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- 2021-06-16 发布
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专练26 平面向量基本定理及坐标表示
命题范围:平面向量基本定理及坐标表示,用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,用坐标表示的平面向量共线的条件
[基础强化]
一、选择题
1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1
2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=( )
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0) D.(-1,2)
3.已知a=(2,1),b=(1,x),c(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于( )
A. B.1
C.- D.-
4.[2020·海南中学高三测试]设=(1,-2),=(a,-1);=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
5.[2020·保定九校联考]已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )
A.(2,0) B.(-3,6)
C.(6,2) D.(-2,0)
6.[2020·银川一中高三测试]已知向量m=与向量n=(3,sinA+cosA)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为( )
A. B.
C. D.
7.[2020·江西南昌一中高三测试]已知向量a=(1,-2),b=(x,3y-5),且a∥b,若x,y均为正数,则xy的最大值是( )
A.2 B.
C. D.
8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为( )
A. B.(-6,8)
C. D.(6,-8)
9.如图所示,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=( )
A. B.
C. D.1
二、填空题
10.已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=________.
11.已知=(2,0),=(0,2),=t,t∈R,当||最小时,t=________.
12.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=________.
[能力提升]
13.已知在Rt△ABC中,A=,AB=3,AC=4,P为BC上任意一点(含B,C),以P为圆心,1为半径作圆,Q为圆上任意一点,设=a+b,则a+b的最大值为( )
A. B.
C. D.
14.[2020·湖北武汉一中高三测试]如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
A. B.
C.2 D.
15.[2020·河北武邑中学高三测试]已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x,=y(x,y>0),则3x+y的最小值是( )
A. B.+
C. D.
16.如图,已知平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.
专练26 平面向量基本定理及坐标表示
1.D 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;
选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;
选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所有向量的一组基底.
2.D a-b=-=(-1,2)
3.C ∵a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1),
∵(a+b)∥(b-c),∴3(x-1)=2(x+1),
得x=5,∴b=(1,5),又c=ma+nb,
∴(-1,1)=m(2,1)+n(1,5)
∴得
∴m+n=-+=-.
4.D ∵=-=(a-1,1),=(a+b,-1),
∵A,B,C三点共线,
∴(a-1)×(-1)=1×(a+b),∴2a+b=1,
又a>0,b>0,
∴+=(2a+b)=4++≥4+2=8(当且仅当=即a=,b=时等号成立)
5.A 设点N的坐标为(x,y),则=(x-5,y+6)
又=-3a=(-3,6),
∴得
6.C ∵m∥n,∴sinA(sinA+cosA)-=0,
∴2sin2A+2sinAcosA=3.
可化为1-cos2A+sin2A=3,
∴sin=1.
∵A∈(0,π),
∴∈.
因此2A-=,解得A=.故选C.
7.C ∵a∥b,∴3y-5=-2x,∴2x+3y=5,
又x,y均为正数,∴5=2x+3y≥2=2,(当且仅当2x=3y,即:x=,y=时等号成立),
∴xy≤,故选C.
8.D 由题意不妨设b=(-3m,4m)(m<0),则|b|==10,解得m=-2或m=2(舍去),所以b=(6,-8),故选D.
9.B 设=a,=b,
则=+=a+b,
=+=b+a,
∴+=(a+b)=,
∴=+.又=λ+μ,
∴λ=μ=,∴λ+μ=+=.
10.-3
解析:∵a∥b,∴2λ=-6,λ=-3.
11.
解析:依题意得-=t(-2,2),=t(-2,2)+=(2-2t,2t),||2=12(1-t)2+4t2=162+3≥3,当且仅当t=时取等号.因此,当||最小时,t=.
12.3
解析:∵++=0,∴M为△ABC的重心,设D为BC边的中点,
则=(+)×=(+),
∴+=3,∴m=3.
13.C
根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,4),B(3,0),易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE,GF与两个半圆围成的区域(含边界),由=a+b=(3a,4b),设z=a+b,则b=z-a,所以=(3a,4z-4a).设Q(x,y),所以消去a,得y=-x+4z,则当点P运动时,直线y=-x+4z与圆相切时,直线的纵截距最大,即z取得最大值,不妨作AQ⊥BC于Q,并延长交每个圆的公切线于点R,则|AQ|=,|AR|=,所以点A到直线y=-x+4z,即4x+3y-12z=0的距离为,所以=,解得z=,即a+b的最大值为,故选C.
14.B
建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).
不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),
∵=λ+μ,
∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
∴解得λ=,μ=,则λ+μ=.故选B.
15.B
设BC的中点为D,则==+=+,
∵M,G,N三点共线,
∴+=1.
又x>0,y>0,
∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.
当且仅当=,即x=+时取等号,
∴3x+y的最小值是+.故选B.
16.6
解析:解法一:如图,作平行四边形OB1CA1,则=+,因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,|OC|=2,
所以|OB1|=2,|B1C|=4,
所以|OA1|=|B1C|=4,所以=4+2,所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
解法二:以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),
B,C(3,).
由=λ+μ,
得解得
所以λ+μ=6.
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