高考数学黄金100题系列第17题幂函数理 11页

第 17 题幂函数 I．题源探究·黄金母题 【例】已知幂函数 )(xfy  的图象过点（2， 2 2 ），试 求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 【解析】设 )(xf = mx ，则 m 22 2  ，解得 2 1m ， 所以 )(xf = 2 1 x ，定义域为 ),0(  ，是非奇非偶函数， ∵ 02 1-  ，∴ )(xf 在 ),0(  是减函数，图像如下： 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 82 页复习 参考题 A 组第 10 题 【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、 奇偶性、单调性，是基础题．是高考重要考点 之一． 【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数 法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单 调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要 先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别， 注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不 同． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2014 高考浙江卷】在同一坐标系中，函数 )0()(  xxxf a ， xxg alog)(  的图象可能是（） 【答案】D 【解析】对 A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对 B ， )0()(  xxxf a 中 1a ， xxg alog)(  中 10  a ，不 符合题 意；对 C ， )0()(  xxxf a 中 10  a ， xxg alog)(  中 1a ，不符合题意；对 D， )0()(  xxxf a 中 10  a ， xxg alog)(  中 10  a ，符合题意；故选 D． 【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图 像与性质的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基 本以选择题或填空题的形式出现，难度较小， 往往与不等式、函数性质等数学知识相结合， 考查幂函数的定义、图像与性质． 【难点中心】幂函数因幂指数不同其定义域、 值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决 幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定 义域，根据幂指数确定其图像与性质，，熟记 不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解 题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键． 【例 2】【2014 上海卷】若 2 1 3 2 )( xxxf  ，则满足 0)( xf 的 x 取值范围是． 【答案】 (0,1) 【解析】根据幂函数的性质，由于 1 2 2 3  ，所以当 0 1x  时 2 1 3 2x x ， 当 1x  时 ， 2 1 3 2x x ， 因 此 ( ) 0f x  的解集为 (0,1) ． III．理论基础·解题原理 考点一幂函数的概念与表示 一般地，形如 y x （ xR）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数． 考点二幂函数的图像与性质 1．幂函数 2 1 32 ,1,,, xyxyxyxyxy  的图象 2．幂函数性质 y x 2y x 3y x 1 2y x 1y x  定义 R R R [0, ) ( ,0) (0, )  IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数 学知识结合考查幂函数的图像与性质． 【技能方法】 1．幂函数 ( )y x R  ＝ ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是 判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 2．在 0,1 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函 数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． 3．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三 象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标 轴相交，则交点一定是原点． 【易错指导】 （1）在掌握幂函数时，注意幂函数系数为 1，底数为自变量，指数为常数这一特征； （2）注意幂函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幂函数的幂指数有关； （3）注意幂函数与指数函数区别． V．