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  • 2021-06-16 发布

江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第二次调研考试数学试题含附加题(解析版)

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1 江苏省苏北七市 2020 届高三第二次调研考试 数学试题 2020.4 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请将答案 填写在答题卡相应的位置上..........) 1.已知集合 A={1,4},B={a﹣5,7}.若 A ∩ B={4},则实数 a 的值是 . 答案:9 考点:集合交集运算 解析:∵集合 A={1,4},B={a﹣5,7}.A ∩ B={4}, ∴a﹣5=4,则 a 的值是 9. 2.若复数 z 满足 2 i i z = + ,其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . 答案: 5 考点:复数 解析:∵ 2 i i z = + , ∴ 2 2i i 1 2i z = + = − + ,则 5 z = . 2 3.在一块土地上种植某种农作物,连续 5 年的产量(单位:吨)分别为 9.4,9.7,9.8,10.3, 10.8.则该农作物的年平均产量是 吨. 答案:10 考点:平均数 解析: 9.4 9.7 9.8 10.3 10.8 10 5 x + + + + = = . 4.右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 . 答案: 5 2 考点:算法与流程图 解析:第一次 S=15,k=1; 第二次 S=15,k=2; 第三次 S= 15 2 ,k=3; 第四次 S= 5 2 <3;所以输出的 S 的值是 5 2 . 5.“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人 各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、 乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是 . 答案: 2 3 考点:随机事件的概率 解析:甲、乙两人玩一次该游戏,共有 9 种情况,其中甲不输有 6 种可能,故概率为 6 2 9 3 = . 6.在△ABC 中,已知 B=2A,AC= 3 BC,则 A 的值是 . 答案: 6 π 考点:正弦定理,二倍角的正弦公式 解析:∵AC= 3 BC,∴ 3 b a = ,即 sinB= 3 sinA, ∵B=2A,∴sin2A= 3 sinA,则 2sinAcosA= 3 sinA, 3 ∵sinA≠0,∴ 3 cosA 2 = ,A∈ (0,π),则 A= 6 π . 7.在等差数列{ }n a (n N ∗ ∈ )中,若 1 2 4 a a a = + , 8 3 a = − ,则 20 a 的值是 . 答案:﹣15 考点:等差数列的通项公式及性质 解析:∵数列{ }n a 是等差数列,∴ 1 5 2 4 a a a a + = + ,又 1 2 4 a a a = + ,∴ 5 0 a = , ∴ 8 5 3 1 8 5 3 a a d − − = = = − − ,故 20 5 15 15 a a d = + = − . 8.如图,在体积为 V 的圆柱 O1O2 中,以线段 O1O2 上的点 O 为项点,上下底面为底面的两 个圆锥的体积分别为 V1,V2,则 1 2 V V V + 的值是 . 答案: 1 3 考点:圆柱圆锥的体积 解析:由 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 3 O O O V V S OO S OO S O O V + = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⊙ ⊙ ⊙ ,得 1 2 1 3 V V V + = . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2 2 2 2 1 x y a b − = (a>0,b>0)的左顶点为 A,右焦点为 F, 过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P,Q.若△APQ为直角三角形,则该双曲线的离心率 是 . 答案:2 考点:双曲线的简单性质 解析:由题意知,AF=PF,即 2 b a c a + = ,∴ 2 2 c a a c a − + = , 化简得: 2 2 0 e e − − = ,又 e>1,∴e=2. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在直线 y=2x 上,过点 P 作圆 C:(x﹣4)2+y2=8 的一 条切线,切点为 T.若 PT=PO,则 PC 的长是 . 答案: 13 考点:直线与圆 解析:设 P( p ,2 p ),则 2 2 2 2 ( 4) 4 5 8 16 PC p p p p = − + = − + , 4 2 2 2 2 5 8 8 PT PC TC p p = − = − + , 2 2 5 PO p = , ∵PT=PO,∴ 2 2 5 8 8 5 p p p − + = ,解得 p=1,∴ 2 2 5 8 16 13 PC p p = − + = , 即 PC 的长是 13 . 