浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析 14页

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求　掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2.有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎(2)tan αtan β＝1－＝－1.‎ ‎3.式子f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).特别地，sin α±cos α＝sin.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.‎ ‎(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.‎ ‎2.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通.如tan＝1，sin2α＋cos2α＝1等.‎ ‎3.在(0，π)范围内，sin α＝所对应的角α不是唯一的.‎ ‎4.在三角求值时，常需要确定角的范围.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)‎ ‎(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同.(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)‎ 解析　(4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　)‎ A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ 解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.‎ 答案　D ‎3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.‎ 答案　A ‎4.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tan α＝________.‎ 解析　法一　因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.‎ 法二　因为tan＝，‎ 所以tan α＝tan ‎＝＝＝.‎ 答案　 ‎5.(2020·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________.‎ 解析　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，因此tan(α＋β)＝＝－1，‎ 因为α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.‎ 答案　 ‎6.(2019·宁波调研)已知sin β＝，β∈，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________.‎ 解析　因为sin β＝，β∈，所以cos β＝－，由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.‎ 答案　－2‎ 考点一　两角和、差公式的正用 ‎【例1】 (1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.‎ ‎(2)若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值.‎ ‎(1)解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，又α∈(0，π)，‎ ‎∴0<α<，0＜2α＜π，又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案　－ ‎(2)解　由条件得 所以相除得＝5.‎ 规律方法　(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角表示.‎ ‎【训练1】 (1)sin 75°＝________.‎ ‎(2)(2020·杭州二中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　(1)sin 75°＝sin(45°＋30°)‎ ‎＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°‎ ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎(2)因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π.因为cos α＝，所以sin α＝，因为sin(α＋β)＝，0＜α＜α＋β＜π，sin α＞sin(α＋β)，所以＜α＋β＜π，所以cos(α ‎＋β)＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝，故选A.‎ 答案　(1)　(2)A 考点二　两角和、差公式的逆用 ‎【例2】 计算·cos 10°＋sin 10°tan 70°－2cos 40°.‎ 解　原式＝＋－2cos 40°‎ ‎＝－2cos 40°‎ ‎＝－2cos 40°‎ ‎＝－2cos 40°‎ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 规律方法　(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征；‎ ‎(2)对asin α±bcos α的式子注意化为一个角的一种函数(辅助角公式)；‎ ‎(3)注意切化弦技巧.‎ ‎【训练2】 (1)－＝________.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 解析　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝＝4.‎ ‎(2)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，‎ ‎∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①‎ cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②‎ ‎①②两式相加可得 sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ 答案　(1)4　(2)－ 考点三　两角和、差公式的灵活应用 ‎【例3】 求的值.‎ 解　因为tan 60°＝tan(70°－10°)＝，‎ 所以tan 70°－tan 10°＝tan 60°＋tan 60°tan 70°tan 10°，‎ 即tan 70°－tan 10°＋tan 120°＝tan 60°tan 70°tan 10°，‎ 所以 ‎＝＝.‎ 规律方法　(1)两角和、差正切公式的变形tan α±tan β ‎＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，特别地，若α＋β＝，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β；‎ ‎(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用(1)中的变形；‎ ‎(3)已知三角函数的值求其他三角函数值时，注意用已知函数值的角表示要求函数值的角.