高中数学第六章平面向量初步6-2-3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版必修第二册 40页

第六章　平面向量初步 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.3 　平面向量的坐标及其运算 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 理解平面向量的坐标的定义． 2 ．掌握平面向量的运算与坐标的关系． 3 ．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式． 4 ．掌握向量平行的坐标表示． 1. 通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养． 2 ．通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养． 3 ．通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养． 4 ．通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养． 必备知识 · 探新知 (1) 向量的垂直：平面上的两个非零向量 a ， b ，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量 a ， b 垂直，记作 __ __ __ __ __. 规定零向量与任意向量都 ________ ． 平面向量的坐标 知识点 一 a ⊥ b 　 垂直　 (2) 向量的正交分解：如果平面向量的基底 { e 1 ， e 2 } 中， __ __ __ __ __ ，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3) 向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的 ________ 向量 e 1 ， e 2 ，对于平面内的向量 a ，如果 a ＝ x e 1 ＋ y e 2 ，则称 ___ __ __ __ ___ 为向量 a 的坐标，记作 a ＝ ( x ， y ) ． e 1 ⊥ e 2 　 单位　 ( x ， y ) 　 思考： (1) 正交分解与平面向量基本定理有何联系？ (2) 平面中，若以 e 1 的方向为 x 轴的正方向，以 e 2 的方向为 y 轴的正方向，则 e 1 ， e 2 的坐标分别是什么？ (3) 向量的坐标就是其终点的坐标吗？ 提示： (1) 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式 ( 基底垂直时 ) ． (2) e 1 ＝ (1,0) ， e 2 ＝ (0,1) ． (3) 不一定，以坐标原点 O 为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相等向量 ( 向量坐标相同 ) ，若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同． 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， λ ∈ R ，则： (1) a ＋ b ＝ ___ __ __ __ __ __ __ __ ___ ， (2) a － b ＝ ___ __ __ __ __ __ __ __ ___ ， (3) λ a ＝ ___ ____ __ ____ ___ ． (4) 向量相等的充要条件： a ＝ b ⇔ __ __ __ __ __ 且 __ __ __ __ __ ． (5) 模长公式： | a | ＝ __ _____ __ ． 平面上向量的运算与坐标的关系 知识点 二 ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) 　 ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) 　 ( λx 1 ， λy 1 ) 　 x 1 ＝ x 2 　 y 1 ＝ y 2 　 思考： (1) 平面向量的加法坐标运算法则若写成 “ 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ＋ b ＝ ( y 1 ＋ y 2 ， x 1 ＋ x 2 ) ” 可以吗？ (2) 如果 μ ， v 是两个实数，那么 μ a ＋ v b ， μ a － v b 的坐标如何表示？ 提示： (1) 不可以，两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标，纵坐标之和作为和向量的纵坐标． (2) μ a ＋ v b ＝ ( μx 1 ＋ v x 2 ， μy 1 ＋ v y 2 ) ， μ a － v b ＝ ( μx 1 － v x 2 ， μy 1 － v y 2 ) ． 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 知识点 三 提示： 不对，应该用终点坐标减去始点坐标． 设向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b ⇔ __ ____ __ ____ __ ． 思考： 把 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 写成 x 1 y 1 － x 2 y 2 ＝ 0 或 x 1 x 2 － y 1 y 2 ＝ 0 可以吗？怎样记忆此公式的表达式？ 提示： 写成 x 1 y 1 － x 2 y 2 ＝ 0 或 x 1 x 2 － y 1 y 2 ＝ 0 都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减． 向量平行的坐标表示 知识点 四 x 2 y 1 ＝ x 1 y 2 　 关键能力 · 攻重难 向量的坐标表示 题型探究 题型 一 典例剖析 典例 1 D 　 规律方法：求向量坐标的方法 (1) 定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量 e 1 ， e 2 表示出来． (2) 平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (3) 求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． 对点训练 向量的坐标运算 题型 二 典例剖析 典例 2 B 　 规律方法：平面向量坐标运算的技巧 (1) 若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2) 若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3) 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 对点训练 向量共线的坐标表示 题型 三 典例剖析 典例 3 规律方法： 此类题目应充分利用 “ 若 b ＝ λ a ( λ ∈ R ) ，则 b ∥ a ” 或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 对点训练 理想化 题型 四 角度 2 　利用向量共线求参数 　　　　　已知 a ＝ (1,2) ， b ＝ ( － 3,2) ，当 k 为何值时， k a ＋ b 与 a － 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [ 解析 ] 　 方法一： k a ＋ b ＝ k (1,2) ＋ ( － 3,2) ＝ ( k － 3,2 k ＋ 2) ， a － 3 b ＝ (1,2) － 3( － 3,2) ＝ (10 ， － 4) ． 当 k a ＋ b 与 a － 3 b 平行时，存在唯一的实数 λ ， 典例剖析 典例 4 使 k a ＋ b ＝ λ ( a － 3 b ) ，即 ( k － 3,2 k ＋ 2) ＝ λ (10 ， － 4) ， 典例剖析 典例 5 易错警示 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能