11.若 x>1,则 9 1 2 1 1 x x x + + + − 的最小值是 . 答案:8 考点:基本不等式 解析: 9 1 9 1 2 1 1 6 2 8 1 1 1 1 x x x x x x x + + = + + + − + ≥ + = + − + − ,当且仅当 x=2 时取“=”. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 x y e = 在点 P( 0 x , 0 x e )处的切线与 x 轴相交于点 A, 其中 e 为自然对数的底数.若点 B( 0 x ,0),△PAB 的面积为 3,则 0 x 的值是 . 答案:ln6 考点:利用导数研究函数的切线 解析:∵ x y e ′ = ,∴ 0 x k e = ,则切线方程为 0 0 0 ( ) x x y e e x x − = − ,令 y=0, 求得 0 1 A x x = − ,∴ 0 1 1 3 2 x e × ⋅ = ,解得 0 ln6 x = . 13.图(1)是第七届国际数学教育大会 (ICME—7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演 化而成的 (如图(2)),其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则 6 7 7 8 A A A A ⋅ ������ ������ 的值 是 . 答案: 42 7 考点:平面向量数量积 解析:sin∠A6A7O= 6 7 A O 6 A O 7 = ,∴ 6 7 7 8 6 42 A A A A 1 1 7 7 ⋅ = × × = ������ ������ . 14.设函数 2 log , 0 4 ( ) (8 ), 4 8 x a x f x f x x ⎧ − < ≤ ⎪ = ⎨ − < < ⎪ ⎩ ,若存在实数 m,使得关于 x 的方程 ( ) f x m = 有 5 4 个不相等的实根,且这 4 个根的平方和存在最小值,则实数 a 的取值范围是 . 答案:( −∞ ,1) 考点:函数与方程 解析:当 2 a ≥ 时, 2 log 0 x a − ≤ ,此时 2 2 log , 0 4 ( ) log (8 ), 4 8 a x x f x a x x − < ≤ ⎧ = ⎨ − − < < ⎩ ,此时函数 ( ) f x 在(0,4)单调递减,在(4,8)单调递增,方程 ( ) f x m = 最多 2 个不相等的实根,舍; 当 a<2 时,函数 ( ) f x 图像如下所示: 从左到右方程 ( ) f x m = 4 个不相等的实根,依次为 1 x , 2 x , 3 x , 4 x ,即 1 x < 2 x < 3 x < 4 x , 由图可知 2 1 2 2 log log a x x a − = − ,故 1 2 4 a x x = ,且 3 2 8 x x = − , 4 1 8 x x = − , 从而 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 4 4 2( ) 16( ) 128 a a x x x x x x x x + + + = + − + + , 令 1 1 4 a t x x = + ,显然 t>4 a , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 2 16 128 4 a x x x x t t + + + + = − + − ,要使该式在 t>4 a 时有最小值,则对称轴 t=4>4 a ,解得 a<1. 综上所述,实数 a 的取值范围是( −∞ ,1). 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a � =(cos α ,sinα ), b � =(cos( α + 4 π ),sin(α + 6 4 π )),其中 0<α < 2 π . (1)求( ) b a a − ⋅ � � � 的值; (2)若c � =(1,1),且 ( ) b c + � � ∥ a � ,求α 的值. 解:(1)因为向量 ( )cos sin α α = , a a a a , ( ) ( )( )π π cos sin 4 4 α α = + + , b b b b , 所以( ) 2 − ⋅ = ⋅ − b a a a b a b a a a b a b a a a b a b a a a b a …2 分 ( ) ( )( )2 2 π π cos cos sin sin cos sin 4 4 α α α α α α = + + + − + …4 分 ( )π cos 1 4 = − − 2 1 2 = − . ……6 分 (2)因为 ( )1 1 = , c c c c ,所以 + b c b c b c b c ( ) ( )( )π π cos 1 sin 1 4 4 α α = + + + + , . 因为( )+ b c b c b c b c ∥ a a a a , 所以 ( )( ) ( )( )π π cos 1 sin sin 1 cos 0 4 4 α α α α + + − + + = .…9 分 于是 ( ) ( )π π sin cos sin cos cos sin 4 4 α α α α α α − = + − + , 从而 ( )π π 2 sin sin 4 4 α − = ,即 ( )π 1 sin 4 2 α − = . ………………12 分 因为 π 0 2 α < < ,所以 π π π 4 4 4 α − < − < . 