2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 10页

www.ks5u.com ‎10.3　复数的三角形式及其运算 ‎[课程目标] 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系．‎ 知识点一　　复数的三角形式 ‎[填一填]‎ ‎1．如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知，cosθ＝，sinθ＝.因此，a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．‎ ‎2．任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.‎ ‎[答一答]‎ ‎1．复数的三角形式条件是什么？‎ 提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，‎ ‎①r≥0.‎ ‎②加号连接．‎ ‎③余弦在前，正弦在后．‎ ‎④θ前后一致，可任意值．‎ 知识点二　　　复数三角形式的乘法 ‎[填一填]‎ ‎1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．‎ ‎2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为，，将绕原点旋转θ2，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2，如图所示．‎ ‎3．如果n∈N，则[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．复数三角形式的乘法的运算原则是什么？‎ 提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．‎ 知识点三　　复数三角形式的除法 ‎[填一填]‎ ‎1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．‎ ‎2．两个复数相除的几何意义：‎ 设z1，z2对应的向量分别为，，将绕原点顺时针旋转θ2，再将的模变为原来的，如果所得向量为，则对应的复数即为，如图所示．‎ ‎[答一答]‎ ‎3．复数三角形式除法的运算法则是什么？‎ 提示：两个复数相除(除数不为0)，其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．也就是说，两个复数相除(除数不为0)，是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角．‎ 类型一　　由复数的代数形式化三角形式 ‎[例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式．‎ ‎(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ ‎；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.‎ ‎[分析]　由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角，此步骤可简称为“定点→定名→定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．‎ ‎[解]　(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在复平面上对应的点(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．‎ ‎(2)由“加号连”知，不是三角形式．‎ z2在复平面内对应的点(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．‎ ‎∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．‎ ‎(3)由“余弦前”知，不是三角形式．‎ z3在复平面内对应的点(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．‎ ‎∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．‎ ‎(4)同理(3)z4＝sinθ－icosθ＝cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)．‎ ‎(5)z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)＝(cos＋isin)．‎ 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．‎ 对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点，有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.‎ ‎[变式训练1]　把下列复数代数式化成三角式：‎ ‎(1)＋i；(2)1＋i；(3)－4＋3i.‎ 解：(1)r＝＝2，‎ ‎∵＋i对应的点在第一象限，∴tanθ＝，即θ＝，‎ ‎∴＋i＝2.‎ ‎(2)∵r＝＝，而1＋i对应的点在第一象限，‎ ‎∴tanθ＝＝1，∴θ＝，∴1＋i＝(cos＋isin)．‎ ‎(3)∵r＝＝5.‎ ‎－4＋3i对应点在第二象限，tanθ＝－，‎ ‎∴θ＝π－arctan，‎ ‎∴－4＋3i＝5[cos(π－arctan)＋isin(π－arctan)]．‎ 类型二　　复数的模及辐角主值 ‎[例2]　求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．‎ ‎[分析]　式子中多了个“‎1”‎，只有将“‎1”‎消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“‎1”‎．‎ ‎[解]　z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2isincos＝2cos(cos ‎＋isin)．(1)‎ ‎∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，‎ ‎∴(1)式右端＝－2cos(－cos－isin)‎ ‎＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]‎ ‎∴r＝－2cos.‎ ‎∵<<π，∴π<π＋<2π，∴argz＝π＋.‎ 复数2cos(cos＋isin)从形式上看似乎就是三角形式，不少同学认为r＝2cos，argz＝.‎ 错误之处在于他们没有去考虑θ角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式．看了这道例题，你一定能解决如z1＝1－cosθ－isinθ(π<θ<2π)，z2＝1＋cosθ－isinθ(π<θ<2π)等类似问题．‎ ‎[变式训练2]　(1)复数sin50°－isin140°的辐角主值是(　D　)‎ A．150° B．40°‎ C．－40° D．320°‎ 解析：‎ sin50°>0，－sin140°<0，复数sin50°－isin140°在复平面内的对应点在第四象限，因为sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以辐角主值为320°.‎ ‎(2)当实数m＝0时，复数(m2－m－2)＋(‎2m2‎－‎3m－2)i的辐角主值是π.‎ 解析：因为辐角主值为π，则 解得m＝0.‎ 类型三　　复数三角形式的乘法运算 ‎[例3]　计算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]·‎ ‎[10(cos80°＋isin80°)]．‎ ‎[解]　3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)]‎ ‎＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)]‎ ‎＝60(cos150°＋isin150°)‎ ‎＝60(－＋i)‎ ‎＝－30＋30i.‎ 若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.‎ ‎[变式训练3]　计算：‎ ‎(－1＋i)[(cosπ＋isinπ)]．‎ 解：|－1＋i|＝＝，cosθ＝＝－，sinθ＝＝，∴可取θ＝π.‎ 故－1＋i的三角形式为(cosπ＋isinπ)．‎ 原式＝(cosπ＋isinπ)[(cosπ＋isinπ)]‎ ‎＝·[cos(π＋π)＋isin(π＋π)]‎ ‎＝(cosπ＋isinπ)＝(cos＋isin)＝i.‎ ‎[例4]　已知n∈N*，求证：(cosθ－isinθ)n＝cosnθ－isinnθ.‎ ‎[证明]　左边＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n ‎＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cosnθ－isinnθ＝右边．‎ 复数n次幂的模等于这个复数的模的n次幂.它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.也就是说，复数的n次幂(n∈N)，是把模的n次幂作为幂的模，把辐角的n倍作为幂的辐角.‎ ‎[变式训练4]　计算：‎ ‎(1)[(cos＋isin)]10；‎ ‎(2)[2(cos＋isin)]5.‎ 解：(1)[(cos＋isin)]10‎ ‎＝()10(cosπ＋isinπ)＝32(cos＋isin)‎ ‎＝32i.‎ ‎(2)[2(cos＋isin)]5＝25(cos＋isin)‎ ‎＝32(－＋i)＝－16＋16 i.‎ 类型四　　复数三角形式的除法运算 ‎[例5]　已知复数z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求的三角形式．‎ ‎[解]　＝＝[cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]．‎ 由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数.‎ ‎[变式训练5]　计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]．‎ 解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]‎ ‎＝[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)]‎ ‎＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)]‎ ‎＝2(－＋i)‎ ‎＝－1＋i.‎ ‎1．复数－i的三角形式是(　D　)‎ A．cos(－)－isin(－)‎ B．cos＋isin C．cos－isin D．cos＋isin ‎2．设z1＝－1＋i，z2＝(z1)2，则z2的辐角主值是(　B　)‎ A. B. C. D. ‎3．如果θ∈(，π)，那么复数(1＋i)(cosθ－isinθ)的三角形式是(　A　)‎ A.[cos(－θ)＋isin(－θ)]‎ B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]‎ C.[cos(＋θ)＋isin(＋θ)]‎ D.[cos(＋θ)＋isin(＋θ)]‎ ‎4．复数的三角形式是cosπ＋isinπ.‎ 解析：＝ ‎＝cos(－π)＋isin(－π)‎ ‎＝cos(－π)＋isin(－π)＝cosπ＋isinπ.‎