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  • 2021-06-16 发布

2021高考数学一轮复习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理新人教版

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专练26 平面向量基本定理及坐标表示 命题范围:平面向量基本定理及坐标表示,用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(  )‎ A.e1与e1+e2     B.e1-2e2与e1+2e2‎ C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1‎ ‎2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(  )‎ A.(-2,-1) B.(-2,1)‎ C.(-1,0) D.(-1,2)‎ ‎3.已知a=(2,1),b=(1,x),c(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于(  )‎ A. B.1‎ C.- D.- ‎4.[2020·海南中学高三测试]设=(1,-2),=(a,-1);=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ ‎5.[2020·保定九校联考]已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-‎3a,则点N的坐标为(  )‎ A.(2,0) B.(-3,6)‎ C.(6,2) D.(-2,0)‎ ‎6.[2020·银川一中高三测试]已知向量m=与向量n=(3,sinA+cosA)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为(  )‎ A. B. C. D. ‎7.[2020·江西南昌一中高三测试]已知向量a=(1,-2),b=(x,3y-5),且a∥b,若x,y均为正数,则xy的最大值是(  )‎ A.2 B. C. D. ‎8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为(  )‎ A. B.(-6,8)‎ C. D.(6,-8)‎ ‎9.如图所示,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=(  )‎ A. B. C. D.1‎ 二、填空题 ‎10.已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=________.‎ ‎11.已知=(2,0),=(0,2),=t,t∈R,当||最小时,t=________.‎ ‎12.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=________.‎ ‎[能力提升]‎ ‎13.已知在Rt△ABC中,A=,AB=3,AC=4,P为BC上任意一点(含B,C),以P为圆心,1为半径作圆,Q为圆上任意一点,设=a+b,则a+b的最大值为(  )‎ A. B. C. D. ‎14.[2020·湖北武汉一中高三测试]如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(  )‎ A. B. C.2 D. ‎15.[2020·河北武邑中学高三测试]已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x,=y(x,y>0),则3x+y的最小值是(  )‎ A. B.+ C. D. ‎16.如图,已知平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.‎ 专练26 平面向量基本定理及坐标表示 ‎1.D 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;‎ 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;‎ 选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.D a-b=-=(-1,2)‎ ‎3.C ∵a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1),‎ ‎∵(a+b)∥(b-c),∴3(x-1)=2(x+1),‎ 得x=5,∴b=(1,5),又c=ma+nb,‎ ‎∴(-1,1)=m(2,1)+n(1,5)‎ ‎∴得 ‎∴m+n=-+=-.‎ ‎4.D ∵=-=(a-1,1),=(a+b,-1),‎ ‎∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴(a-1)×(-1)=1×(a+b),∴‎2a+b=1,‎ 又a>0,b>0,‎ ‎∴+=(‎2a+b)=4++≥4+2=8(当且仅当=即a=,b=时等号成立)‎ ‎5.A 设点N的坐标为(x,y),则=(x-5,y+6)‎ 又=-‎3a=(-3,6),‎ ‎∴得 ‎6.C ∵m∥n,∴sinA(sinA+cosA)-=0,‎ ‎∴2sin‎2A+2sinAcosA=3.‎ 可化为1-cos‎2A+sin‎2A=3,‎ ‎∴sin=1.‎ ‎∵A∈(0,π),‎ ‎∴∈.‎ 因此‎2A-=,解得A=.故选C.‎ ‎7.C ∵a∥b,∴3y-5=-2x,∴2x+3y=5,‎ 又x,y均为正数,∴5=2x+3y≥2=2,(当且仅当2x=3y,即:x=,y=时等号成立),‎ ‎∴xy≤,故选C.‎ ‎8.D 由题意不妨设b=(-‎3m,‎4m)(m<0),则|b|==10,解得m=-2或m=2(舍去),所以b=(6,-8),故选D.‎ ‎9.B 设=a,=b,‎ 则=+=a+b,‎ =+=b+a,‎ ‎∴+=(a+b)=,‎ ‎∴=+.又=λ+μ,‎ ‎∴λ=μ=,∴λ+μ=+=.‎ ‎10.-3‎ 解析:∵a∥b,∴2λ=-6,λ=-3.‎ ‎11. 解析:依题意得-=t(-2,2),=t(-2,2)+=(2-2t,2t),||2=12(1-t)2+4t2=162+3≥3,当且仅当t=时取等号.因此,当||最小时,t=.‎ ‎12.3‎ 解析:∵++=0,∴M为△ABC的重心,设D为BC边的中点,‎ 则=(+)×=(+),‎ ‎∴+=3,∴m=3.‎ ‎13.C ‎ 根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,4),B(3,0),易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE,GF与两个半圆围成的区域(含边界),由=a+b=(‎3a,4b),设z=a+b,则b=z-a,所以=(‎3a,4z-‎4a).设Q(x,y),所以消去a,得y=-x+4z,则当点P运动时,直线y=-x+4z与圆相切时,直线的纵截距最大,即z取得最大值,不妨作AQ⊥BC于Q,并延长交每个圆的公切线于点R,则|AQ|=,|AR|=,所以点A到直线y=-x+4z,即4x+3y-12z=0的距离为,所以=,解得z=,即a+b的最大值为,故选C.‎ ‎14.B ‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).‎ 不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),‎ ‎∵=λ+μ,‎ ‎∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),‎ ‎∴解得λ=,μ=,则λ+μ=.故选B.‎ ‎15.B ‎ 设BC的中点为D,则==+=+,‎ ‎∵M,G,N三点共线,‎ ‎∴+=1.‎ 又x>0,y>0,‎ ‎∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.‎ 当且仅当=,即x=+时取等号,‎ ‎∴3x+y的最小值是+.故选B.‎ ‎16.6‎ 解析:解法一:如图,作平行四边形OB1CA1,则=+,因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,所以∠B1OC=90°.‎ 在Rt△OB‎1C中,∠OCB1=30°,|OC|=2,‎ 所以|OB1|=2,|B‎1C|=4,‎ 所以|OA1|=|B‎1C|=4,所以=4+2,所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.‎ 解法二:以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),‎ B,C(3,).‎ 由=λ+μ,‎ 得解得 所以λ+μ=6.‎