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  • 2021-06-16 发布

高考数学一轮复习专题9_9圆锥曲线的综合问题练

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第九节 圆锥曲线的综合问题 A 基础巩固训练 1.【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆 E : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右顶点为 A , 右焦点为 F , B 为椭圆在第二象限内的点,直线 BO 交椭圆于点C , O 为原点,若直线 BF 平分线段 AC ,则椭圆的离心率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】B 【解析】 2.【2018 届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线 C: =4x,过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 交抛 物线 C 于 A、B 两点(点 A 在第一象限),且交抛物线 C 的准线于点 E.若 =2 ,则直线 l 的斜率为 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】分别过 A 和 D 两点做 AD、BC 垂直于准线,交准线于 D、C 两点垂足分别为 D,C, 设 , ,由抛物线的定义可知: , , 由 =2 ,则 B 为 AE 的中点, 则 =2 ,即 在 中, , ,∴ n tan∠CBE= = , 直线 l 的斜率 k=tan∠AFx=tan∠CBE= , 故选:B. 3.【2018 届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点  3,0A  ,  3,0B ,动点 P 满足 2PA PB , 则点 P 的轨迹为( ) A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 4.【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9 月月考】设点 P 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )上一点,F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭圆的离心率是 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 4 【答案】A 【解析】设  P 1 2F F 的内切圆半径为 r,则由 1IPFS + 2IPFS =2 1 2IF FS 得 1 2 1 2 1 1 122 2 2PF r PF r F F r      即 P 1F +P 2F =2 1 2F F 即 2 2 2a c  椭圆的离心率 1 2 ce a   故选 A 5.【2018 届云南省名校月考(一)】已知 F 是抛物线 2: 8C y x 的焦点, l 是C 的准线, P 是C 上一 点,点 M 在l 上,若 4FM FP  ,则直线 FP 的方程为( ) A .  15 2y x   B.  2 2 2y x   C.  3 2y x   D.  2 3 2y x   【答案】B B 能力提升训练 1.【2017 届江西省抚州市临川区第一中学高三 4 月模拟】已知 B 、C 为单位圆上不重合的两个定点, A 为此单位圆上的动点,若点 P 满足 AP PB PC    ,则点 P 的轨迹为( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D 【解析】设  ,P x y ,  cos ,sinA   ,  1 1,B x y ,  2 2,C x y ,设单位圆圆心为O ,则根据 AP PB PC    可有: 0PA PB PC      ,所以点 P 为 ABC 的重心,根据重心坐标公式有 1 2 1 2 cos 3{ sin 3 x xx y yy       ,整理得 2 2 1 2 1 2 1 3 3 9 x x y yx y              ,所以点 P 的轨迹为圆,故选择 D. 2.【2017 届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知 , ,A B C 是抛物线 2 4y x 上不同的三点,且 AB ∥ y 轴, 90ACB   ,点C 在 AB 边上的射影为 D ,则 AD BD  ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】设    2 24 ,4 , 4 , 4A t t B t t ,  24 ,4C m m ,因为 90ACB   ,所以    22 2 2 216 16 0t m t m    ,因此 2 2 1m t   ,因为 2 24 4CD t m   且在 Rt ABC 中, 2AD BD CD  ,所以 16AD BD  . 3.【2017 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中,已知O 为坐标原点,点 A 、 B 的坐标分别为 (1,1) 、 3,3 . 若动点 P 满足OP OA OB     ,其中  、 R  ,且 1   , 则点 P 的轨迹方程为( ) A. 0x y  B. 0x y  C. 2 3 0x y   D.    2 21 2 5x y    【答案】C 4.【2017 届山西省临汾市高三考前训练(三)】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右顶点分别为 ,A B ,点 ,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点,若直线 AM 与 BN 相交于点 P ,则点 P 的轨迹方程 是 ( ) A.  0x a y   B.   2 2 0y b x a y   C.  2 2 2 2 0x y a b y    D.   2 2 2 2 1 0x y ya b    【答案】D 【解析】解:设点    cos , sin , cos , sinM a b N a b    ,且    ,0 , ,0A a B a ,则: 直线 AM 的方程为:  0 sinsin coscos by b x aa a       , 直线 BN 的方程为:  0 sinsin coscos by b x aa a      , 消去参数 可得点 P 的轨迹方程是   2 2 2 2 1 0x y ya b    . 