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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:10

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www.ks5u.com ‎10.3 复数的三角形式及其运算 ‎[课程目标] 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算;2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系.‎ 知识点一  复数的三角形式 ‎[填一填]‎ ‎1.如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|=,根据任意角余弦、正弦的定义可知,cosθ=,sinθ=.因此,a=rcosθ,b=rsinθ,如图所示,从而z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ),上式的右边称为非零复数z=a+bi的三角形式(对应地,a+bi称为复数的代数形式),其中的θ称为z的辐角.‎ ‎2.任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作argz.‎ ‎[答一答]‎ ‎1.复数的三角形式条件是什么?‎ 提示:z=r(cosθ+isinθ),‎ ‎①r≥0.‎ ‎②加号连接.‎ ‎③余弦在前,正弦在后.‎ ‎④θ前后一致,可任意值.‎ 知识点二   复数三角形式的乘法 ‎[填一填]‎ ‎1.设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].‎ ‎2.两个复数相乘的几何意义:设z1,z2对应的向量分别为,,将绕原点旋转θ2,再将的模变为原来的r2倍,如果所得向量为,则对应的复数即为z1z2,如图所示.‎ ‎3.如果n∈N,则[r(cosθ+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].‎ ‎[答一答]‎ ‎2.复数三角形式的乘法的运算原则是什么?‎ 提示:两个复数相乘,其积还是一个复数,它的模等于两个复数模的积,它的辐角等于两个复数辐角的和.也就是说,两个复数相乘,是把模相乘作为积的模,把辐角相加作为积的辐角.‎ 知识点三  复数三角形式的除法 ‎[填一填]‎ ‎1.设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)(z2≠0),则==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].‎ ‎2.两个复数相除的几何意义:‎ 设z1,z2对应的向量分别为,,将绕原点顺时针旋转θ2,再将的模变为原来的,如果所得向量为,则对应的复数即为,如图所示.‎ ‎[答一答]‎ ‎3.复数三角形式除法的运算法则是什么?‎ 提示:两个复数相除(除数不为0),其商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.也就是说,两个复数相除(除数不为0),是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角.‎ 类型一  由复数的代数形式化三角形式 ‎[例1] 下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式.‎ ‎(1)z1=-2(cosθ+isinθ);(2)z2=cosθ-isinθ;(3)z3=-sinθ+icosθ ‎;(4)z4=sinθ-icosθ;(5)z5=cos60°+isin30°.‎ ‎[分析] 由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角,此步骤可简称为“定点→定名→定角”这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率.‎ ‎[解] (1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换z1=2(-cosθ-isinθ),z1在复平面上对应的点(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角),余弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限,∴z1=2(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].‎ ‎(2)由“加号连”知,不是三角形式.‎ z2在复平面内对应的点(cosθ2,-sinθ)在第四象限(假定θ为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.‎ ‎∴z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ).‎ ‎(3)由“余弦前”知,不是三角形式.‎ z3在复平面内对应的点(-sinθ,cosθ)在第二象限(假定θ为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限.‎ ‎∴z3=-sinθ+icosθ=cos(+θ)+isin(+θ).‎ ‎(4)同理(3)z4=sinθ-icosθ=cos(π+θ)+isin(π+θ).‎ ‎(5)z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=×(cos+isin)=(cos+isin).‎ 考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.‎ 对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点,有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题.‎ ‎[变式训练1] 把下列复数代数式化成三角式:‎ ‎(1)+i;(2)1+i;(3)-4+3i.‎ 解:(1)r==2,‎ ‎∵+i对应的点在第一象限,∴tanθ=,即θ=,‎ ‎∴+i=2.