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- 2021-06-16 发布
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课后提升作业 十四
平面与平面垂直的判定
(45 分钟 70 分)[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.已知二面角α-l-β的大小为 60°,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥
β,则 m,n 所成的角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选 B.由题可知,因为有 m⊥α,n⊥β,所以 m,n 所成的角与
二面角α-l-β所成的角相等或者互补,因为二面角α-l-β的大小为
60°,所以异面直线 m,n 所成的角为 60°.
2.(2016·吉安高二检测)在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是棱 AB,
BC,CA 的中点,下列结论中不成立的是 ( )
A.BC∥平面 PDF
B.DF⊥平面 PAE
C.平面 PDF⊥平面 PAE
D.平面 PDF⊥平面 ABC
【解析】选 D.D,F 分别为 AB,AC 的中点,DF 为三角形的中位线,则
BC∥DF,依据线面平行判定定理可知,BC∥平面 PDF;又 E 为 BC 的中点,
连接 AE,PE,则 BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直判定定理可知 BC⊥平
面 PAE,因 BC∥DF,则 DF⊥平面 PAE,又 DF⊂平面 PDF,则平面 PDF⊥
平面 PAE,所以只有 D 不成立.
【延伸探究】本题中若将条件“D,E,F 分别是棱 AB,BC,CA 的中点”
改为“PC⊥AB,AC⊥PC”,则下列结论成立的是 ( )
A.平面 PAB⊥平面 PBC B.平面 PAB⊥平面 PAC
C.平面 PAB⊥平面 ABC D.平面 PBC⊥平面 ABC
【解析】选 D.因为 PC⊥AB,PC⊥AC,AB∩AC=A,所以 PC⊥平面 ABC,
又 PC⊂平面 PBC,所以平面 PBC⊥平面 ABC.
3.(2016·太原高二检测)如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则图
中互相垂直的平面有 ( )
A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
【解析】选 D.观察图形,根据空间垂直关系的判定方法,可以得出下面
几组互相垂直的平面:平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 ABCD,平
面 PCD⊥平面 PAD,平面 PBC⊥平面 PAB,平面 PAD⊥平面 PAB,一共 5
对.
4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法中
正确的是
( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则 m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则 m∥n
C.若 m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
【解析】选 D.对于选项 A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相
交、异面都可能,但未必垂直;对于选项 B,分别在两个平行平面内的
两条直线平行、异面都可能;对于选项 C,两个平面分别经过两垂直直
线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项 D,m⊥α,m∥n,则 n
⊥α;又因为 n∥β,则β内存在与 n 平行的直线 l,因为 n⊥α,则 l
⊥α,由于 l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.
5.如图,在三棱锥 P-ABC 中,已知 PC⊥BC,PC⊥AC,点 E,F,G 分别是
所在棱的中点,则下面结论中错误的是 ( )
A.平面 EFG∥平面 PBC
B.平面 EFG⊥平面 ABC
C.∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角
D.∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角
【解析】选 D.A 正确,因为 GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,
所以平面 EFG∥平面 PBC;
B 正确,因为 PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,
所以 GF⊥BC,GF⊥AC,又 BC∩AC=C,
所以 GF⊥平面 ABC,
所以平面 EFG⊥平面 ABC;
C 正确,易知 EF∥BP,
所以∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角;
D 错误,因为 GE 与 AB 不垂直,所以∠FEG 不是平面 PAB 与平面 ABC 所
成二面角的平面角.
6.(2016·嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形
的中心,高是 ,侧棱长为 ,那么侧面与底面所成的二面角是
( )
A.60° B.30° C.45° D.75°
【解析】选 A.过 B 作 AC 边上的中线 BD,交 AC 于 D,连接 VD,
则 V 在底面 ABC 上的射影 O 点在中线 BD 上,且 BO=2OD,
因为 VO⊥平面 ABC,
所以 BO2=VB2-VO2,
又 VO= ,VB= ,
所以 BO=2,OD=1,[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
所以 cos∠VDO= ,
所以∠VDO=60°.
即平面 VAC 与平面 ABC 所成二面角为 60°.
7.(2016·赣州高二检测)如图,P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 上的动点,
下列说法:
①AP⊥B1C;②BP 与 CD1 所成的角是 60°;③ 为定值;④B1P∥平
面 D1AC;⑤二面角 P-AB-C 的平面角为 45°.
其中正确说法的个数有 ( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【解析】选 C.①AB⊥BC,AB⊥BB1,所以平面 ABP⊥平面 BB1C1C,从而 AP
⊥B1C 正确;②由于 CD1∥A1B,并且 BC1 与 A1B 的夹角是 60°,故 BP 与
CD1 所成的角是
60°正确;③虽然点 P 变化,但 P 到 AD1 的距离始终不变,故 为
定值正确;⑤P 点变化,但二面角 P-AB-C 都是面 AD1C1B 与面 ABCD 所成
的角,故二面角 P-AB-C 的平面角为 45°正确.
8.如图,将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个
结论:
①AC⊥BD;②△ACD 是等边三角形;③AB 与 CD 所成的角为 60°;④AB
与平面 BCD 所成的角为 60°.