本题选择 D 选项. 5【2017 届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲线 2 2 1yx m   的焦点为 F1、F2,渐近线为 l1,l2,过点 F2 且与 l1 平行的直线交 l2 于 M,若 1 2 0F M F M   ,则 m 的值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】D C 思维扩展训练 1.【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月高考模拟】如图,点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的表面上 运动,且 P 到直线 BC 与直线 1 1C D 的距离相等,如果将正方体在平面内展开,那么动点 P 的轨迹在展 开图中的形状是( ) A. B. C. D. 【答案】B 故排除 C,D, 同理可得, 在平面 ABB1A1 上, 点 P 到点 B 的距离与到直线 C1D1 的距离相等, 从而排除 A, 本题选择 B 选项. 2.【2017 届江苏省如皋市高三下学期联考(二)】动直线 与函数 的图像交于 A、 B 两点,点 是平面上的动点,满足 ,则 的取值范围为____. 【答案】 |PA+PB|=|−2m−2ni|=2, |m+ni|=1, 即 m2+n2=1 是一个圆,即 P 的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆, ∴x2+y2 的取值范围为[16,36], 故答案为[16,36]. 3.【2018 届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆 的离心率为 ,长轴的一个顶点为 ,短轴的一个顶点为 , 为坐标原点,且 . (Ⅰ)求椭圆 的标准方程; (Ⅱ)直线 与椭圆 交于 两点,且直线 不经过点 .记直线 的斜率分别为 ,试探究 是否为定值.若是,请求出该定值,若不是,请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 为定值,该定值为 0. 【解析】试题分析:(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程,利用维达定理表示 ,即可得 到定值.. 试题解析: (Ⅰ)由题意知, ,解得 , 故椭圆 的方程为 (Ⅱ)结论: ,证明如下: 设 , 联立 ,得 , ,解得 , . , . 综上所述, 为定值,该定值为 0. 4.【2018 届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线l : 1x   ,点 P 在直线l 上移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足: RQ FP , PQ l . (1)求动点Q 的轨迹的方程; (2) 记Q 的轨迹的方程为 E ,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB . CD ,设 AB . CD 的中点分别为 M N, . 问直线 MN 是否经过某个定点?如果是,求出该定点, 如果不是,说明理由. 【答案】(Ⅰ) 2 4 ( 0)y x x  ;(Ⅱ)以直线 MN 恒过定点 R  3,0 . 试题解析:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为: 1x   .点 R 是线段 FP 的中点, 且 RQ ⊥ FP ,∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∴ PQ 是点 Q 到直线l 的距离. ∵点Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ QF . 故动点Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线, 其方程为: 2 4 ( 0)y x x  . (Ⅱ) 设    , , ,A A B BA x y B x y ,    , ,M M N NM x y N x y, , 由 AB⊥CD,且 AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点,故直线 AB、CD 斜率均存在,设直线 AB 的方程为  1y k x  则     2 2 4 1{ 4 2 A A B B y x y x   (1)—(2)得 4 A By y k   ,即 2 My k  , 代入方程  1y k x  ,解得 2 2 1Mx k   .所以点M的坐标为 2 2 21,k k     . 同理可得: N 的坐标为 22 1, 2k k  . 直线 MN 的斜率为 21 M N MN M N y y kk x x k    ,方程为  2 22 2 11 ky k x kk     ,整理得    21 3y k k x   , 显然,不论 k 为何值,  3,0 均满足方程,所以直线 MN 恒过定点 R  3,0 . 5.【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点 为圆 上一动点, 轴于点 , 若动点 满足 (其中 为非零常数) (1)求动点 的轨迹方程; (2)当 时,得到动点 的轨迹为曲线 ,斜率为 1 的直线 与曲线 相交于 , 两点,求 面 积的最大值. 【答案】(1) (2) 试题解析:解:(Ⅰ)设动点 ,则 ,且 ,① 又 ,得 , 代入①得动点 的轨迹方程为 . (Ⅱ)当 时,动点 的轨迹曲线 为 . 设直线 的方程为 ,代入 中, 得 , 由 ,∴ , 设 , , ∵点 到直线 的距离 , , , 当且仅当 ,即 时取到最大值. ∴ 面积的最大值为 .