于是 π π 4 6 α − = ,即 5π 12 α = . …14 分 16.(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB,点 P,Q 分别为 AB 1,CC1 的中点.求 证: (1)PQ∥平面 ABC; (2)PQ⊥平面 ABB1A1. 解:(1)取 AB 的中点 D ,连结 PD CD , . 7 在△ 1 ABB 中,因为 P D , 分别为 1 AB AB , 中点, 所以 1 PD BB ∥ ,且 1 1 2 PD BB = . 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, 1 1 CC BB ∥ , 1 1 CC BB = .因为 Q 为棱 1 CC 的中点,所以 1 CQ BB ∥ ,且 1 1 2 CQ BB = . …3 分 于是 PD CQ ∥ , PD CQ = . 所以四边形 PDCQ 为平行四边形,从而 PQ CD ∥ . ……5 分又因为 CD ABC ⊂ 平面 , PQ ABC ⊄ 平面 ,所以 PQ ABC ∥平面 . …7 分 (2)在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, 1 BB ABC ⊥平面 .又CD ABC ⊂ 平面 ,所以 1 BB CD ⊥ .因为 CA CB = , D 为 AB 中点,所以 CD AB ⊥ . ……10 分 由(1)知CD PQ ∥ ,所以 1 BB PQ ⊥ , AB PQ ⊥ . ……12 分 又因为 1 AB BB B = I , 1 1 AB ABB A ⊂ 平面 , 1 1 1 BB ABB A ⊂ 平面 , 所以 1 1 PQ ABB A ⊥ 平面 . ……14 分 17.(本题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:(x﹣3)2+y2=1,椭圆 E: 2 2 2 2 1 x y a b + = (a >b>0)的右顶点 A 在圆 C 上,右准线与圆 C 相切. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M,与椭圆 E 相交于另一点 N.当 AN= 12 7 AM 时,求直线 l 的方程. 解:(1)记椭圆 E 的焦距为 2c( 0 c > ).因为右顶点 ( )0 A a , 在圆 C 上, 右准线 2 a x c = 与 圆 C: ( )2 2 3 1 x y − + = 相切.所以 ( )2 2 2 3 0 1 3 1 a a c ⎧ − + = ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ , , 解得 2 1 a c = ⎧ ⎨ = ⎩ , . 8 于是 2 2 2 3 b a c = − = ,所以椭圆方程为: 2 2 1 4 3 y x + = . ……4 分 (2)法 1:设 ( ) ( )N N M M N x y M x y , , , , 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: ( )2 y k x = − . 由方程组 ( ) 2 2 2 1 4 3 y k x y x = − ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ , 消去 y 得,( )2 2 2 2 4 3 16 16 12 0 k x k x k + − + − = . 所以 2 2 16 12 2 4 3 N k x k − ⋅ = + ,解得 2 2 8 6 4 3 N k x k − = + . ……6 分 由方程组 ( ) ( )2 2 2 3 1 y k x x y = − ⎧ ⎪ ⎨ − + = ⎪ ⎩ , , 消去 y 得, ( ) ( )2 2 2 2 1 4 6 4 8 0 k x k x k + − + + + = , 所以 2 2 4 +8 2 1 M k x k ⋅ = + ,解得 2 2 2 +4 1 M k x k = + . ……8 分 因为 12 7 AN AM = ,所以 ( )12 2 2 7 N M x x − = − . ……10 分 即 2 2 12 12 2 7 4 3 1 k k = ⋅ + + ,解得 1 k = ± , ……12 分 所以直线 l 的方程为 2 0 x y − − = 或 2 0 x y + − = . ……14 分法 2:设 ( ) ( )N N M M N x y M x y , , , ,当直线 l 与 x 轴重合时,不符题意. 设 直 线 l 的 方 程 为 : ( )2 0 x ty t = + ≠ . 由 方 程 组 2 2 2 1 4 3 x ty y x = + ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ , 消 去 x 得 , ( )2 2 3 4 12 0 t x ty + + = ,所以 2 12 3 4 N t y t − = + . ……6 分 由方程组 ( )2 2 2 3 1 x ty x y = + ⎧ ⎪ ⎨ − + = ⎪ ⎩ , 消去 x 得, ( )2 2 1 2 0 t x ty + − = , 所以 2 2 1 M t y t = + . ……8 分 因为 12 7 AN AM = ,所以 12 7 N M y y = − . ……10 分 即 2 2 12 12 2 7 3 4 1 t t t t − = − ⋅ + + ,解得 1 t = ± , ……12 分 所以直线 l 的方程为 2 0 x y − − = 或 2 0 x y + − = . ……14 分 18.