举一反三·触类旁通 考向 1 幂函数的概念与表示 【例 1】【2018 河南三门峡模拟】已知幂函数      22 32 2 Zn nf x n n x n    的图象关于 y 轴对称， 且在 0  , 上是减函数，则 n 的值为( ) A． 3 B．1 C．2 D．1 或 2 【答案】B 域 值域 R [0, ) R [0, ) ( ,0) (0, )  奇偶 性 奇函 数 偶函数 奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 单调 性 增函 数 ( ,0) 减函数， (0, ) 增函 数 增函数 增函数 ( ,0) 减函数， (0, ) 增函 数 定点 (0,0) ， (1,1) (1,1) 【例 2】【2018 宁夏银川模拟】已知幂函数 ( )y f x 的图象过点 2(2, )2 ，则（） A． (1) (2)f f B． (1) (2)f f C． (1) (2)f f D． (1)f 与 (2)f 大小无法判定 【答案】A 【解析】设 ( ) af x x ，则 22 2 a  ， 1 2a   ，即 1 2( )f x x   ，在 (0, ) 上是减函数，所以 (1) (2)f f ．故 选 A． 【跟踪练习】 1．【2018 黑龙江哈尔滨模拟】若幂函数 22 2 )33(  mmxmmy 的图象不过原点，则 m 的取值是（） A． 21  m B． 21  mm 或 C． 2m D． 1m 【答案】D 【解析】由幂函数的定义，可得 2 2 2 2 2 3 3=1( 3 3) 1 2 0 m m m my m m x m m m              2．【2018 山西 45 校第一次联考】幂函数 在其图象上点 处的切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将点 2,16 代入 y x 得16 2 ，解得 4  ，故幂函数为 4y x ，因为 3 2 2 ' 4 32x x y x    ， 故切线方程为  16 32 2y x   ，即 32 48y x  ，故选 A． 3．【2018 广西钦州模拟】使代数式(|x|-1 1-3) 有意义的 x 的取值范围是() A．|x|≥1 B．-11 D．x∈R，且 x≠±1 【答案】D 考向 2 幂函数的图像 【例 3】【2018 湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幂函数 1, my x y x  与 ny x 在第一 象限的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为（） A． 1 0 1m n     B． 1 0n m    C． 1 0m n    D． 1 0 1n m     【答案】D 【例 4】【2018 浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知 p 分别为 ， 中 的一个，则相应于曲线C1、C2、C3、C4 的 p 值依次是（） A．-2， ， ，2B． ，-2，2， C．2， ， ，-2D．2， ，-2， 【答案】C 【解析】做直线 ，与四个函数图象从上到下的交点依次记为 ，而 ， 从而相应于曲线 的 n 依次为 2， ， ，-2，故选 C． 【例 5】【2018 山东济南模拟】已知函数     1 2 3 1 0 ( ) 0 x x f x x x       在区间 1,m 上的最大值是 2 ，则 m 的取 值范围是． 【答案】 ( 1,4] 【解析】     1 2 13 1= 1, 03( ) , 0 x x x f x x x x              ，作出函数图象，如图所示，因为函数在 1,m 上的最大值为 2 ，又    1 4 2,f f   所以 1 2m   ，即  1,2m  ． 【跟踪练习】 1．函数 的图象是（） ABC D 【答案】B 【名师点睛】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图 象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线 y=x 来刻画其它幂函数在 第一象限的凸向． 2．【2018 湖北黄冈 9月质量检测】函数 xy a （ 0a  ， 1a  ）与 by x 的图象如图，则下列不等式一 定成立的是（） A． 0ab  B． 0a b  C． 1ab  D． log 2a b 【答案】D 3．【2017 河南周口市上学期期末调研】已知指数函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ， 若定点 在幂函数 的图像上，则幂函数 的图像是（） A BC D 【答案】A 【解析】令 ，即 时， ，即指数函数 （ 且 ）的图象恒过 定点 ，又因为定点 在幂函数 的图象上，所以 ，即 ，解得 ，则 在定义域 上单调递增，故选 A． 考向 3 幂函数性质 【例 6】【2017 江西赣州模拟】幂函数 的图象经过点 ，则 是（） A．偶函数，且在 上是增函数 B．偶函数，且在 上是减函数 C．奇函数，且在 上是增函数 D．非奇非偶函数，且在 上是增函数 【答案】C 【解析】设幂函数为 ，代入点 ，解得 ，所以 ，可知函数是奇函数，且在 上是增函数，故选 C． 【例 7】【2017 河南新乡二模】设 0.46a  ， 0.4log 0.5b  ， 5log 0.4c  ，则 , ,a b c 的大小关系是（） A． a b c  B． c b a  C． c a b  D．b c a  【答案】B 【例 8】【2018 内蒙古集宁一中模拟】设 11,1, ,32       ，则使得函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数 的所有 的值为（） A．