人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业十六2-3-4含解析 11页

课后提升作业 十六 平面与平面垂直的性质 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点 A∈α，A∉ l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 【解析】选 D.因为 m∥α，m∥β，α∩β=l， 所以 m∥l. 因为 AB∥l，所以 AB∥m.故 A 一定正确. 因为 AC⊥l，m∥l，所以 AC⊥m. 从而 B 一定正确. 因为 A∈α，AB∥l，l⊂α，所以 B∈α. 所以 AB⊄β，l⊂β.所以 AB∥β. 故 C 也正确. 因为 AC⊥l，当点 C 在平面α内时，AC⊥β成立，当点 C 不在平面α内 时，AC⊥β不成立.故 D 不一定成立. 2.(2015·安徽高考)已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平 面，则下列命题正确的是 ( ) A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【解析】选 D. 选项 具体分析 结论 A 平面α，β垂直于同一个平面，则α，β相交或平行 错误 B 直线 m，n 平行于同一个平面，则 m 与 n 平行、相交、异 面 错误 C 若α，β不平行，则在α内存在与β平行的直线，如α 中平行于α与β交线的直线，则此直线也平行于平面β 错误 D 若 m，n 垂直于同一个平面，则 m∥n，其逆否命题即为选 项 D 正确 3.(2016·杭州高二检测)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n 是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β， m⊄β，m∥α，则 m∥β；③若 m，n 在γ内的射影互相垂直，则 m⊥n； ④若 m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n，其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 B.①：根据面面垂直的判定可知：①错误；②：根据线面平 行的判定可知，②正确；③：如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB1 与 AD1 在底 面 A1B1C1D1 的射影互相垂直，而 AB1 与 AD1 的夹角为 ，③错误；④：m， n 可能斜交，可能平行，可能异面，可能垂直，④错误，所以正确命题 的个数为 1 个. 4.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α，β所成 的角分别为 和 ，过 A，B 分别作两平面交 线 的垂线，垂足分别为 A′，B′，则 AB∶A′ B ′ 等于 ( ) A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 【解题指南】利用面面垂直的性质定理找 AB 与两平面α，β所成的角， 再利用直角三角形的知识表示出 AB 的值与 A′B′的值，进而求出 AB∶ A′B′的值. 【解析】选 A.如图，由已知得 AA′⊥平面β， ∠ABA′= ，BB′⊥平面α， ∠BAB′= ，设 AB=a，则 BA′= a，BB′= a， 在 Rt△BA′B′中，A′B′=a，所以 =. 【补偿训练】在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠PCA=90°， △ABC 是边长为 4 的正三角形，PC=4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的 最小值为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】选 B.连接 CM，则由题意 PC⊥平面 ABC，可得 PC⊥CM，所以 PM= ，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可，在△ ABC 中，当 CM⊥AB 时 CM 有最小值，此时有 CM=4× =2 ，所以 PM 的 最小值为 2 . 5.线段 AB 的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成 30°角，则异面直线 AB 与 l 所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解题指南】过 B 作 l 的平行线 BC，将直线 l 与 AB 所成角转化为 AB 与 BC 所成角. 【解析】选 B.设 AB=a，在平面α内，作 AA′⊥l 于 A′， 则 AA′⊥β，连 A′B，则∠ABA′=30°. 在 Rt△AA′B 中，AB=a， 所以 AA′=a. 同理作 BB′⊥l 于 B′，连 AB′，则∠BAB′=30°， 所以 BB′=a，AB′= a， 所以 A′B′= = a， 过 B 作 BC A′B′. 连接 A′C，则 A′C BB′，连接 AC，在 Rt△AA′C 中， AC= = a. 由 BC⊥平面 AA′C，所以△ABC 为直角三角形， 且 AC=BC，所以∠ABC=45°，为 l 与 AB 所成角. 6.(2016·菏泽高一检测)已知两条不重合的直线 m，n 和两个不重合的 平面α，β，有下列命题： ①若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α； ②若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ③若 m，n 是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α.其中正确命题的个数 是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 C.①若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α或 n⊂α，故①错误；②因 为 m⊥α，m∥n，所以 n⊥α，又 n⊥β，则α∥β，故②正确；③过直 线 m 作平面γ交平面β于直线 c，因为 m，n 是两条异面直线，所以设 n ∩c=O；因为 m∥β，m⊂γ，γ∩β=c，所以 m∥c；因为 m⊂α，c⊄α， 所以 c∥α，因为 n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α，所以α∥β， 故③正确；④由面面垂直的性质定理：因为α⊥β，α∩β=m，n⊂β， n⊥m，所以 n⊥α，故④正确. 7.如图所示，三棱锥 P-ABC 的底面在平面α内，且 AC⊥PC，平面 PAC⊥ 平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是 ( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 【解析】选 D.因为平面 PAC⊥平面 PBC，AC⊥PC，平面 PAC∩平面 PBC=PC， AC⊂平面 PAC，所以 AC⊥平面 PBC. 又因为 BC⊂平面 PBC，所以 AC⊥BC.所以∠ACB=90°. 所以动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，除去 A 和 B 两点. 8.(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直 线，且 l⊂α，m⊂β ( ) A.若 l⊥β，则α⊥β B.若α⊥β，则 l⊥m C.