(本题满分 16 分) 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地,拟将它分割成面积相等的三个区域, 用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之比为 2:1 的两部分 (点 D,E 分别在边 AB,AC 上);再取 DE 的中点 M,建造直道 AM(如图).设 AD=x, 9 DE= 1 y ,AM= 2 y (单位:百米). (1)分别求 1 y , 2 y 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 D 的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值. 解:(1)因为 2 3 ADE ABC S S = △ △ ,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,又 AD = x, 所以 ( )2 1 2 1 sin = 3 sin 2 3 3 2 3 AD AE π π ⋅ ⋅ × × ,所以 6 AE x = . ……2 分 由 0 3 6 0 3 AD x AE x < = ⎧ ⎪ ⎨ < = ⎪ ⎩ ≤ , ≤ ,得2 3 x ≤ ≤ . ……4 分 法 1:在 ADE △ 中,由余弦定理,得 2 2 2 2 2 36 2 cos 6 3 DE AD AE AD AE x x π = + − ⋅ ⋅ = + − . 所以,直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 1 2 36 6 2 3 y x x x = + − ∈ , , . ……6 分 在 ADM △ 和 AEM △ 中,由余弦定理,得 2 2 2 2 cos AD DM AM DM AM AMD = + − ⋅ ⋅ ∠ ① ( )2 2 2 2 cos AE EM AM EM AM AMD = + − ⋅ ⋅ π − ∠ ② …8 分 因为 M 为 DE 的中点,所以 1 2 DM EM DE = = . 由①+②,得 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 AD AE DM EM AM DE AM + = + + = + , 所以 () ( )2 2 2 2 2 6 1 36 6 2 2 x x AM x x + = + − + , 所以 2 2 2 9 3 4 2 x AM x = + + . 所以,直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 2 2 9 3 2 3 4 2 x y x x = + + ∈ , , . ……10 分 法 2:因为在 ADE △ 中, DE AE AD = − ���� ���� ���� , 所以 ()2 2 2 2 2 2 2 6 6 36 2 2 cos 6 3 DE AE AE AD AD x x x x x x π = − ⋅ + = − ⋅ + = + − ���� ���� ���� ���� ���� . 所以,直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 1 2 36 6 2 3 y x x x = + − ∈ , , . ……6 分 10 在△ADE 中,因为 M 为 DE 的中点,所以 ( )1 2 AM AD AE = + ����� ���� ���� . …8 分 所以 ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 36 2 6 4 4 AM AD AE AD AE x x = + + ⋅ = + + ����� ���� ���� ���� ���� . 所以,直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 2 2 9 3 2 3 4 2 x y x x = + + ∈ , , . ……10 分 (2)由(1)得,两条直道的长度之和为 2 2 1 2 2 2 36 9 3 + 6 4 2 x DE AM y y x x x = + = + − + + + 2 2 2 2 36 9 3 2 6 2 4 2 x x x x ⋅ − + ⋅ + ≥ …… 12 分 3 2 6 2 = + (当且仅当 2 2 2 2 36 9 4 x x x x ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ , 即 6 x = 时取 = “ ” ). …14 分 答:当 6 AD = 百米时,两条直道的长度之和取得最小值( )3 2 6 2 + 百米.16 分 19.(本题满分 16 分) 若函数 ( ) f x 在 0 x 处有极值,且 0 0 ( ) f x x = ,则称 0 x 为函数 ( ) f x 的“F 点”. (1)设函数 2 ( ) 2ln f x kx x = − (k∈ R).