． 6．【答案】B 【解析】当 0x  时，| ln | 3 0x   ，∴ ln 3x   ，∴ 3x e 或 3e ，都满足 0x  ； 当 0x  时， 22 4 3 0x x    ，∴ 22 4 3 0x x   ， ∵ 2 0 ， 16 4 2 3 0Δ      ，所以方程没有实数根， 综合得函数 ( ) 3y f x  的零点个数是 2 ． 7．【答案】C 【解析】如图所示，过 D 做 //DG CE ，交 AB 于G ， 因为 2AD AB AC  uuur uuur uuur ，所以 D 为 BC 的中点， 因为 //DG CE ，所以G 为 BE 的中点， 因为 2FD FA  0   ，所以 : 1: 2AF FD  ， 因为 //DG CE ，所以 : : 1: 2AE EG AF FD  ，即 1 2AE EG ， 又因为 EG BG ，所以 1 4AE EB ，故 1 4AE EB  ． 8．【答案】C 【解析】模拟算法：开始：输入 3n  ， 2x  ， 1v  ， 3 1 2i    ， 0i  成立； 1 2 2 4v     ， 2 1 1i    ， 0i  成立； 4 2 1 9v     ， 1 1 0i    ， 0i  成立； 9 2 0 18v     ， 0 1 1i     ， 0i  不成立，输出 18v  ． 9．【答案】C 【解析】如图，取 1 1BC 中点 E ，连接 1A E ，CE ， 由于正三棱柱 1 1 1ABC A BC ，则 1BB  底面 1 1 1A B C ， 而 1A E  底面 1 1 1A B C ，所以 1 1BB A E ， 由正三棱柱的性质可知， 1 1 1A B C△ 为等边三角形，所以 1 1 1A E B C ，且 1 1 1A E B C E ， 所以 1A E  平面 1 1BB C C ， 而 EC  平面 1 1BB C C ，则 1A E EC ，则 1A E AD∥ ， 1 90A EC   ， ∴ 1CA E 即为异面直线 AD 与 1AC 所成角， 设 2AB  ，则 1 2 2AA  ， 1 3A E  ， 3CE  ， 则 1 1 3tan 3 3 CECA E A E     ，∴ 1 π 3CA E  ． 10．【答案】B 【解析】双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ， ( 0, 0)a b  的左焦点 F 为 ,0c ， 直线l 的方程为  3y x c  ，令 0x  ，则 3y c ，即  0, 3A c ， 因为 A平分线段 1F B ，根据中点坐标公式可得  ,2 3B c c ， 代入双曲线方程，可得 2 2 2 2 12 1c c a b   ， 由于  1ce ea   ，则 2 2 2 12 11 ee e   ，化简可得 4 214 1 0e e   ，解得 2 7 4 3e   ， 由 1e  ，解得 2 3e   ． 11．【答案】D 【解析】 0 ， [0,π]x ，故 π π π[ π ]6 6 6x    ， ， 设 π 6x t   ，作 siny t 的图象如图， 在[0,π]上满足 2( ) 0f x  的实数 2x 有且只有3个，即函数 siny t 在 π π[ , π ]6 6   上有且只 有3个零点，由图象可知 π2π π 3π6    ，13 19 6 6   ，结论④正确； 由图象知， siny t 在 π π[ , π ]6 6   上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论① 正确，结论②错误； 当 π(0, )9x 时， π π π π( , )6 6 9 6x      ， 由13 19 6 6   知 2π π π 5π π0 27 9 6 27 2t       ，所以 siny t 在 π π π( )6 9 6  ， 上递增， 则 ( )f x 在 π(0, )9 上单调递增，结论③正确． 12．【答案】A 【解析】设长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的高为 h ，底面棱长为 a ， 则长方体的底面外接圆直径为 2 2r a ，所以， 2 2r a ． 由勾股定理得 2 2 23h r  ，即 2 2( ) 92 ah   ，得 2 218 2a h  ，其中 0 3h  ， 所以，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为  2 2 318 2 2 18V a h h h h h      ， 其中 0 3h  ，设   32 18f h h h   ，其中 0 3h  ，则   26 18f h h    ， 令   0f h  ，得 3h  ， 当 0 3h  时，   0f h  ， ( )f h 在 (0, 3) 上单调递增； 当 3 3h  时，   0f h  ， ( )f h 在 ( 3,3) 上单调递减， 所以，函数  V f h 在 3h  处取得极大值，亦即最大值，则  max 3 12 3V f  ， 因此，该长方体的体积的最大值为12 3 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 1 6 【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概 1 1 11 2 3 6    ． 14．【答案】 6 【解析】由约束条件作出可行域如图阴影所示， 化目标函数 2z x y  化为 2y x z   ， 由图可知，当直线 2y x z   过 A 时直线在 y 轴上的截距最小， z 最小， 联立 4y x y x      ，得 (2,2)A ，故 z 的最小值为 6 ． 