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- 2021-06-16 发布
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高二上学期《导数及其应用》
单元测试(数学文)
(满分:150 分 时间:120 分钟)
一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确)
1.函数 22)( xxf 的导数是( )
(A) xxf 4)( (B) xxf 24)( (C) xxf 28)( (D) xxf 16)(
2.函数 xexxf )( 的一个单调递增区间是( )
(A) 0,1 (B) 8,2 (C) 2,1 (D) 2,0
3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x , , 且 0x 时 ,
( ) 0 ( ) 0f x g x , ,则 0x 时( )
A. ( ) 0 ( ) 0f x g x , B. ( ) 0 ( ) 0f x g x ,
C. ( ) 0 ( ) 0f x g x , D. ( ) 0 ( ) 0f x g x ,
4.若函数 bbxxxf 33)( 3 在 1,0 内有极小值,则( )
(A) 10 b (B) 1b (C) 0b (D)
2
1b
5.若曲线 4y x 的一条切线l 与直线 4 8 0x y 垂直,则l 的方程为( )
A. 4 3 0x y B. 4 5 0x y C. 4 3 0x y D. 4 3 0x y
6.曲线 xy e 在点 2(2 )e, 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. 29
4 e B. 22e C. 2e D.
2
2
e
7.设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数,将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标系
中,不可能正确的是( )
8.已知二次函数 2( )f x ax bx c 的导数为 '( )f x , '(0) 0f ,对于任意实数 x 都有
( ) 0f x ,则 (1)
'(0)
f
f
的最小值为( )
A.3 B. 5
2 C. 2 D. 3
2
9.设 2: ( ) e ln 2 1xp f x x x mx 在 (0 ) , 内单调递增, : 5q m ≥ ,则 p 是 q 的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 函数 )(xf 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
(A) )2()3()3()2(0 // ffff y
(B) )2()2()3()3(0 // ffff
(C) )2()3()2()3(0 // ffff
(D) )3()2()2()3(0 // ffff O 1 2 3 4 x
二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)
11.函数 ( ) ln ( 0)f x x x x 的单调递增区间是____.
12.已知函数 3( ) 12 8f x x x 在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为 ,M m ,则
M m __.
13.点 P 在曲线
3
23 xxy 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ,则 的取值
范围是
14.已知函数 53
1 23 axxxy (1)若函数在 , 总是单调函数,则 a 的取值范围
是 . (2)若函数在 ),1[ 上总是单调函数,则 a 的取值范围 .
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 .
三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分)
15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,
问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
16.设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c 在 1x 及 2x 时取得极值.
(1)求 a、b 的值;
(2)若对于任意的 [0 3]x , ,都有 2( )f x c 成立,求 c 的取值范围.
17.设函数 3( ) 3 2f x x x 分别在 1 2x x、 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A B、 的
坐标分别为 1 1( )x f x( , )、 2 2( )x f x( , ),该平面上动点 P 满足 • 4PA PB
,点 Q 是点 P 关于直
线 2( 4)y x 的对称点,.求
(Ⅰ)求点 A B、 的坐标;
(Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程.
18. 已知函数 3 2( ) 2 3 3.f x x x
(1)求曲线 ( )y f x 在点 2x 处的切线方程;
(2)若关于 x 的方程 0f x m 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.
19.已知 Raxxaaxxf 14)1(3)( 2
3
(1)当 1a 时,求函数的单调区间。
(2)当 Ra 时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数 a ,使 0,1x ,函数有最小值-3?
20.已知函数
2af x x x
, lng x x x ,其中 0a .
(1)若 1x 是函数 h x f x g x 的极值点,求实数 a 的值;
(2)若对任意的 1 2, 1x x e , ( e 为自然对数的底数)都有 1f x ≥ 2g x 成立,求
实数 a 的取值范围.
高二上学期《导数及其应用》
单元测试(数学文)答案
一、选择题
1. ,42)( 222 xxxf xxf 242)( xxf 28)( ;
2. .)( x
x
e
xexxf 2
1)( x
xx
e
exexf ,
1,01
2 x
e
ex
x
x
选(A)
3.(B)数形结合
4.A 由 bxbxxf 22 333)( ,依题意,首先要求 b>0, 所以 bxbxxf 3)(
由单调性分析, bx 有极小值,由 1,0 bx 得.
5.解:与直线 4 8 0x y 垂直的直线l 为 4 0x y m ,即 4y x 在某一点的导数为
4,而 34y x ,所以 4y x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 3 0x y ,故选 A
6.(D)
7.(D)
8.(C)
9.(B)
10.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT
点 B 处的切线为 BQ, T
)2()3( ff ABkff
23
)2()3( y B
,)3( BQkf ,)2( ATkf A
如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于
直线 AB 的倾斜角小于 Q
切线 AT 的倾斜角
BQk ABk ATk O 1 2 3 4 x
所以选 B
二、填空题
11. 1 ,e
12.32
13.
,4
3
2,0
14. (1) .3)3(;3)2(;1 aaa
三、解答题
15. 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为
2
30(m)35.44
1218 <<xxxh .
故长方体的体积为
).2
30()(m69)35.4(2)( 3322 <<xxxxxxV
从而 ).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV
令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1.
当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
3
2 时,V′(x)<0,
故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。
从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m.
答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。
16.解:(1) 2( ) 6 6 3f x x ax b ,
因为函数 ( )f x 在 1x 及 2x 取得极值,则有 (1) 0f , (2) 0f .
即 6 6 3 0
24 12 3 0
a b
a b
,
.
解得 3a , 4b .
(2)由(Ⅰ)可知, 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c ,
2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x .