‎ ‎【训练3】 (1)已知A，B为锐角，且满足tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos(A＋B)＝________.‎ ‎(2)若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________.‎ 解析　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，‎ 得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.‎ ‎∵A，B∈，∴00，‎ ‎∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝ ‎＝＝.‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋× ‎＝.‎ 答案　(1)－　(2) 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ 答案　D ‎2.化简的结果是(　　)‎ A.tan B.tan 2x C.－tan x D. 解析　原式＝＝tan ‎＝tan(－x)＝－tan x.‎ 答案　C ‎3.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)‎ A.－1 B.0 ‎ C.1 D.2‎ 解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋1＝2.‎ 答案　D ‎4.函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)‎ A.[－2，2] B.[－，]‎ C.[－1，1] D. 解析　原式＝sin x－ ‎＝sin x－cos x＋sin x ‎＝sin x－cos x＝ ‎＝sin∈[－，].‎ 答案　B ‎5.(2019·浙江名师预测卷一)已知α∈R，则“tan α＝2”是“sin＝”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当tan α＝2时，①若α为第一象限角，则sin α＝，cos α＝，此时sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)＝；②若α为第三象限角，则sin α＝－，cos α＝－，此时sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)＝；反之，当sin＝时，易知＝，即＝，解得tan α＝2或tan α＝－，所以“tan α＝2”是“sin＝”的充分不必要条件，故选A.‎ 答案　A ‎6.已知sin＋cos α＝－，则cos＝(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－ D. 解析　∵sin＋cos α＝－，即sin αcos＋cos αsin ＋cos α＝－，∴sin α＋cos α＝－，sin α＋cos α＝－，sin＝－，∴cos＝cos＝sin＝－.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7.若函数f(x)＝4sin x＋acos x的最大值为5，则常数a＝________.‎ 解析　f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，故函数f(x)的最大值为，由已知得＝5，解得a＝±3.‎ 答案　±3‎ ‎8.(一题多解)化简sin＋2sin－cos＝________.‎ 解析　法一　原式＝＋2－ ‎＝sin x＋cos x ‎＝0.‎ 法二　原式＝＋2sin ‎＝2＋2sin ‎＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－2sin＋2sin＝0.‎ 答案　0‎ ‎9.已知θ是第四象限角，且sin＝，则sin θ＝________；tan＝________.‎ 解析　由题意，sin＝，cos＝，‎ ‎∴ 解得 ‎∴tan θ＝－，tan＝＝＝－.‎ 答案　－　－ ‎10.(2020·柯桥区调研)已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P，则tan(π－θ)＝________，若角α满足tan(α－θ)＝，则tan α＝________.‎ 解析　由题意得tan(π－θ)＝－tan θ＝－＝，tan(α－θ)＝＝＝，解得tan α＝－.‎ 答案　　－ 三、解答题 ‎11.(1)求的值；‎ ‎(2)已知cos＝，cos＝，α∈，β∈，求cos的值.‎ 解　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.‎ ‎(2)cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin，‎ 因为0<α<，则<＋α<，‎ 所以sin＝，‎ 又因为－<β<0，‎ 则<－<，‎ 则sin＝，‎ 故cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎12.已知α，β∈(0，π)，且tan α，tan β是方程x2－5x＋6＝0的两个根.‎ ‎(1)求α＋β的值；‎ ‎(2)求cos(α－β)的值.‎ 解　(1)因为 所以tan(α＋β)＝＝－1.‎ 又因为α，β∈(0，π)，且tan α，tan β>0，‎ 所以α，β∈，α＋β∈(0，π)，从而有α＋β＝.‎ ‎(2)由上可得cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.‎ 由tan αtan β＝6，得sin αsin β＝6cos αcos β，‎ 解得sin αsin β＝，cos αcos β＝，‎ 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.‎ 能力提升题组 ‎13.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则 sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)‎ A.[－，1] B.[－1，]‎ C.[－1，1] D.[1，]‎ 解析　∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，‎ ‎∵α，β∈[0，π]，‎ ‎∴α－β＝，由⇒≤α≤π，‎ ‎∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.‎ 答案　C ‎14.已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　设直线OA的倾斜角为α，B(m，n)(m>0，n>0)，则直线OB的倾斜角为＋α，因为A(4，1)，所以tan α＝，tan＝＝＝，即m2＝n2.‎ 因为m2＋n2＝(4)2＋12＝49，所以n2＋n2＝49，所以n＝或n＝－(舍去)，所以点B的纵坐标为.‎ 答案　D ‎15.若x∈，y∈，且sin 2x＝6tan(x－y)cos 2x，则x＋y的取值不可能是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　由x∈，y∈得2x∈(0，π)，x－y∈，则sin 2x≠0，所以cos 2x≠0，tan (x－y)∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，又由sin 2x＝6tan(x－y)cos 2x得6tan(x－y)＝tan 2x，不妨设6tan(x－y)＝tan 2x＝6a(a≠0)，则tan(x＋y)＝tan[2x－(x－y)]＝＝，设＝k(k≠0)，则有6ka2－5a＋k＝0有解，则Δ＝(－5)2－4×6k2≥0，解得≤k<0或0