15．【答案】[2, 1]e 【解析】∵ 1( )f x a x    ，∴ 1(0) 1f a    ，∴ 1a = ， ∴ ( ) ln(1 )f x x  ，  f x 是 ( 1, )  上的增函数， 又∵  0 0f  ， ( 1) ln( 1 1) 1f e e     ， ∴ 0 2 1x e    ，∴ 2 1x e   ，即[2, 1]e ． 16．【答案】1 2 【解析】因为 D 是抛物线  2 2 0y ax p  的焦点，所以 ( ,0)2 aD ， 因为正方形 DEFG 的边长为 b ，所以 ( , )2 aF b b ， 因为 F 在抛物线上，所以 2 2 ( )2 ab a b  ，即 2 22 0b ab a   ， 所以 2 2( ) 1 0b b a a    ，解得 1 2b a   或1 2 ， 因为 0 a b  ，所以 1 2b a   ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1）896 ；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3） 9 10 ． 【解析】（1）从条形图中可知这 200 人中，有112 名学生成绩等级为 B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为 112 14 200 25  ， 则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有 141600 89625   ． （ 2 ） 这 200 名 学 生 成 绩 的 平 均 分 为 64 112 14 6 4100 90 80 70 60 91.3200 200 200 200 200           ， 因为 91.3 90 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关． （3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中 D 级3个， E 级 2 个， D 组3人编号为 A ， B ，C ， E 组 2 人编号为 a ，b ， 则任取 2 人的基本事件为 AB ，AC ，Aa ， Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个， 其中事件“至少1位学生来自 D 级别为 F 含有的基本事件有 AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ， Bb ，Ca ，Cb ，共9个， ∴   9 10P F  ． 18．【答案】（1） 1nb n  ；（2）  2 2 2n nS n   ． 【解析】（1）由数列 na 是各项均为正数的等比数列， 且 1 2 4 1 16 a a a     ，∴ 2q  ，即 12n na  ， 又∵ 2logn nb a ，∴ 1nb n  ． （2）由（1）可知   11 2n n na b n     ， 则 0 1 2 10 2 1 2 2 2 ( 1) 2n nS n           ① 1 2 32 0 2 1 2 2 2 ( 1) 2n nS n          ② ①-②得      2 3 1 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 21 2 n n n n n nS n n n                 ， ∴  2 2 2n nS n   ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 5 5 ． 【解析】（1）取 1AA 的中点为 E ，连接 ME ， DE ， ∵点 M 是 1AB 的中点，∴ 1 1ME A B∥ ， 1 1 1 2ME A B ， ∵CD AB∥ ， 1 2CD AB ， 1 1AB A B∥ ， 1 1AB A B ，∴CD ME∥ ，CD ME ， 即四边形CDEM 为平行四边形，∴CD DE∥ ， ∵CM  平面 1 1ADD A ， DE  平面 1 1ADD A ，∴CM∥平面 1 1ADD A ． （2）设点C 到平面 1ADA 的距离为 h ，连接 AC ， 1DA ， 1AC ， 1A D ， ∵ 1A A⊥平面 ABCD ， AB BC ， ∴ 1 1 1 1 1 21 2 23 3 2 3A ACD ACDV S AA        △ ， ∵ AD  平面 ABCD ，∴ 1AA AD⊥ ， 2 22 1 5AD    ， ∴ 1 1 5 2 52ADAS    △ ， ∵ 1 1C ADA A ACDV V   ，∴ 1 253 3h   ，解得 2 5 5h  ． 20．【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2）证明见解析． 