人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业七2-1-1含解析 6页

课后提升作业 七 平 面 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.下列叙述正确的是 ( ) A.若 P∈α，Q∈α，则 PQ∈α B.若 P∈α，Q∈β，则α∩β=PQ C.若 AB⊂α，C∈AB，D∈AB，则 CD∈α D.若 AB⊂α，AB⊂β，则 A∈α∩β且 B∈α∩β 【解析】选 D.点在直线或平面上，记作 A∈l，A∈α，直线在平面内记 作 AB⊂α或 l⊂α，故 D 正确. 2.下面说法中(其中 A，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)： ①因为 A⊂α，B⊂α，所以 AB⊂α； ②因为 A∈α，B∈α，所以 AB∈α； ③因为 A∉a，a⊂α，所以 A∉α； ④因为 A∉α，a⊂α，所以 A∉a. 其中正确的说法的序号是 ( ) A.①④ B.②③ C.④ D.③ 【解析】选 C.点在平面上，用“∈”表示，不能用“⊂”表示，故①不 正确；AB 在α内，用“⊂”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；由 A∉a，a⊂α，不能得出 A∉α，故③不正确；由 A∉α，a⊂α，知 A∉a， 故④正确. 3.下列说法中正确的个数为 ( ) ①三角形一定是平面图形； ②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形； ③圆心和圆上两点可确定一个平面； ④三条平行线最多可确定三个平面. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 C.由公理 2 可知①正确；因为两对角线相交，故可确定一平 面，故②正确；当圆上两点与圆心共线时，不能确定平面，故③错误； 每两条平行线可确定一个平面，故最多可确定 3 个平面，④正确. 4.已知 A，B 是点，a，b，l 是直线，α是平面，如果 a⊂α，b⊂α，l ∩a=A，l∩b=B，那么下列关系中成立的是 ( ) A.l⊂α B.l∈α C.l∩α=A D.l∩α=B 【解析】选 A.因为 l∩a=A，a⊂α，所以 A∈α，又 l∩b=B，b⊂α，所 以 B∈α，故 l⊂α. 5.用符号语言表示下列语句，正确的个数是 ( ) (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β. (2)直线 a 经过平面α外的点 A，且 a 不在平面α内：A∈a，A∉α， a⊄ α. (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P：α∩β=l，P∈l. (4)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M：P∈l， l∩α=M. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 B.(1)错误，点 A 和平面的关系应是 A∈α，A∉β，(4)错误， 缺少 P∉α，(2)(3)正确. 6.(2016·青岛高一检测)一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个 数是 ( ) A.4 B.6 C.7 D.10 【解析】选 A.当直线外这三点不共线且任意两点的连线不平行于该直线 时，确定的平面个数最多为 4 个. 【误区警示】本题易选 C.产生错误的原因是先在已知直线上任取 2 点， 这样共 5 点构成一个四棱锥，这样 4 个侧面，两个对角面，一个底面共 7 个，将条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点. 7.如图所示，平面α∩平面β=l，点 A∈α，点 B∈α，且点 C∈β，点 C∉l.又 AB∩l=R，设过 A，B，C 三点的平面为γ，则β∩γ是 ( ) A.直线 AC B.直线 BC C.直线 CR D.以上均错 【解析】选 C.由 C，R 是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ=CR. 8.(2016·成都高一检测)在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分 别取 E，F，G，H 四点，如 EF 与 HG 交于点 M，那么 ( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上 D.M 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 【解析】选 A.如图，因为 EF∩HG=M， 所以 M∈EF，M∈HG， 又 EF⊂平面 ABC，HG⊂平面 ADC， 故 M∈平面 ABC，M∈平面 ADC， 所以 M∈平面 ABC∩平面 ADC=AC. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线 EH 与 FG 相交于点 P，则点 P 必在直线________上. 【解析】P∈EH，EH⊂α，故 P∈α，同理 P∈β，而α∩β=BD，所以 P ∈BD. 答案：BD 10.若直线 l 与平面α相交于点 O，A，B∈l，C，D∈α，且 AC∥BD，则 O， C，D 三点的位置关系是__________. 【解析】如图，因为 AC∥BD，所以 AC 与 BD 确定一个平面，记为β， 则α∩β=CD， 因为 l∩α=O，所以 O∈α，又 O∈AB⊂β，所以 O∈β，所以 O∈CD.故 O，C，D 共线. 答案：共线 三、解答题 11.(10 分)如图，△ABC 与△A1B1C1 不全等，且 A1B1∥AB，B1C1 ∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1 交于一点. 【证明】如图所示，因为 A1B1∥AB， 所以 A1B1 与 AB 确定一平面，记为平面α. 同理，将 B1C1 与 BC 所确定的平面记为平面β，C1A1 与 CA 所确定的平面 记为平面γ. 易知β∩γ=C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等， 所以 AA1 与 BB1 相交，设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，所以 P∈γ，P∈β， 所以 P 在平面β与平面γ的交线上. 又β∩γ=C1C，所以 P∈C1C， 所以 AA1，BB1，CC1 交于一点. 【补偿训练】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 B1C1 和 D1C1 的中点，P，Q 分别为 EF 和 BD 的中点，对 角线 A1C 与平面 EFDB 交于 H 点，求证：P，H，Q 三点共线. 【证明】EF∥DB，确定平面 BF， ⇒P∈平面 BF. 同理，Q∈平面 BF， 所以 P，H，Q∈平面 BF，A1C1∥AC，确定平面 A1C， P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C， 所以 P，H，Q∈平面 A1C. 根据公理 3，P，H，Q 三点一定在平面 BF 与平面 A1C 的交线上，故 P，H， Q 三点共线.