【数学】2020届一轮复习北师大版圆的参数方程作业 8页

‎1.曲线x=5cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数)的左焦点的坐标是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(-4,0) B.(0,-4)‎ C.(-2,0) D.(0,2)‎ 解析:由x=5cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数),‎ 得x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1,‎ 故左焦点的坐标为(-4,0).‎ 答案:A ‎2.圆锥曲线x=‎4‎cosθ,‎y=3tanθ(θ为参数)的焦点坐标是(　　)‎ A.(-5,0) B.(5,0)‎ C.(±5,0) D.(0,±5)‎ 解析:由x=‎4‎cosθ,‎y=3tanθ(θ为参数),‎ 得x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1,‎ 故它的焦点坐标为(±5,0).‎ 答案:C ‎3.过点M(2,1)作曲线C:x=4cosθ,‎y=4sinθ(θ为参数)的弦,使点M为弦的中点,则此弦所在直线方程为(　　)‎ A.y-1=-‎1‎‎2‎(x-2) B.y-1=-2(x-2)‎ C.y-2=-‎1‎‎2‎(x-1) D.y-2=-2(x-1)‎ 解析:∵把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心在原点,半径为4的圆,‎ ‎∴过点M的弦与线段OM垂直,又kOM=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴弦所在直线的斜率为-2,‎ ‎∴直线方程为y-1=-2(x-2).‎ 答案:B ‎4.已知P(x,y)是曲线x=2+cosα,‎y=sinα(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(　　)‎ A.36 B.6 C.26 D.25‎ 解析:由参数方程可知,(x-2)2+y2=1,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),‎ ‎∴|OM|=‎(5-2‎)‎‎2‎+(-4-0‎‎)‎‎2‎=5.‎ ‎∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.‎ 答案:A ‎5.导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆x=2cosθ,‎y=4sinθ(θ为参数,且0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 解析:将(2cos θ,4sin θ)代入y=x+b得 ‎4sin θ=2cos θ+b.‎ ‎∵恒有公共点,‎ ‎∴以上方程有解.‎ 令f(θ)=4sin θ-2cos θ=2‎5‎sin(θ-φ).‎ ‎∴-2‎5‎≤f(θ)≤2‎5‎.‎ ‎∴-2‎5‎≤b≤2‎5‎.‎ 答案:[-2‎5‎,2‎5‎]‎ ‎6.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x=‎3‎cosα,‎y=sinα(α为参数).‎ ‎(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为‎4,‎π‎2‎,判断点P与直线l的位置关系;‎ ‎(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.‎ 解(1)把极坐标系下的点P‎4,‎π‎2‎化为直角坐标,得P(0,4).‎ 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.‎ ‎(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(‎3‎cos α,sin α),‎ 从而点Q到直线l的距离 d=‎‎|‎3‎cosα-sinα+4|‎‎2‎ ‎=‎‎2cosα+‎π‎6‎+4‎‎2‎ ‎=‎2‎cosα+‎π‎6‎+2‎2‎.‎ 由此得,当cosα+‎π‎6‎=-1时,d取得最小值,且最小值为‎2‎.‎ ‎7.求椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1的参数方程.‎ ‎(1)设x=3cos φ,φ为参数;‎ ‎(2)设y=2t,t为参数.‎ 解(1)把x=3cos φ代入椭圆方程,得‎9cos‎2‎φ‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1,‎ 所以y2=4(1-cos2φ)=4sin2φ,即y=±2sin φ.‎ 由φ的任意性,可取y=2sin φ.‎ 故x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1的参数方程为x=3cosφ,‎y=2sinφ(φ为参数).‎ ‎(2)把y=2t代入椭圆方程,得x‎2‎‎9‎‎+‎‎4‎t‎2‎‎4‎=1.‎ 即x2=9(1-t2),∴x=±3‎1-‎t‎2‎.‎ 故参数方程为x=3‎1-‎t‎2‎,‎y=2t(t为参数)或x=-3‎1-‎t‎2‎,‎y=2t(t为参数).‎ ‎8.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,‎ ‎(1)求2x+y的取值范围;‎ ‎(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解(1)设圆的参数方程为x=cosθ,‎y=1+sinθ(θ为参数),‎ 则2x+y=2cos θ+sin θ+1=‎5‎sin(θ+φ)+1,‎ 故-‎5‎+1≤2x+y≤‎5‎+1.‎ ‎(2)∵x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0.‎ ‎∴a≥-(cos θ+sin θ)-1=-‎2‎sinθ+‎π‎4‎-1,‎ ‎∴a≥‎2‎-1.‎ ‎9.导学号73144032已知点A,B是椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.‎ 解椭圆的参数方程为x=3cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数).‎ 设点P的坐标为(3cos θ,2sin θ),其中0≤θ<π‎2‎,‎ ‎∵SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,‎ ‎∴只需S△APB最大即可.‎ 又∵AB为定长,故只需点P到AB的距离最大即可.‎ AB的方程为2x+3y-6=0,点P到AB的距离为 d=‎|6cosθ+6sinθ-6|‎‎13‎‎=‎‎6‎‎13‎‎2‎sinθ+‎π‎4‎-1‎.