【解析】（1）在 1AFORt△ 中， OA b ， 1 1OF c  ， 2 2 1 1AF OA OF a   ， ∵ 1 π 3AFO  ， 1 π 6OAF  ，∴ 1 12 2a AF OF   ，∴ 2 2 3b a c   ， 因此，椭圆C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  ． （2）由题不妨设 :MN y kx m  ，设点  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 联立 2 2 14 3 x y y kx m       ，消去 y 化简得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m     ， 且 1 2 2 8 4 3 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k   ， ∵ 1 2 1 1 kk k   ，∴ 1 2 1 2k k k k  ，∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3y y y y x x x x       ， ∴代入 ( 1,2)i iy kx m i   ， 化简得 2 2 1 2 1 2( 2 ) ( 1)( 3)( ) 2 3 3 0k k x x k m x x m m         ， 化简得    2 8 3 3 3 3k m m   ， ∵ 3m  ，∴8 3 3( 3)k m  ，∴ 8 3 33 km   ， 直线 8 3: 33 kMN y kx   ，因此，直线 MN 过定点 8 3( , 3)3  ． 21．【答案】（1）见解析；（2） (0,3]． 【解析】（1） 0x  ， 0a  ， 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 ( 1)( 2)( ) a ax a x x axf x a x x x x            ， 由 ( ) 0f x  ，得 1x  或 2x a  ， ①若 0 2a  ，则 2 1 a ，由 0( )f x  ，得 21 x a   ； ( ) 0f x  ，得 0 1x  或 2x a  ， 所以若 0 2a  ， ( )f x 在 (0,1) ， 2( , )a  递增；在 2(1, )a 上递减； ②若 2a  ， 2 2 2( 1)( ) 0xf x x    ， ( )f x 在定义域 (0, ) 上递增； ③若 2a  ，则 2 1a  ，由 0( )f x  ，得 2 1xa   ； ( ) 0f x  ，得 20 x a   或 1x  ， 所以若 2a  ， ( )f x 在 2(0, )a 和 (1, ) 上递增，在 2( ,1)a 递减． （2）原不等式等价于 2 21( 2 )ln ( 2) 02 mx x x x m x     ， 记   2 21( 2 )ln ( 2)2 mh x x x x x m x     ， ( ) (2ln )( 1)h x x m x    ， 1( )x ee   ， 令 ( ) 0h x  ，得 1x  或 2 ( 0) m x e m    ． ①当 2m  时， 12 m e e   （舍去），所以 1x  ． 当 1( ,1)x e  时， ( ) 0h x  ；当 (1, )x e 时， ( ) 0h x  ， 所以 min 1( ) (1) ( 3) 02h x h m     恒成立， 故 3m  ，此时 m 的取值范围是 2 3m  ； ②当 0 2m  时， 1 2 1 m e e    ， 当 21( , ) m x ee   时， ( ) 0h x  ；当 2( ,1) m x e   时， ( ) 0h x  ；当 (1, )x e 时， ( ) 0h x  ， 所以 1min{ (1), ( )} 0h h e  ，即 8 3 2 1 3 em e m      ， 解得 3m  ，可得此时 m 的取值范围是 0 2m  ， 综合①②可知 0 3m  ，所以实数 m 的取值范围是 (0,3]． 22．【答案】（1） 2( 1) 2( 1)y x   ；（2） 2 21 1 5( ) ( )2 4 16x y    ． 【解析】（1）由 2 1y t  ，得 1 2 yt  ，则 2 212 1 2( ) 12 yx t     ， 整理得 2( 1) 2( 1)y x   ，故曲线C 的普通方程为 2( 1) 2( 1)y x   ． （2）由 (2sin cos ) m    ，得 2y x m  ， 联立 2( 1) 2( 1) 2y x y x m       ，得 2 2 2 1 0y y m    ， ∵l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，∴ 4 4(2 1) 0Δ m    ，解得 1m  ， ∵l 的方程为 2 1y x  ，∴ l 与坐标轴交点为 1(0, )2 与 ( 1,0) ， 不妨假设 1(0, )2A ，则 ( 1,0)B  ，线段 AB 的中点为 1 1( , )2 4  ， 1 51 4 2AB    ，∴以 AB 为直径的圆的半径 5 4r  ， ∴以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为 2 21 1 5( ) ( )2 4 16x y    ． 23．【答案】（1）[1,2] [ 1,0] ；（2）[0,3]． 【解析】（1）当 2a  时， ( ) 1f x  可化为 2 1 2 1x    ， 即 1 2 1 2 1x     ，1 2 1 3x   ， ∴1 2 1 3x   或 3 2 1 1x     ，解得1 2x  或 1 0x   ， ∴ ( ) 1f x  的解集为[1,2] [ 1,0] ． （2） ( ) 3f x  可化为 2 1 3x a   ，即 3 2 1 3a x a     ， ∵ 2 1y x  在 [ 1,1]x  上的最大值为3，最小值为 0 ， ∴ 3 0 3 3 a a      ，解得 0 3a  ， 故 a 的取值范围为[0,3]．