当 (01)x , 时, ( ) 0f x ;
当 (1 2)x , 时, ( ) 0f x ;
当 (2 3)x , 时, ( ) 0f x .
所以,当 1x 时, ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c ,又 (0) 8f c , (3) 9 8f c .
则当 0 3x , 时, ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c .
因为对于任意的 0 3x , ,有 2( )f x c 恒成立,
所以 29 8c c ,
解得 1c 或 9c ,
因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 ) , , .
17.解: (1)令 033)23()( 23 xxxxf 解得 11 xx 或
当 1x 时, 0)( xf , 当 11 x 时, 0)( xf ,当 1x 时, 0)( xf
所 以 , 函 数 在 1x 处 取 得 极 小 值 , 在 1x 取 得 极 大 值 , 故
1,1 21 xx , 4)1(,0)1( ff
所以, 点 A、B 的坐标为 )4,1(),0,1( BA .
(2) 设 ),( nmp , ),( yxQ , 4414,1,1 22 nnmnmnmPBPA
2
1PQk ,所以
2
1
mx
ny ,又 PQ 的中点在 )4(2 xy 上,所以
4222
mxny
消去 nm, 得 928 22 yx .
另法:点 P 的轨迹方程为 ,92 22 nm 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆,
由
2
1
0
2
a
b ,
42
022
2 ab 得 a=8,b=-2
18.解(1) 2( ) 6 6 , (2) 12, (2) 7,f x x x f f ………………………2 分
∴曲线 ( )y f x 在 2x 处的切线方程为 7 12( 2)y x ,即12 17 0x y ;……4
分
(2)记 3 2 2( ) 2 3 3, ( ) 6 6 6 ( 1)g x x x m g x x x x x
令 ( ) 0, 0g x x 或 1. …………………………………………………………6 分
则 , ( ), ( )x g x g x 的变化情况如下表
x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, )
( )g x 0 0
( )g x 极大 极小
当 0, ( )x g x 有极大值 3; 1, ( )m x g x 有极小值 2m . ………………………10 分
由 ( )g x 的简图知,当且仅当 (0) 0,(1) 0
g
g
即 3 0, 3 22 0
m mm
时,
函数 ( )g x 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线.
所以若过点 A 可作曲线 ( )y f x 的三条不同切线, m 的范围是 ( 3, 2) .…………14 分
19.(1) ,2,x 或 ,,2 x )(xf 递减; ,2,2x )(xf 递增; (2)1、当 ,0a
,2,x )(xf 递 增 ;2 、 当 ,0a ,2,2
ax )(xf 递 增 ;3 、 当 ,10 a ,2,x 或
,,2
ax )(xf 递增; 当 ,1a ,,x )(xf 递增;当 ,1a ,2,
ax 或 ,,2 x )(xf
递增;(3)因 ,0a 由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契
机”:
1、当 ,2,12 aa
,2,20,1
ax )(xf 递增, 3)1()( min fxf ,解得 ,24
3 a
2、当 ,2,12 aa
由单调性知: 3)2()( min
afxf ,化简得: 0133 2 aa ,解得
,26
213 a 不合要求;综上,
4
3a 为所求。
20.(1)解法1:∵
2
2 lnah x x xx
,其定义域为 0 , ,
∴
2
2
12 ah x x x
.
∵ 1x 是函数 h x 的极值点,∴ 1 0h ,即 23 0a .
∵ 0a ,∴ 3a .
经检验当 3a 时, 1x 是函数 h x 的极值点,
∴ 3a .
解法2:∵
2
2 lnah x x xx
,其定义域为 0 , ,
∴
2
2
12 ah x x x
.
令 0h x ,即
2
2
12 0a
x x
,整理,得 2 22 0x x a .
∵ 21 8 0a ,
∴ 0h x 的两个实根
2
1
1 1 8
4
ax (舍去),
2
2
1 1 8
4
ax ,
当 x 变化时, h x , h x 的变化情况如下表:
x 20, x
2x 2 ,x
h x — 0 +
h x 极小值
依题意,
21 1 8 14
a ,即 2 3a ,
∵ 0a ,∴ 3a .
( 2 ) 解 : 对 任 意 的 1 2, 1x x e , 都 有 1f x ≥ 2g x 成 立 等 价 于 对 任 意 的
1 2, 1x x e , 都有 minf x ≥ maxg x .
当 x [1, e ]时, 11 0g x x
.
∴函数 lng x x x 在 1 e, 上是增函数.
∴ max 1g x g e e .
∵ 2
2 21 x a x aaf x x x
,且 1,x e , 0a .
①当 0 1a 且 x [1, e ]时,
2 0x a x af x x
,
∴函数
2af x x x
在[1, e ]上是增函数,
∴ 2
min 1 1f x f a .
由 21 a ≥ 1e ,得 a ≥ e ,
又 0 1a ,∴ a 不合题意.
②当1≤ a ≤ e 时,
若1≤ x < a ,则
2 0x a x af x x
,
若 a < x ≤ e ,则
2 0x a x af x x
.
∴函数
2af x x x
在 1,a 上是减函数,在 a e, 上是增函数.
∴ min 2f x f a a .
由 2a ≥ 1e ,得 a ≥ 1
2
e ,
又1≤ a ≤ e ,∴ 1
2
e ≤ a ≤ e .
③当 a e 且 x [1, e ]时,
2 0x a x af x x
,
∴函数
2af x x x
在 1 e, 上是减函数.
∴
2
min
af x f e e e
.
由
2ae e
≥ 1e ,得 a ≥ e ,
又 a e ,∴ a e .
综上所述, a 的取值范围为 1,2
e
.
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