①当 k=1 时,求函数 ( ) f x 的极值;②若函数 ( ) f x 存在“F 点”,求 k 的值; (2)已知函数 3 2 ( ) g x ax bx cx = + + (a,b,c∈ R,a≠0)存在两个不相等的“F 点” 1 x , 2 x ,且 1 2 ( ) ( ) 1 g x g x − ≥ ,求 a 的取值范围. 解:(1)① 当 k = 1 时,f ( x ) = x2 − 2 ln x ( k∈ R ), 所以 () ( )( )( )2 1 1 0 x x f x x x − + ′ = > ,令 () 0 f x ′ = , 得 x = 1, ……2 分 列表如下: 所以函数 ( ) f x 在 x = 1 处取得极小值,极小值为 1,无极大值. ……4 分 ② 设 x0 是函数 ( ) f x 的一个“F 点” ( )0 0 x > . x (0 1) , 1 (1 ) + ∞ , ( ) f x ′ - 0 + ( ) f x ↘ 极小值 ↗ 11 因为 () ( )( ) 2 2 1 0 kx f x x x − ′ = > ,所以 x0 是函数 ( ) f x ′ 的零点. 所以 0 k > ,由 ( )0 0 f x ′ = ,得 2 0 0 1 1 kx x k = = , , 由 0 0 ( ) f x x = ,得 2 0 0 0 2ln kx x x − = ,即 0 0 +2ln 1 0 x x − = . ……6 分 设 ( ) +2ln 1 x x x ϕ = − ,则 () 2 1+ 0 x x ϕ ′ = > , 所以函数 ( ) +2ln 1 x x x ϕ = − 在( )0 + ∞ , 上单调增,注意到 ()1 0 ϕ = , 所以方程 0 0 +2 ln 1 0 x x − = 存在唯一实根 1,所以 0 1 =1 x k = ,得 1 k = , 根据①知, 1 k = 时, 1 x = 是函数 ( ) f x 的极小值点, 所以 1 是函数 ( ) f x 的“F 点”. 综上,得实数 k 的值为 1. ……9 分(2)因为 g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a,b,c ∈ R,a ≠ 0 ) 所以 () ( )2 3 2 0 g x ax bx c a ′ = + + ≠ . 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2, 所以 x1,x2 是关于 x 的方程 ( )2 3 2 =0 0 ax bx c a + + ≠ 的两个相异实数根. 所以 2 1 2 1 2 4 12 0 2 3 . 3 b ac b x x a c x x a ⎧ = − > ⎪ ⎪ ⎪ + = − ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ △ , , 又 g (x1) = ax1 3 + bx1 2 + cx1 = x1,g (x2) = ax2 3 + bx2 2 + cx2 = x2, 所以 g (x1) − g (x2) = x1− x2,即(a x1 3 + bx1 2 + cx1)− (ax2 3 + bx2 2 + cx2) = x1− x2, 从而( x1− x2) [a (x1 2+ x1x2 +x2 2)+ b (x1+ x2 )+ c]= x1− x2. 因为 1 2 x x ≠ ,所以 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 a x x x x b x x c ⎡ ⎤ + − + + + = ⎣ ⎦ , 即 ( ) ( )2 2 2 1 3 3 3 b c b a b c a a a ⎡ ⎤ − − + − + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .所以 ( )2 2 3 9 ac b a − = . ………13 分 因为| g (x1) − g (x2) | ≥ 1, 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 3 3 b c g x g x x x x x x x a a − = − = + − = − − ( )2 2 4 3 2 1. 9 b ac a a − = = − ≥ 解得 2 0 a − < ≤ .所以,实数 a 的取值范围为 )2 0 − ⎡ ⎣ , . ……16 分(2)(解法 2) 因为 g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a,b,c ∈ R,a ≠ 0 ) 12 所以 () ( )2 3 2 0 g x ax bx c a ′ = + + ≠ . 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2, 所以 x1,x2 是关于 x 的方程组 2 3 2 3 2 =0 ax bx c ax bx cx x ⎧ + + ⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎩ , 的两个相异实数根. 由 3 2 ax bx cx x + + = 得 2 0 1 0 x ax bx c = + + − = , . ……11 分 (2.1)当 0 x = 是函数 g (x) 一个“F 点”时, 0 c = 且 2 3 b x a = − . 所以 ( ) ( )2 2 2 1 0 3 3 b b a b a a − + − − = ,即 2 9 2 a b = − . 