若 l∥β，则α∥β D.若α∥β，则 l∥m 【解析】选 A.选项 A 中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当α⊥β时，l，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中， l∥β时，α，β可以相交；选项 D 中，α∥β时，l，m 也可以异面. 【补偿训练】设α，β，γ为平面，l，m，n 为直线，则能得到 m⊥β的 一个条件为 ( ) A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l B.n⊥α，n⊥β，m⊥α C.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ D.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α 【解析】选 B.如图①知 A 错；如图②知 C 错；如图③，在正方体中，两 侧面α与β相交于 l，都与底面γ垂直，γ内的直线 m⊥α，但 m 与β不 垂直，故 D 错；由 n⊥α，n⊥β知α∥β，又 m⊥α，故 m⊥β，因此 B 正确. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.(2016·桂林高二检测)如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， BD= ，BD⊥CD，将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD，使 平面 A′BD⊥平面 BCD，则下列结论正确的是________. (1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°. (3)CA′与平面 A′BD 所成的角为 30°. (4)四面体 A′-BCD 的体积为. 【解析】若 A′C⊥BD，又 BD⊥CD， 则 BD⊥平面 A′CD，则 BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误. 因为 BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故 BA′⊥平面 A′CD， 所以 BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确. 因为平面 A′BD⊥平面 BCD，BD⊥CD， 所以 CD⊥平面 A′BD，CA′与平面 A′BD 所成的角为∠CA′D， 因为 A′D=CD， 所以∠CA′D= ，故(3)错误. 四面体 A′-BCD 的体积为 V=S△BDA′·h=××1=， 因为 AB=AD=1，DB= ， 所以 A′C⊥BD，综上(2)(4)成立. 答案：(2)(4) 10.斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1，则 A1B=________. 【解析】取 CC1 中点 M，连 A1M 与 BM， 因为 AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°， 所以△A1CC1 是等边三角形， 四边形 ACC1A1≌四边形 CBB1C1， 所以 A1M⊥CC1， BM⊥CC1，所以 A1M=BM= . 又平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1， 所以∠A1MB 为二面角的平面角，且∠A1MB=90°. 所以 A1B= . 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD，且 AB=BC=CA= ，AD=CD=1. (1)求证：BD⊥AA1. (2)在棱 BC 上取一点 E，使得 AE∥平面 DCC1D1，求 的值. 【解题指南】(1)利用面面垂直的性质，证明 BD⊥平面 AA1C1C，可得 BD ⊥AA1. (2)点 E 为 BC 的中点，即 =1，再证明 AE∥DC，利用线面平行的判定， 可得 AE∥平面 DCC1D1. 【解析】(1)在四边形 ABCD 中，因为 BA=BC，DA=DC，所以 BD⊥AC，平 面 AA1C1C⊥平面 ABCD，且平面 ACC1A1∩平面 ABCD=AC，BD⊂平面 ABCD， 所以 BD⊥平面 ACC1A1，又 AA1⊂平面 ACC1A1，所以 BD⊥AA1. (2)点 E 为 BC 的中点，即 =1， 下面给予证明：在三角形 ABC 中，因为 AB=AC，且 E 为 BC 的 中点，所以 AE⊥BC，又在四边形 ABCD 中，AB=BC=CA= ，DA=DC=1，所 以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以 DC⊥BC，即平面 ABCD 中有 AE∥DC. 因为 DC⊂平面 DCC1D1，AE⊄平面 DCC1D1，所以 AE∥平面 DCC1D1. 12.(2016·重庆高二检测)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直底面， ∠ACB= 90°，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1 的中点. (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【解析】(1)设 AC=1，因为 D 为 AA1 的中点，AC=BC=AA1， 所以 AC=AD=A1D=A1C1=1， 所以 DC=DC1= ，又 CC1=2， 所以 DC2+D =C ， 所以 C1D⊥DC，因为 BC⊥AC，BC⊥C1C，AC∩C1C=C， 所以 BC⊥平面 A1ACC1，C1D⊂平面 A1ACC1，所以 C1D⊥BC， 因为 DC∩BC=C， 所以 C1D⊥平面 BDC， 又 C1D⊂平面 BDC1， 所以平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)过 C1 作 C1H⊥A1B1 于 H 点， 因为平面 A1B1C1⊥平面 ABB1A1， 平面 A1B1C1∩平面 ABB1A1=A1B1， 所以 C1H⊥平面 ABB1A1， 由(1)知， 在等腰 Rt△A1B1C1 中，C1H= ， 所以 =·(A1D+BB1)·A1B1·C1H=， =·AC·BC·CC1=1， 所以这两部分体积的比为 1∶1. 【能力挑战题】 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD， (1)证明：平面 AEC⊥平面 BED. (2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 ，求该三棱锥的 侧面积. 【解析】(1)因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE，又 BD∩BE=B，故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120°，可得 AG=GC= x，GB=GD=. 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG= x. 由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得 BE= x. 由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD=×AC·GD·BE= x3= . 故 x=2.从而可得 AE=EC=ED= . 所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 .