‎ ‎∴当θ=π‎4‎时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为‎3‎‎2‎‎2‎‎,‎‎2‎.‎ B组 ‎1.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆x=a+rcosθ,‎y=b+rsinθ(θ为参数)的圆心在(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为直线y=ax+b经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以圆心(a,b)在第三象限.‎ 答案:A ‎2.已知椭圆x=acosθ,‎y=bsinθ(θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ=(　　)‎ A.π B.π‎2‎ C.2π D.‎‎3π‎2‎ 解析:由‎-a=acosθ,‎‎0=bsinθ,‎得cosθ=-1,‎sinθ=0,‎所以θ=π.‎ 答案:A ‎3.如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为　　　　　　　　　　. ‎ 解析:由三角函数定义知yx=tan θ(x≠0),y=xtan θ,由x2+y2-x=0,得x2+x2tan2θ-x=0,x=‎1‎‎1+tan‎2‎θ=cos2θ,则y=xtan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,又θ=π‎2‎时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为x=cos‎2‎θ,‎y=sinθcosθ(θ为参数).‎ 答案:x=cos‎2‎θ,‎y=sinθcosθ(θ为参数)‎ ‎4.若点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则x+y的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. ‎ 解析:∵点P在椭圆x2+y‎2‎‎4‎=1上,‎ ‎∴可以设点P的坐标为(cos θ,2sin θ),‎ 即x=cos θ,y=2sin θ,‎ ‎∴x+y=cos θ+2sin θ=‎5‎sin(θ+φ),其中tan φ=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵sin (θ+φ)∈[-1,1],‎ ‎∴x+y的最大值为‎5‎,最小值为-‎5‎.‎ 答案:‎5‎　-‎‎5‎ ‎5.导学号73144033已知曲线C的参数方程为x=‎2‎cost,‎y=‎2‎sint(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为　　　　　. ‎ 解析:∵曲线C的参数方程为x=‎2‎cost,‎y=‎2‎sint(t为参数),‎ ‎∴其普通方程为x2+y2=2.‎ 又点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.‎ 故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsinθ+‎π‎4‎‎=‎‎2‎.‎ 答案:ρsinθ+‎π‎4‎‎=‎‎2‎ ‎6.设方程x=t+‎2‎cosθ,‎y=2t+tanθ,‎ ‎(1)当t=1时,θ为参数,此时方程表示什么曲线?‎ ‎(2)当θ=π‎4‎时,t为参数,此时方程表示什么曲线?‎ 解(1)当t=1时,θ为参数,原方程化为 x=1+‎2‎cosθ,‎y=2+tanθ,‎消去参数θ,‎ 得x-1‎‎2‎‎2‎-(y-2)2=1,即‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-(y-2)2=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.‎ ‎(2)当θ=π‎4‎时,t为参数,原方程化为x=2‎2‎+t,‎y=1+2t,‎ 消去参数t,得y=2x+1-4‎2‎,这是一条直线.‎ ‎7.已知直线l:x-y+9=0和椭圆C:x=2‎3‎cosθ,‎y=‎3‎sinθ(θ为参数).‎ ‎(1)求椭圆C的左右焦点F1,F2的坐标;‎ ‎(2)求以F1,F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.‎ 解(1)由椭圆的参数方程消去参数θ,得椭圆的标准方程为x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1,‎ 得a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9,则c=3.‎ 故F1(-3,0),F2(3,0).‎ ‎(2)∵2a=|MF1|+|MF2|,‎ ‎∴只需在直线l:x-y+9=0上找到点M,使得|MF1|+|MF2|最小即可.‎ 点F1(-3,0)关于直线l的对称点是F'1(-9,6),‎ ‎∴点M为F2F'1与直线l的交点,则 ‎|MF1|+|MF2|=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|‎ ‎=‎(-9-3‎)‎‎2‎+(6-0‎‎)‎‎2‎=6‎5‎,‎ ‎∴a=3‎5‎.‎ 又∵c=3,b2=a2-c2=36,‎ ‎∴所求椭圆的方程为x‎2‎‎45‎‎+‎y‎2‎‎36‎=1.‎ ‎8.导学号73144034已知曲线C的方程为x=‎1‎‎2‎(et+e‎-t)cosθ,‎y=‎1‎‎2‎(et-e‎-t)sinθ,‎ 当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?当θ为不等于kπ‎2‎(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?两曲线有何共同特征?‎ 分析研究曲线的参数方程首先要明确哪个量是参变量.‎ 解当θ为参数时,将原参数方程记为①,‎ 将参数方程①化为‎2xet‎+‎e‎-t‎=cosθ,‎‎2yet‎-‎e‎-t‎=sinθ,‎ 平方相加消去θ,得x‎2‎et‎+‎e‎-t‎2‎‎2‎‎+‎y‎2‎et‎-‎e‎-t‎2‎‎2‎=1.②‎ ‎∵(et+e-t)2>(et-e-t)2>0,‎ ‎∴方程②表示的曲线为椭圆.‎ 当t为参数时,将方程①化为‎2xcosθ‎=et+e‎-t,‎‎2ysinθ‎=et-e‎-t.‎ 平方相减,消去t,得x‎2‎cos‎2‎θ‎-‎y‎2‎sin‎2‎θ=1.③‎ ‎∴方程③表示的曲线为双曲线,‎ 即C为双曲线.‎ ‎∵在方程②中et‎+‎e‎-t‎2‎‎2‎‎-‎et‎-‎e‎-t‎2‎‎2‎=1,‎ ‎∴c=1,椭圆的焦点为(-1,0),(1,0).‎ ‎∵在方程③中cos2θ+sin2θ=1,‎ ‎∴c'=1,‎ ‎∴双曲线的焦点也为(-1,0),(1,0).‎ 因此椭圆和双曲线有共同的焦点.‎