又 ( ) ( )1 2 1 2 2 0 1 3 b g x g x x x a − = − = − − ≥ , 所以 2 2 4 9 b a ≥ ,所以 ( )2 9 2 9 a a − ≤ . 又 a ≠ 0,所以 2 0 a − < ≤ .…13 分 (2.2)当 0 x = 不是函数 g (x) 一个“F 点”时, 则 x1,x2 是关于 x 的方程 2 2 3 2 =0 1 0 ax bx c ax bx c ⎧ + + ⎪ ⎨ + + − = ⎪ ⎩ , 的两个相异实数根. 又 a ≠ 0,所以 2 3 1 3 b b c c ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎩ , , 得 0 3 2 b c = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ , . 所以 2 1 2 ax = − ,得 1 2 1 2 x a = ± − , . 所以 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 g x g x x x a − = − = − ≥ ,得 2 0 a − < ≤ . 综合(2.1)(2.2),实数 a 的取值范围为 )2 0 − ⎡ ⎣ , . ……16 分 20.(本题满分 16 分) 在等比数列{ }n a 中,已知 1 1 a = , 4 1 8 a = .设数列{}n b 的前 n 项和为 n S ,且 1 1 b = − , 1 1 2 n n n a b S − + = − (n≥2,n N ∗ ∈ ). (1)求数列{ }n a 的通项公式; (2)证明:数列 n n b a ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 是等差数列; (3)是否存在等差数列{}n c ,使得对任意 n N ∗ ∈ ,都有 n n n S c a ≤ ≤ ?若存在,求出所 有符合题意的等差数列{}n c ;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等比数列{ }n a 的公比为q ,因为 1 1 a = , 4 1 8 a = ,所以 3 1 8 q = ,解得 1 2 q = . 13 所以数列{ }n a 的通项公式为: ( )1 1 2 n n a − = . ……3 分 (2)由(1)得,当 2 n n ∗ ∈ N N N N , ≥ 时,( )1 1 1 1 2 2 n n n b S − − + = − , ① 所以,() 1 1 1 2 2 n n n b S + + = − , ② ②-① 得, ( )1 1 1 2 2 n n n b b + − = , ……………5 分 所以, ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 n n n n b b + − − = ,即 1 1 1 n n n n b b a a + + − = , 2 n n ∗ ∈ N N N N , ≥ . 因为 1 1 b = − ,由① 得, 2 0 b = ,所以 ( )2 1 2 1 0 1 1 b b a a − = − − = , 所以 1 1 1 =− + + n n n n a b a b ,n ∗ ∈ N N N N . 所以数列 n n b a ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 是以 1 − 为首项,1 为公差的等差数列. ……8 分 (3) 由(2)得bn an =n-2,所以 bn=n-2 2n-1 ,Sn=-2(an+1+bn+1)=-2(1 2n+n-1 2n )=- n 2n-1. 假设存在等差数列{cn},其通项 cn=dn+c, 使得对任意 ∗∈ Nn ,都有 Sn≤cn≤an, 即对任意 ∗∈ Nn ,都有- n 2n-1≤dn+c≤ 1 2n-1. ③ ……10 分 首先证明满足③的 d=0. 若不然,d≠0,则 d>0,或 d<0. (i) 若 d>0,则当 n>1-c d , ∗∈ Nn 时,cn=dn+c>1≥ 1 2n-1= an, 这与 cn≤an 矛盾. (ii) 若 0 , 所以对任意 ∗∈ Nn ,都有 Sn≤cn≤an.所以 0 n c n ∗ = ∈ N N N N , . 综上,存在唯一的等差数列{ cn },其通项公式为 0 n c n ∗ = ∈ N N N N , 满足题设.…16 分 江苏省苏北七市 2020 届高三第二次调研考试 数学附加题 21.【选做题】本题包括 A,B,C 三小题,请选定其中两题作答,每小题 10 分共计 20 分, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A= 0 1 0 a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 的逆矩阵 1 0 2 A 0 b − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .若曲线 C1: 2 2 1 4 x y + = 在矩阵 A 对应的 变换作用下得到另一曲线 C2,求曲线 C2 的方程. 解:因为 1 − = AA E AA E AA E AA E ,所以 0 1 0 2 1 0 0 0 0 1 a b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,即 0 1 0 0 2 0 1 b a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 所以 1 2 1 b a = ⎧ ⎨ = ⎩ , , 解得 1 2 1 a b ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ , . 