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  • 2021-06-16 发布

浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析

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第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎(2)tan αtan β=1-=-1.‎ ‎3.式子f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).特别地,sin α±cos α=sin.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.‎ ‎(1)变角:对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.‎ ‎2.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差角的相对性,要注意“1”的各种变通.如tan=1,sin2α+cos2α=1等.‎ ‎3.在(0,π)范围内,sin α=所对应的角α不是唯一的.‎ ‎4.在三角求值时,常需要确定角的范围.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(  )‎ ‎(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(  )‎ ‎(3)在两角和、差的正切公式中,使两端分别有意义的角的范围不完全相同.(  )‎ ‎(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β ‎=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.(  )‎ 解析 (4)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ,k∈Z.‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°=(  )‎ A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 解析 tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+.故选D.‎ 答案 D ‎3.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析 tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A.‎ 答案 A ‎4.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知tan=,则tan α=________.‎ 解析 法一 因为tan=,所以=,即=,解得tan α=.‎ 法二 因为tan=,‎ 所以tan α=tan ‎===.‎ 答案  ‎5.(2020·南京、盐城一模)已知锐角α,β满足(tan α-1)·(tan β-1)=2,则α+β的值为________.‎ 解析 因为(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,因此tan(α+β)==-1,‎ 因为α+β∈(0,π),∴α+β=.‎ 答案  ‎6.(2019·宁波调研)已知sin β=,β∈,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)=________.‎ 解析 因为sin β=,β∈,所以cos β=-,由sin(α+β)=cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-cos(α+β)+sin(α+β)得sin(α+β)=-cos(α+β),所以tan(α+β)=-2.‎ 答案 -2‎ 考点一 两角和、差公式的正用 ‎【例1】 (1)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为________.‎ ‎(2)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.‎ ‎(1)解析 ∵tan α=tan[(α-β)+β]= ‎==>0,又α∈(0,π),‎ ‎∴0<α<,0<2α<π,又∵tan 2α===>0,∴0<2α<,‎ ‎∴tan(2α-β)===1.‎ ‎∵tan β=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,‎ ‎∴2α-β=-.‎ 答案 - ‎(2)解 由条件得 所以相除得=5.‎ 规律方法 (1)熟练掌握两角和、差的公式;(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角表示.‎ ‎【训练1】 (1)sin 75°=________.‎ ‎(2)(2020·杭州二中模拟)设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析 (1)sin 75°=sin(45°+30°)‎ ‎=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°‎ ‎=×+× ‎=.‎ ‎(2)因为0<α,β<,所以0<α+β<π.因为cos α=,所以sin α=,因为sin(α+β)=,0<α<α+β<π,sin α>sin(α+β),所以<α+β<π,所以cos(α ‎+β)=-.所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=,故选A.‎ 答案 (1) (2)A 考点二 两角和、差公式的逆用 ‎【例2】 计算·cos 10°+sin 10°tan 70°-2cos 40°.‎ 解 原式=+-2cos 40°‎ ‎=-2cos 40°‎ ‎=-2cos 40°‎ ‎=-2cos 40°‎ ‎= ‎==2.‎ 规律方法 (1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征;‎ ‎(2)对asin α±bcos α的式子注意化为一个角的一种函数(辅助角公式);‎ ‎(3)注意切化弦技巧.‎ ‎【训练2】 (1)-=________.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.‎ 解析 (1)原式= ‎= ‎==4.‎ ‎(2)∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,‎ ‎∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,①‎ cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,②‎ ‎①②两式相加可得 sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,‎ ‎∴sin(α+β)=-.‎ 答案 (1)4 (2)- 考点三 两角和、差公式的灵活应用 ‎【例3】 求的值.‎ 解 因为tan 60°=tan(70°-10°)=,‎ 所以tan 70°-tan 10°=tan 60°+tan 60°tan 70°tan 10°,‎ 即tan 70°-tan 10°+tan 120°=tan 60°tan 70°tan 10°,‎ 所以 ‎==.