‎ ‎(2)∵r==,而1+i对应的点在第一象限,‎ ‎∴tanθ==1,∴θ=,∴1+i=(cos+isin).‎ ‎(3)∵r==5.‎ ‎-4+3i对应点在第二象限,tanθ=-,‎ ‎∴θ=π-arctan,‎ ‎∴-4+3i=5[cos(π-arctan)+isin(π-arctan)].‎ 类型二  复数的模及辐角主值 ‎[例2] 求复数z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.‎ ‎[分析] 式子中多了个“‎1”‎,只有将“‎1”‎消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“‎1”‎.‎ ‎[解] z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos ‎+isin).(1)‎ ‎∵π<θ<2π,∴<<π,∴cos<0,‎ ‎∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)‎ ‎=-2cos[cos(π+)+isin(π+)]‎ ‎∴r=-2cos.‎ ‎∵<<π,∴π<π+<2π,∴argz=π+.‎ 复数2cos(cos+isin)从形式上看似乎就是三角形式,不少同学认为r=2cos,argz=.‎ 错误之处在于他们没有去考虑θ角的范围,因此一定要用“模非负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题,你一定能解决如z1=1-cosθ-isinθ(π<θ<2π),z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.‎ ‎[变式训练2] (1)复数sin50°-isin140°的辐角主值是( D )‎ A.150° B.40°‎ C.-40° D.320°‎ 解析:‎ sin50°>0,-sin140°<0,复数sin50°-isin140°在复平面内的对应点在第四象限,因为sin50°-isin140°=cos40°-isin40°=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos320°+isin320°,所以辐角主值为320°.‎ ‎(2)当实数m=0时,复数(m2-m-2)+(‎2m2‎-‎3m-2)i的辐角主值是π.‎ 解析:因为辐角主值为π,则 解得m=0.‎ 类型三  复数三角形式的乘法运算 ‎[例3] 计算:3(cos20°+isin20°)[2(cos50°+isin50°)]·‎ ‎[10(cos80°+isin80°)].‎ ‎[解] 3(cos20°+isin20°)[2(cos50°+isin50°)][10(cos80°+isin80°)]‎ ‎=3×2×10[cos(20°+50°+80°)+isin(20°+50°+80°)]‎ ‎=60(cos150°+isin150°)‎ ‎=60(-+i)‎ ‎=-30+30i.‎ 若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数式或三角式,然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.‎ ‎[变式训练3] 计算:‎ ‎(-1+i)[(cosπ+isinπ)].‎ 解:|-1+i|==,cosθ==-,sinθ==,∴可取θ=π.‎ 故-1+i的三角形式为(cosπ+isinπ).‎ 原式=(cosπ+isinπ)[(cosπ+isinπ)]‎ ‎=·[cos(π+π)+isin(π+π)]‎ ‎=(cosπ+isinπ)=(cos+isin)=i.‎ ‎[例4] 已知n∈N*,求证:(cosθ-isinθ)n=cosnθ-isinnθ.‎ ‎[证明] 左边=[cos(-θ)+isin(-θ)]n ‎=[cos(-nθ)+isin(-nθ)]=cosnθ-isinnθ=右边.‎ 复数n次幂的模等于这个复数的模的n次幂.它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.也就是说,复数的n次幂(n∈N),是把模的n次幂作为幂的模,把辐角的n倍作为幂的辐角.‎ ‎[变式训练4] 计算:‎ ‎(1)[(cos+isin)]10;‎ ‎(2)[2(cos+isin)]5.‎ 解:(1)[(cos+isin)]10‎ ‎=()10(cosπ+isinπ)=32(cos+isin)‎ ‎=32i.‎ ‎(2)[2(cos+isin)]5=25(cos+isin)‎ ‎=32(-+i)=-16+16 i.‎ 类型四  复数三角形式的除法运算 ‎[例5] 已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求的三角形式.‎ ‎[解] ==[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)].‎ 由此例可以看出,一个非零复数的倒数,其模是原来复数的模的倒数,其辐角是原来复数辐角的相反数.‎ ‎[变式训练5] 计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].‎ 解:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]‎ ‎=[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]‎ ‎=2[cos(-240°)+isin(-240°)]‎ ‎=2(-+i)‎ ‎=-1+i.‎ ‎1.复数-i的三角形式是( D )‎ A.cos(-)-isin(-)‎ B.cos+isin C.cos-isin D.cos+isin ‎2.设z1=-1+i,z2=(z1)2,则z2的辐角主值是( B )‎ A. B. C. D. ‎3.如果θ∈(,π),那么复数(1+i)(cosθ-isinθ)的三角形式是( A )‎ A.[cos(-θ)+isin(-θ)]‎ B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]‎ C.[cos(+θ)+isin(+θ)]‎ D.[cos(+θ)+isin(+θ)]‎ ‎4.复数的三角形式是cosπ+isinπ.‎ 解析:= ‎=cos(-π)+isin(-π)‎ ‎=cos(-π)+isin(-π)=cosπ+isinπ.‎