所以 0 1 1 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A . ……4 分 设 ( )P x y ′ ′ , 为曲线 C1 任一点,则 2 2 1 4 x y ′ ′ + = , 又设 ( )P x y ′ ′ , 在矩阵 A 变换作用得到点 ( )Q x y , , 则 0 1 1 0 2 x x y y ⎡ ⎤ ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,即 2 y x x y ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,所以 2 y x x y ′ = ⎧ ⎪ ⎨ ′ = ⎪ ⎩ , , 即 2 x y y x ′ = ⎧ ⎨ ′ = ⎩ , . 代入 2 2 1 4 x y ′ ′ + = ,得 2 2 1 y x + = , 所以曲线 C2 的方程为 2 2 1 x y + = . ……10 分 B.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 C 的方程为 r ρ = (r>0),直线 l 的方程为 cos( ) 2 4 π ρ θ + = . 设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 7 ,求 r 的值. 解:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy, 于是曲线 C: ( 0 ) r r ρ = > 的直角坐标方程为 2 2 2 x y r + = ,表示以原点为圆心,半径为 r 的 15 圆. ……3 分 由直线 l 的方程 ( )cos 2 4 ρ θ π + = ,化简得 cos cos sin sin 2 4 4 ρ θ ρ θ π π − = , 所以直线 l 的直角坐标方程方程为 2 0 x y − − = . …………6 分 记圆心到直线l 的距离为 d ,则 2 2 2 d = = , 又 ( )2 2 2 2 AB r d = + ,即 2 2 7 9 r = + = ,所以 3 r = . ……10 分 C.选修 4—5:不等式选讲 已知实数 x,y,z 满足 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + + ,证明: 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + ≤ + + + . 解:因为 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + + , 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z + + = − + − + − = + + + + + + . ……5 分 由柯西不等式得, ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + + + + + + + ≥ . 所以( )2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + + + + ≤ . 所以 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + + + + ≤ . ……10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工.节假日期间的某一天, 每名员工休假的 概率都是 1 2 ,且是否休假互不影响,若 一家店铺的员工全部休假,而另 一家无人休假,则 调剂 1 人到该店维持营业,否则该店就停业. (1)求发生调剂现象的概率; (2)设营业店铺数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)记 2 家小店分别为 A B , , A 店有i 人休假记为事件 ( )0 1 2 i A i = ,, , B 店有 i 人, 休假记为事件 ( )0 1 2 i B i = ,, ,发生调剂现象的概率为 P . 则 ( ) ( ) ()2 0 0 0 2 1 1 C 2 4 P A P B = = = , 16 ( ) ( ) ()2 1 1 1 2 1 1 C 2 2 P A P B = = = , ( ) ( ) ()2 2 2 2 2 1 1 C 2 4 P A P B = = = . 所以 ( ) ( )0 2 2 0 1 1 1 1 1 4 4 4 4 8 P P A B P A B = + = × + × = . 答:发生调剂现象的概率为 1 8 . ……4 分(2)依题 意,X 的所有可能取值为 0 1 2 ,, . 则 ( ) ( )2 2 1 1 1 0 4 4 16 P X P A B = = = × = , ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 4 4 P X P A B P A B = = + = × + × = , ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 1 0 1 1 16 4 16 P X P X P X = = − = − = = − − = . …… 8 分 所 以 X 的 分 布表 为: 所以 ( ) 11 1 1 13 2 1 0 16 4 16 8 E X = × + × + × = . ……10 分 23.