人教a版数学【选修1-1】作业：3-3-2函数的极值与导数（含答案） 5页

3.3.2 函数的极值与导数 课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极 大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a) ＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数 y＝f(x)在点 x ＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近 的左侧__________，右侧__________． 我们把点 a 叫做函数 y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数 y＝f(x)的__________；点 b 叫做函数 y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数 y＝f(x)的__________．极小值点、极大 值点统称为 __________，极大值和极小值统称为 ________．极值反映了函数在 ____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质． 2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不 一定”)是函数的极值点． 3．一般地，求可导函数 f(x)的极值的方法是： 解方程 f′(x)＝0.当 f′(x0)＝0时： (1)如果在 x0附近的左侧__________，右侧__________，那么 f(x0)是__________； (2)如果在 x0附近的左侧__________，右侧__________，那么 f(x0)是__________； (3)如果 f′(x)在点 x0的左右两侧符号不变，则 f(x0)____________． 一、选择题 1. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图，则函数 f(x)( ) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2．已知函数 f(x)，x∈R，且在 x＝1处，f(x)存在极小值，则( ) A．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0 B．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 C．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 D．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0 3．函数 f(x)＝x＋1 x 在 x>0时有( ) A．极小值 B．极大值 C．既有极大值又有极小值 D．极值不存在 4．函数 f(x)的定义域为(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x) 在开区间(a，b)内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数 f(x)＝x3－3bx＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A．00 D．b<1 2 6．已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( ) A．－12 D．a<－3或 a>6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．若函数 f(x)＝x2＋a x＋1 在 x＝1处取极值，则 a＝______. 8．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1处有极值－2，则 a、b 的值分别为________、________. 9．函数 f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围是 ________． 三、解答题 10．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x. 11．设函数 f(x)＝x3－9 2 x2＋6x－a. (1)对于任意实数 x，f′(x)≥m 恒成立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)＝0有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 能力提升 12．已知函数 f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a0 f′(x)>0 f′(x)<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部 2．导数为零 不一定 3．(1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1．C 2．C [∵f(x)在 x＝1处存在极小值， ∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.] 3．A [∵f′(x)＝1－1 x2 ，由 f′(x)>0， 得 x>1或 x<－1，又∵x>0，∴x>1. 由 f′x<0， x>0. 得 00， ∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．] 4．A [f(x)的极小值点左边有 f′(x)<0，极小值点右边有 f′(x)>0，因此由 f′(x)的图象知只 有 1个极小值点．] 5．A [f′(x)＝3x2－3b，要使 f(x)在(0,1)内有极小值，则 f′0<0 f′1>0 ，即 －3b<0 3－3b>0 ， 解得 00 时，图象与 x 轴的左 交点两侧 f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧 f′(x)的值分别小于零、大于零．所 以才会有极大值和极小值． ∴4a2－12(a＋6)>0得 a>6或 a<－3.] 7．3 解析 f′(x)＝2xx＋1－x2＋a x＋12 ＝ x2＋2x－a x＋12 . ∵f′(1)＝0，∴ 1＋2－a 4 ＝0，∴a＝3. 8．1 －3 解析 因为 f′(x)＝3ax2＋b， 所以 f′(1)＝3a＋b＝0. ① 又 x＝1时有极值－2，所以 a＋b＝－2. ② 由①②解得 a＝1，b＝－3. 9. 2 2 ，＋∞ 解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a 或 x<－a，f′(x)<0时，得－a0. a>0 解得 a> 2 2 . 10．解 (1)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－2或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 从表中可以看出，当 x＝－2时，函数 f(x)有极大值，且 f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当 x＝2时，函数 f(x)有极小值， 且 f(2)＝23－12×2＝－16. (2)f′(x)＝(1－x)e－x.令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 函数 f(x)在 x＝1处取得极大值 f(1)，且 f(1)＝1 e . 11．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6. 因为 x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m， 即 3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得 m≤－ 3 4 ， 即 m 的最大值为－ 3 4 . (2)因为当 x<1时，f′(x)>0； 当 12时，f′(x)>0. 所以当 x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5 2 －a； 当 x＝2时，f(x)取极小值 f(2)＝2－a， 故当 f(2)>0或 f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得 a<2或 a>5 2 . 12．(1)解 当 a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)， 因为 f′(x)＝(x－1)(3x－5)， 故 f′(2)＝1，又 f(2)＝0， 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y＝x－2. (2)证明 因为 f′(x)＝3(x－a)(x－a＋2b 3 )， 由于 a