‎ 规律方法 (1)两角和、差正切公式的变形tan α±tan β ‎=tan(α±β)(1∓tan αtan β),特别地,若α+β=,则tan α+tan β=1-tan αtan β;‎ ‎(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况,应注意利用(1)中的变形;‎ ‎(3)已知三角函数的值求其他三角函数值时,注意用已知函数值的角表示要求函数值的角.‎ ‎【训练3】 (1)已知A,B为锐角,且满足tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)=________.‎ ‎(2)若α,β都是锐角,且sin α=,sin(α-β)=,则cos β=________.‎ 解析 (1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,‎ 得=-1,即tan(A+B)=-1.‎ ‎∵A,B∈,∴00,‎ ‎∴0<α-β<,∴cos(α-β)= ‎==.‎ ‎∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=×+× ‎=.‎ 答案 (1)- (2) 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.‎ 答案 D ‎2.化简的结果是(  )‎ A.tan B.tan 2x C.-tan x D. 解析 原式==tan ‎=tan(-x)=-tan x.‎ 答案 C ‎3.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是(  )‎ A.-1 B.0 ‎ C.1 D.2‎ 解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°‎ ‎=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°‎ ‎=1+1=2.‎ 答案 D ‎4.函数f(x)=sin x-cos的值域为(  )‎ A.[-2,2] B.[-,]‎ C.[-1,1] D. 解析 原式=sin x- ‎=sin x-cos x+sin x ‎=sin x-cos x= ‎=sin∈[-,].‎ 答案 B ‎5.(2019·浙江名师预测卷一)已知α∈R,则“tan α=2”是“sin=”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当tan α=2时,①若α为第一象限角,则sin α=,cos α=,此时sin=(sin 2α+cos 2α)=(2sin αcos α+cos2α-sin2α)=;②若α为第三象限角,则sin α=-,cos α=-,此时sin=(sin 2α+cos 2α)=(2sin αcos α+cos2α-sin2α)=;反之,当sin=时,易知=,即=,解得tan α=2或tan α=-,所以“tan α=2”是“sin=”的充分不必要条件,故选A.‎ 答案 A ‎6.已知sin+cos α=-,则cos=(  )‎ A.- B. ‎ C.- D. 解析 ∵sin+cos α=-,即sin αcos+cos αsin +cos α=-,∴sin α+cos α=-,sin α+cos α=-,sin=-,∴cos=cos=sin=-.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7.若函数f(x)=4sin x+acos x的最大值为5,则常数a=________.‎ 解析 f(x)=sin(x+φ),其中tan φ=,故函数f(x)的最大值为,由已知得=5,解得a=±3.‎ 答案 ±3‎ ‎8.(一题多解)化简sin+2sin-cos=________.‎ 解析 法一 原式=+2- ‎=sin x+cos x ‎=0.‎ 法二 原式=+2sin ‎=2+2sin ‎=2sin+2sin=2sin+2sin=-2sin+2sin=0.‎ 答案 0‎ ‎9.已知θ是第四象限角,且sin=,则sin θ=________;tan=________.‎ 解析 由题意,sin=,cos=,‎ ‎∴ 解得 ‎∴tan θ=-,tan===-.‎ 答案 - - ‎10.(2020·柯桥区调研)已知角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点P,则tan(π-θ)=________,若角α满足tan(α-θ)=,则tan α=________.‎ 解析 由题意得tan(π-θ)=-tan θ=-=,tan(α-θ)===,解得tan α=-.‎ 答案  - 三、解答题 ‎11.(1)求的值;‎ ‎(2)已知cos=,cos=,α∈,β∈,求cos的值.‎ 解 (1)原式= ‎= ‎= ‎= ‎=2.‎ ‎(2)cos=cos ‎=coscos+sinsin,‎ 因为0<α<,则<+α<,‎ 所以sin=,‎ 又因为-<β<0,‎ 则<-<,‎ 则sin=,‎ 故cos ‎=coscos+sinsin ‎=×+× ‎=.‎ ‎12.已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程x2-5x+6=0的两个根.‎ ‎(1)求α+β的值;‎ ‎(2)求cos(α-β)的值.‎ 解 (1)因为 所以tan(α+β)==-1.‎ 又因为α,β∈(0,π),且tan α,tan β>0,‎ 所以α,β∈,α+β∈(0,π),从而有α+β=.‎ ‎(2)由上可得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-.‎ 由tan αtan β=6,得sin αsin β=6cos αcos β,‎ 解得sin αsin β=,cos αcos β=,‎ 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.‎ 能力提升题组 ‎13.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则 sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为(  )‎ A.[-,1] B.[-1,]‎ C.[-1,1] D.[1,]‎ 解析 ∵sin αcos β-cos αsin β=1,∴sin(α-β)=1,‎ ‎∵α,β∈[0,π],‎ ‎∴α-β=,由⇒≤α≤π,‎ ‎∴sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin(α-2α+π)=cos α+sin α=sin,∵≤α≤π,∴≤α+≤π,∴-1≤sin≤1,即所求的取值范围是[-1,1],故选C.‎ 答案 C ‎14.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析 设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为+α,因为A(4,1),所以tan α=,tan===,即m2=n2.‎ 因为m2+n2=(4)2+12=49,所以n2+n2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为.‎ 答案 D ‎15.若x∈,y∈,且sin 2x=6tan(x-y)cos 2x,则x+y的取值不可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析 由x∈,y∈得2x∈(0,π),x-y∈,则sin 2x≠0,所以cos 2x≠0,tan (x-y)∈(-∞,0)∪(0,+∞),又由sin 2x=6tan(x-y)cos 2x得6tan(x-y)=tan 2x,不妨设6tan(x-y)=tan 2x=6a(a≠0),则tan(x+y)=tan[2x-(x-y)]==,设=k(k≠0),则有6ka2-5a+k=0有解,则Δ=(-5)2-4×6k2≥0,解得≤k<0或0