(本小题满分 10 分) 我们称 n(n N ∗ ∈ )元有序实数组( 1 x , 2 x ,…, n x )为 n 维向量, 1 n i i x = ∑ 为该向量的范数. 已知 n 维向量 a � =( 1 x , 2 x ,…, n x ),其中 i x ∈ {﹣1,0,1},i=1,2,…,n.记范数为奇 数的 n 维向量 a � 的个数为 An,这 An 个向量的范数之和为 Bn. (1)求 A2 和 B2 的值; (2)当 n 为偶数时,求 An,Bn(用 n 表示). 解:(1)范数为奇数的二元有序实数对有:( )1 0 − , ,( )0 1 − , ,( )0 1 , ,( )1 0 , , 它们的范数依次为1 1 1 1 ,,, ,故 2 2 4 4 A B = = , . ……3 分 (2)当 n 为偶数时,在向量 ( )1 2 3 n x x x x = L , , , a a a a 的 n 个坐标中,要使得范数为奇数,则 0 的个数一定是奇数,所以可按照含 0 个数为: 1 3 1 n − L ,, , 进行讨论: a a a a 的 n 个坐标中 含 1 个 0,其余坐标为 1 或 1 − ,共有 1 1 C 2 n n − ⋅ 个,每个a a a a 的范数为 1 n − ; X 0 1 2 P 1 16 1 4 11 16 17 a a a a 的 n 个坐标中含 3 个 0,其余坐标为 1 或 1 − ,共有 3 3 C 2 n n − ⋅ 个,每个a a a a 的范数为 3 n − ;… a a a a 的 n 个坐标中含 1 n − 个 0,其余坐标为 1 或 1 − , 共有 1 C 2 n n − ⋅ 个,每个 a a a a 的范数为1 ;所以 1 1 3 3 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n A − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ L , ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L . ……6 分 因为( ) 0 1 1 2 2 2 1 C 2 C 2 C 2 C n n n n n n n n n − − + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + L , ① ( ) 0 1 1 2 2 2 1 C 2 C 2 C 2 ( 1) C n n n n n n n n n n − − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + − L ,② 2 − ① ② 得, 1 1 3 3 3 1 C 2 C 2 2 n n n n n − − − ⋅ + ⋅ + = L , 所以 3 1 2 n n A − = . ……8 分 解法 1:因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ! ! C C ! ! ! 1 ! k k n n n n n k n k n n k n k k n k − − − = − ⋅ = ⋅ = − − − , 所以 ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L . ( )1 1 3 3 1 1 1 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ L ( )1 2 3 4 1 1 1 1 2 C 2 C 2 C n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + L ( ) ( )1 1 3 1 2 3 1 2 n n n n − − − = ⋅ = ⋅ − . ……10 分 解法 2: 2 + ① ② 得, 0 2 2 C 2 C 2 n n n n − ⋅ + ⋅ + = L 3 1 2 n + . 又因为 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 ! ! C C ! ! 1 ! ! k k n n n n k k n n k n k k n k − − − = ⋅ = ⋅ = − − − ,所以 ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L . ( ) ( )( )1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 C 2 C 2 C 2 C 2 3 C 2 1 C 2 n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ L L ( )0 1 2 3 2 1 1 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n nA n − − − − − − = − ⋅ + ⋅ + + ⋅ L ( ) ( )1 1 3 1 3 1 3 1 2 2 n n n n n − − − + = ⋅ − = ⋅ − . ……………10 分