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- 2021-06-16 发布
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第5节 根式、指数、对数
考试要求 1.了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算;2.理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式.
知 识 梳 理
1.根式与指数幂的运算
(1)根式
①概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
②性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=
(2)分数指数幂
①规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
②有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.对数与对数的运算
(1)对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数的性质
①loga1=0;②logaa=1;③alogaN=N;④logaab=b(a>0,且a≠1).
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(4)换底公式
logbN=(a,b均大于零且不等于1).
[常用结论与易错提醒]
已知a,b,c,d,M,N都满足条件,则:
(1)logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0);
(2)logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.
诊 断 自 测
1.(必修1P52例5改编)化简[(-2)6]-(-1)0的结果为( )
A.-9 B.7
C.-10 D.9
解析 原式=(26)-1=8-1=7.
答案 B
2.若loga2b>1 D.b>a>1
解析 loga20,b>0);
(2)+(0.002)--10(-2)-1+(-)0.
解 (1)原式==a+-1+b1+-2-=ab-1.
(2)原式=+-+1
=+500-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值:
(1)+2-2×-(0.01)0.5;
(2).
解 (1)原式=1+×-
=1+×-=1+-=.
(2)原式==a---×b+-=.
考点二 对数的运算
【例2】 (1)设2a=5b=m,且+=2,则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
(2)计算:÷100-=________.
解析 (1)由已知,得a=log2m,b=log5m,
则+=+=logm2+logm5=logm10=2.
解得m=.
(2)原式=(lg 2-2-lg 52)×100=lg×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.
答案 (1)A (2)-20
规律方法 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
(2)若实数a>b>1,且logab+logba=,则logab=__________,=__________.
解析 (1)取对数:xln 2=yln 3=zln 5,=>(由ln 32>ln 23可得),又x,y为正数,∴2x>3y.xln 2=zln 5,则=<(由ln 52<ln 25可得),又x,z为正数,∴2x<5z,∴3y<2x<5z,故选D.
(2)由a>b>1,得00,b>0,则下列等式不正确的是( )
A.alg b·blg a=1 B.alg b+blg a=2alg b
C.alg b·blg a=(alg b)2 D.alg b·blg a=blg a2
解析 由于a>0,b>0,故当a=b时,有alg bblg a=(alg b)2,alg b+blg a=alg b+alg b=2alg b,alg b·blg a=(blg a)2=b2lg a=blg a2,故选A.
答案 A
8.(2019·北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
解析 设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2.
由题意知m1=-26.7,m2=-1.45,代入所给公式得-1.45-(-26.7)=lg,所以lg=10.1,所以=1010.1.故选A.
答案 A
9.已知m>0且m≠1,则logmn>0是(1-m)(1-n)>0的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵m>0且m≠1,由logmn>0得或∴(1-m)(1-n)>0,
反过来,当(1-m)(1-n)>0时,不妨取m=,n=-1,此时logmn无意义,故选A.
答案 A
二、填空题
10.若log2x=log43,则x=________.
解析 由等式可得log2x=log23,解得x=.
答案
11.(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25=________.
解析 (lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25
=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25
=2(lg 2+lg 5)=2.
答案 2
12.若x=log43,则(2x-2-x)2=________.
解析 ∵x=log43,∴4x=3,4-x=,
∴(2x-2-x)2=4x-2+4-x=3-2+=.
答案
13.已知a+a-=3,则a+a-1=________,a2+a-2=________.
解析 ∵a+a-=3,
∴两边平方得a+a-1+2=9,
∴a+a-1=7,
对上式两边平方得a2+2+a-2=49,
∴a2+a-2=47.
答案 7 47
14.(2019·嘉兴测试)计算:2lg 2+lg 25=________,方程log2(x+1)=3的解为x=________.
解析 2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=lg 100=2,∵方程log2(x+1)=3,∴x+1=23=8,解得x=7.
答案 2 7
能力提升题组
15.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b0,b<0,所以ab<0,所以ab0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则xy的最大值是________.
解析 由题意得lg 2x+lg 8y=lg(2x×23y)=lg 2x+3y=lg 2(x>0,y>0),所以x+3y=1,则xy=x×3y≤=,当且仅当x=3y=时,等号成立,所以xy的最大值为.
答案
20.(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=________;当a=2时,方程的解x=________.
解析 若x=2是方程的解,则loga(52-32)=loga42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知该方程的解为x=1.
答案 4 1
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