其中错误的结论是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选 D.如图所示,取 BD 的中点 E,
连接 AE,EC,AC,易知 BD⊥面 AEC,所以①正确;[来源:学科网 ZXXK]
设正方形的边长为 a,则 AE=EC= a,
由勾股定理可得 AC=a,
所以△ACD 是等边三角形,②正确;
取 BC 的中点 F,AC 的中点 G,
连接 EF,EG,FG,则 EF=FG= a,EG= a,
所以 AB 与 CD 所成的角为 60°,③正确;
AB 与平面 BCD 所成的角为∠ABE=45°,所以④错误.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
9.(2016·济宁高一检测)如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于
点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB的中点.有以
下四个命题:
①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC;
③OC⊥平面 PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)
【解析】①不正确,因为 PA⊂平面 MOB;
②正确,因为 MO∥PA,而且 MO⊄平面 PAC,
所以 MO∥平面 PAC;
③不正确,OC不垂直于 AC;
④正确,因为 BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,
所以 BC⊥平面 PAC.
答案:②④
【补偿训练】(2016·广州高一检测)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底
面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②
平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).
【解析】对于①,由 PA⊥平面 ABC,AE⊂平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正
六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB⊂平面 PAB,
所以 AE⊥PB,①正确;对于②,因为平面 PAB⊥平面 ABC,所以平面 ABC
⊥平面 PBC 不成立,②错;对于③,由正六边形的性质得 BC∥AD,又
AD⊂平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD,所以直线 BC∥平面 PAE 也不成立,
③错;对于④,在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,所以④
正确.
答案:①④
10.(2016·台州高二检测)A 是锐二面角α-l-β的α内一点,AB⊥β于
点 B,AB= ,A 到 l 的距离为 2,则二面角α-l-β的平面角大小为
________.
【解析】由题可知,设过点 A 作 l 的垂线,垂足为 C,由于 AB⊥β,则
三角形 ABC 为直角三角形,∠ACB 就是二面角α-l-β的平面角,
BC= =1,因此∠ACB=60°,即二面角α-l-β的平面角是 60°.
答案:60°
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
11.如图所示,已知三棱锥 P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D 为 AB
的中点,且△PDB 是正三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC.
(2)求二面角 D-AP-C 的正弦值.
【解析】(1)因为 D 是 AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB=20,所以
PD= AB=10,所以 AP⊥PB.
又 AP⊥PC,PB∩PC=P,
所以 AP⊥平面 PBC.
又 BC⊂平面 PBC,所以 AP⊥BC.
又 AC⊥BC,AP∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC.
又 BC⊂平面 ABC,所以平面 PAC⊥平面 ABC.
(2)因为 PA⊥PC,且 PA⊥PB,
所以∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角.
由(1)知 BC⊥平面 PAC,则 BC⊥PC,
所以 sin∠BPC= = .
12.(2016·山东高考)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的
直径,EF 是上底面圆 O'的直径,FB 是圆台的一条母线.
(1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC.
(2)已知 EF=FB= AC=2 ,AB=BC.求二面角 F-BC-A 的余弦值.[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】(1)如图,设 FC 中点为 I,连接 GI,HI,在△CEF 中,GI∥EF,
又 EF∥OB,所以 GI∥OB;在△CFB 中,HI∥BC,
又 HI∩GI=I,
所以,平面 GHI∥平面 ABC,
又因为 GH⊂平面 GHI,GH⊄ 平面 ABC,
所以 GH∥平面 ABC.
(2)如图,连接 OO',过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M,则有 FM∥OO'.又 OO'⊥
平面 ABC,所以 FM⊥平面 ABC,可得 FM= =3.
过点 M作 MN⊥BC,垂足为 N,易得 FN⊥BC,
从而∠FNM 为二面角 F-BC-A 的平面角.
又 AB=BC,AC 为下底面圆的直径,
可得 MN=BMsin45°= .
由勾股定理可得,FN= ,从而 cos∠FNM= .
所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 .
【能力挑战题】
如图,四边形 ABCD 是正方形,△PAB 与△PAD 均是以 A 为直角顶点的等
腰直角三角形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)求二面角 A-PC-B 的平面角的正弦值.
【解析】(1)因为 F 是 PB 的中点,且 PA=AB,所以 AF⊥PB,
因为△PAB 与△PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,
所以 PA⊥AD,PA⊥AB.
因为 AD∩AB=A,AD⊂平面 ABCD,AB⊂平面 ABCD,所以 PA⊥平面 ABCD.
因为 BC⊂平面 ABCD,所以 PA⊥BC.
因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BC⊥AB.
因为 PA∩AB=A,PA⊂平面 PAB,AB⊂平面 PAB,[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
所以 BC⊥平面 PAB.
因为 AF⊂平面 PAB,所以 BC⊥AF.
因为 PB∩BC=B,PB⊂平面 PBC,BC⊂平面 PBC,
所以 AF⊥平面 PBC.
因为 EF⊂平面 PBC,所以 AF⊥EF.
(2)作 FH⊥PC 于点 H,连接 AH,
因为 AF⊥平面 PBC,PC⊂平面 PBC,所以 AF⊥PC.
因为 AF∩FH=F,AF⊂平面 AFH,FH⊂平面 AFH,
所以 PC⊥平面 AFH.
因为 AH⊂平面 AFH,所以 PC⊥AH.
所以∠AHF 为二面角 A-PC-B 的平面角.
设正方形 ABCD 的边长为 2,则 PA=AB=2,AC=2 ,
在 Rt△PAC 中,
PC= =2 ,AH= = ,
在 Rt△AFH 中,sin∠AHF= = ,
所以二面角 A-PC-B 的平面角的正弦值为 .
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