-1，3 B．-1，1 C．1，3 D．-1，1，3 【答案】C 【解析】由题意 1,3  ，当 1   时尽管也是奇函数，但定义域是 0x  ，应选答案 C ． 【跟踪练习】 1．设 a ＞0 且 a ≠1 ，则“函数 ( )f x = xa 在 R 上是减函数”，是“函数 ( )g x = 3(2 )a x 在 R 上是增函数” 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A． 【解析】p：“函数 ( )f x = xa 在 R 上是减函数”等价于 10  a ；q：“函数 ( )g x = 3(2 )a x 在 R 上是增 函数”等价于 02  a ，即 ,20  a 且 a ≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件．故选 A ． 2．【2018 东北师大附中模拟】已知幂函数  ( ) , 2, 1,1,3nf x x n    的图象关于 y 轴对称，则下列选项 正确的是（） A． ( 2) (1)f f  B． ( 2) (1)f f  C． (2) (1)f f D． ( 2) ( 1)f f   【答案】B 【解析】由于幂函数 nxxf )( 的图象关于 y 轴对称 ，可知 nxxf )( 为偶函数，所以 2n ，即 2)(  xxf ．则有 4 1)2()2(  ff ， 1)1()1(  ff ，所以 )1()2( ff  ，故选 B． 3．【2017 浙江省余姚中学二模】已知幂函数 ( )f x 过点 (2, 2) ，则满足 (2 ) ( 1)f a f a   的实数 a 的 取值范围是． 【答案】 3[1, )2 考向 4 幂函数的综合应用 【例 9】【2018 山东滕州三中模拟】已知幂函数 f（x）=xa 的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的 是（ ） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．当 x∈[﹣1，2]时，函数 f（x）的值域是[0，4] C．函数满足 f（x）+f（﹣x）=0 D．函数 f（x）的单调减区间为（﹣∞，0] 【答案】C 【解析】由题意可知 2 4a  ， 2a  ，所以   2f x x ，所以  1 1f   ，A 对，x∈[﹣1，2]时，函数 f （x）的值域是[0，4]，B 对．在（﹣∞，0]上单调递减，D 对，偶函数，C 错，选 C． 【例 10】【2018 山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是（） A． 的图像是一条直线 B．幂函数的图像都经过点 C．若幂函数 是奇函数，则 是增函数 D．幂函数的图像不可能出现在第四象限 【答案】D 【解析】对于 ，函数 的图象是一条直线除去 点，故 错误；对于 ，幂函数的图象都经过 点，当指数大于 时，都经过 点，当指数小于 时，不经过 点，故 错误；对于 ，若幂函数 是奇函数，且 时， 是定义域上的增函数， 时， 在 及 上均为减函数， 故 错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限， 正确，故选 D． 【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断 ，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、 幂函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处 知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条 件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题． 【例 11】【2017 河南濮阳模拟】当 时，下列函数中图象全在直线 下方的增函数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因对任意 ，都有 ，故当 时，函数的图象全在直线 下方的函数有 和 ，而函数 是单调递增函数， 函数 是单调递减函数，所以应选答案 A． 【例 12】【2017 河南息县一中高三下学期第三次阶段测试】若集合   1 3{ | }, { | ln 1 }A y y x B x y x     ，则 A B  （） A． 1, B． 0,1 C． 1, D． ,1 【答案】C 【跟踪练习】 1．设函数 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x x     ，若 ( )f  =4，则实数 = A．-4 或-2 B．-4 或 2 C．-2 或 4 D．-2 或 2 【答案】B 【解析】∵ ( )f  =4 ∴ 0 4      或 2 0 4      ，解得 =－4 或 =2，故选 B． 2．已知函数 3 2 , 2( ) ( 1) , 2 xf x x x x       ，若关于 x 的方程 ( )f x k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范 围是________． 【答案】（0，1） 3．若 3 1 )1(  a < 3 1 )23(   a ，则实数 a 的取值范围是_____________． 【答案】 )2 3,3 2()1,(  【解析】不等式(a＋1) 1 3 － <(3－2a) 1 3 － 等价于 a＋1>3－2a>0 或 3－2a