2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 8页

www.ks5u.com ‎2.2.2　‎直线的两点式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)‎ ‎2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)‎ ‎3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.‎ ‎1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.‎ ‎2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养.‎ ‎ ‎ 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．‎ 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？‎ ‎1．直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2‎ 在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.‎ 示意图 直线方程 ＝ ＋＝1‎ 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点 思考：方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？‎ ‎[提示]　不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．‎ ‎2．线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则 ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示． (　　)‎ ‎(2)任何直线都可以用方程＋＝1表示． (　　)‎ ‎(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0　 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0‎ D　[由直线的两点式方程，得＝，化简，得x－y－1＝0.]‎ ‎3．若直线l经过点A(2,5)，B(2,7)，则直线l的方程为________．‎ x＝2　[因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x＝2.]‎ ‎4．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________．‎ ‎－　[令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－.]‎ 直线的两点式方程 ‎【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．‎ ‎(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.‎ ‎(1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.‎ ‎(2)由直线方程的两点式得 ＝，‎ 即＝.‎ ‎∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，‎ ‎∵点P(3，m)在直线AB上，‎ 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]‎ 由两点式求直线方程的步骤 ‎(1)设出直线所经过点的坐标．‎ ‎(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．‎ ‎(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．‎ 提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程．‎ ‎[解]　当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3，‎ 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2.‎ 当m≠3且n≠2时，由两点式得 直线方程为＝.‎ 直线的截距式方程 ‎【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．‎ ‎[思路探究]　‎ ‎[解]　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.‎ ‎①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.‎ ‎∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，‎ 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.‎ ‎②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，‎ ‎∴直线的方程为3x＋4y＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．‎ ‎[解]　当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.‎ 当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1，把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，所求直线方程为＋＝1，即x－y－7＝0，‎ 故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎2．[变条件]本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”‎ ‎[解]　当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：‎ ‎①两截距均为零，即3x＋4y＝0‎ ‎②两截距均不为零且相等即x＋y－1＝0.‎ ‎③两截距均不为零且相反即x－y－7＝0.‎ 故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.‎ 利用截距式求直线方程的注意事项 ‎(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0.‎ ‎①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；‎ ‎②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；‎ ‎③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．‎ ‎(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；‎ 截距相反且不为零，可设x－y＝a；‎ 截距相等且均为零，可设y＝kx.‎ 直线方程的灵活应用 ‎[探究问题]‎ ‎1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？‎ ‎[提示]　点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式．‎ ‎2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？‎ ‎[提示]　可选择斜截式．‎ ‎3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？‎ ‎[提示]　选择截距式较好．‎ ‎【例3】　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，‎ ‎(1)求BC边的方程；‎ ‎(2)求BC边上的中线所在直线的方程．‎ ‎[思路探究]　(1) ‎(2)求直线方程 ‎[解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，‎ 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，‎ 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．‎ ‎(2)设BC的中点为M(a，b)，‎ 则a＝＝，b＝＝－3，‎ 所以M，‎ 又BC边的中线过点A(－3,2)，‎ 所以＝，即10x＋11y＋8＝0，‎ 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.‎ ‎1．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线的方程．‎ ‎[解]　设AB边上的高线所在直线斜率为k，‎ ‎∵kAB＝＝－，‎ ‎∴k＝，‎ 又高线过点C(0，－2)，‎ ‎∴由点斜式方程得高线所在直线方程为 y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0.‎ ‎2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线的方程．‎ ‎[解]　由探究1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－，由例题知BC的中点为，‎ 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－，即6x＋8y＋9＝0.‎ 直线方程的选择技巧 ‎(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．‎ ‎(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．‎ ‎(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．‎ ‎(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．‎ ‎1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．‎ ‎2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．‎ ‎1．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　)‎ A．＋＝0 B．＋＝0‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ C　[由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2,3，所以方程为＋＝1.]‎ ‎2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是________．‎ ‎－　[由两点式得＝，即y－1＝2(x＋1)，令y＝0得x＝－，所以直线在x轴上的截距为－.]‎ ‎3．经过点(－1,5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是________．‎ x－3y＋16＝0　[直线＋＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是y－5＝(x＋1)，即x－3y＋16＝0.]‎ ‎4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．‎ ‎[解]　设直线方程的截距式为＋＝1.‎ 则＋＝1，解得a＝2或a＝1，‎ 则直线方程是＋＝1或＋＝1，‎ 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.‎