数学北师大版（2019）必修第二册：2-6-1-一 余弦定理 学案与作业 11页

§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 一、余弦定理 (15 分钟 30 分) 1.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,A=60°,b=1,三角形的面积 为 ,则 a=( ) A.2 B. C.2 D. 【解析】选 D.依题意 S= bcsin A= ·1·csin 60°= ,解得 c=4,由 余弦定理得 a= = . 【补偿训练】 在 △ABC 中 ,a,b,c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 若 2b=a+c,B=30°,△ABC 的面积是 ,则 b=( ) A.1+ B. C. D.2+ 【解析】选 A.由已知 S= acsin B= acsin 30°= ac= ,得 ac=6,所以 b2=a2+c2- 2accos 30°=(a+c)2-2ac- ac=4b2-6(2+ ),解得 b= +1. 2.满足 A=60°,c=1,a= 的△ABC 的个数记为 m,则 am 的值为( ) A.3 B. C.1 D.不确定 【解析】选 B.由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A, 即 3=b2+1-b,解得 b=2 或 b=-1(舍去), 所以满足条件的△ABC 只有一个,即 m=1,所以 am= . 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2+c2=a2+bc,bc=a2, 则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【 解 析 】 选 C. 由 b2+c2=a2+bc, 可 得 b2+c2-a2=bc, 故 cos A= = = , 因为 00,故最大角 C 为锐角,从而△ABC 为锐角三角形,故此 选项不符合题意;D 选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足, 则 D 项必定成立). 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c= b,cos B= cos C,a= ,则 S△ABC= . 【解题指南】先根据余弦定理得 b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果. 【解析】因为 cos B= cos C, 所以 = ,结合 c= b, 化简得 a= b,从而有 b2+c2=a2, 即△ABC 为直角三角形,将 c= b,a= 代入 b2+c2=a2,得 b=1,于是 c= , 所以 S△ABC= bc= . 答案: 【补偿训练】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C= ,c=2,则△ABC 面积的最大值为 . 【解析】由 C= 及 c=2 可得 4=a2+b2-2abcos , 即 a2+b2-ab=4,由不等式 a2+b2≥2ab 可得 2ab-ab≤4,即 ab≤4, 当且仅当 a=b=2 时取等号. 所以 S= absin C= ab≤ ×4= , 故△ABC 面积的最大值为 . 答案: 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+ accos B+bccos C 的值是 . 【解析】因为 cos A= , 所以 bccos A= (b2+c2-a2), 同理 accos B= (a2+c2-b2), abcos C= (a2+b2-c2), 所以 bccos A+accos B+abcos C= (a2+b2+c2)= . 答案: 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.设向量 m= ,n=(b-2,a-2),在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 2c2=(2b-a)b+(2a-b)a. (1)求角 C; (2)若 m⊥n,边长 c=2,求△ABC 的周长 l 和面积 S 的值. 【解析】(1)由已知可得 c2=b2+a2-ab, 所以 cos C= = ,所以 C= . (2)由题意可知 m⊥n, 可得 a +b =0,所以 a+b=ab, 由余弦定理可知 4=a2+b2-ab= -3ab, 则 -3 -4=0,即 a+b=4, 故周长为 4+2=6,面积 S= absin C= ·4·sin = . 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,c=2acos B. (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c=1,C= ,求△ABC 的面积. 【解析】(1)因为 c=2acos B,所以 c=2a· , 所以 a2+c2-b2=c2,即 a2=b2, 所以 a=b,△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 a=b, 所以 cos C= = = , 解得 a2=2+ , 所以 S△ABC= absin C= a2sin C= . 1.在△ABC 中,D 在线段 AB 上,且 AD=5,BD=3,若 CB=2CD,cos∠CDB=- , 则下列 说法错误的是( ) A.△ABC 的面积为 8 B.△ABC 的周长为 8+4 C.△ABC 为钝角三角形 D.sin∠CDB= 【解析】选 D.设 CD=a,则 BC=2a, 在△BCD 中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得 a= , 所以 S△DBC= BD·CD·sin∠CDB= ×3× × =3, 所以 S△ABC= S△DBC=8,故 A 正确; 因为∠ADC=π-∠CDB,所以 cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB= , 在△ADC 中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得 AC=2 , 所以 C△ABC=AB+AC+BC= +2 +2 =8+4 ,故 B 正确; 因为 AB=8 为最大边,所以 cos C= =- <0,即∠C 为钝角, 所以△ABC 为钝角三角形,故 C 正确. 因为 cos∠CDB=- , 所以 sin∠CDB= = ,故 D 错误. 2.如图,△ABC 的顶点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,0). (1)若 c=5,求 sin A 的值; (2)若 A 为钝角,求 c 的取值范围. 【解析】(1)因为 A(3,4),B(0,0), 所以 AB=5,当 c=5 时 BC=5, 所以 AC= =2 . 由余弦定理知 cos A= = = . 因为 0 ,故 c 的取值范围为 . 关闭 Word 文档返回原板块