高中数学人教a必修5学业分层测评3解三角形的实际应用word版含解析 8页

学业分层测评（三） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．为了测量 B，C 之间的距离，在河岸 A，C 处测量，如图 129，测得下 面四组数据，较合理的是( ) 图 129 A．c 与α B．c 与 b C．b，c 与β D．b，α与γ 【解析】 因为测量者在 A，C 处测量，所以较合理的应该是 b，α与γ. 【答案】 D 2．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120°，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离 是( ) A．50 n mile B．70 n mile C．90 n mile D．110 n mile 【解析】 到 14 时，轮船 A 和轮船 B 分别走了 50 n mile，30 n mile，由余 弦定理得 两船之间的距离为 l＝ 502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)． 【答案】 B 3．如图 1210，要测量河对岸 A，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距 40 米的 C，D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°， AD＝20( 3＋1)，则 A，B 间距离是( ) 图 1210 A．20 2米 B．20 3米 C．20 6米 D．40 2米 【解析】 可得 DB＝DC＝40，AD＝20( 3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得 AB＝20 6(米)． 【答案】 C 4．在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60°和 30°，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m，则建筑物高度为 ( ) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m 【解析】 如图，设 O 为顶端在地面的射影，在 Rt△BOD 中，∠ODB＝30°， OB＝20，BD＝40，OD＝20 3， 在 Rt△AOD 中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)． 【答案】 C 5．如图 1211 所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角 分别为 30°，45°，60°，且 AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( ) 图 1211 A．15 6 m B．20 6 m C．25 6 m D．30 6 m 【解析】 设建筑物的高度为 h，由题图知， PA＝2h，PB＝ 2h，PC＝2 3 3 h， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得 cos∠PBA＝602＋2h2－4h2 2×60× 2h ， ① cos∠PBC＝ 602＋2h2－4 3h2 2×60× 2h . ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得 h＝30 6或 h＝－30 6(舍去)，即建筑物的高度为 30 6 m. 【答案】 D 二、填空题 6．有一个长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 75°，现要将其倾斜角改为 30°， 则坡底要伸长 千米． 【解析】 如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中， AB sin C ＝ AC sin ∠ABC ， ∴AC＝AB·sin ∠ABC sin C ＝ 1× 2 2 1 2 ＝ 2(千米)． 【答案】 2 7．如图 1212，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸的标 记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m. 图 1212 【解析】 tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CD DB ， 又 AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， ∴AD＝60 3，故 CD＝60. 【答案】 60 8．一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动， 到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动， 如图 1213 所示，已知 AB＝4 2 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人 原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距 A 点 dm 的 C 处截住足球. 【导学号：05920061】 图 1213 【解析】 设机器人最快可在点 C 处截住足球， 点 C 在线段 AD 上，设 BC＝x dm，由题意知 CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝ (17－2x)dm. 在△ABC 中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即 x2＝(4 2)2＋(17－2x)2－8 2(17－2x)cos 45°，解得 x1＝5，x2＝37 3 . ∴AC＝17－2x＝7(dm)，或 AC＝－23 3 (dm)(舍去)． ∴该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题 9．A，B，C，D 四个景点，如图 1214，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC ＝15°.A，D 相距 2 km，C，D 相距(3 2－ 6)km，求 A，B 两景点的距离． 图 1214 【解】 在△BCD 中， ∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得 BD sin ∠BCD ＝ CD sin ∠CBD ， 即 BD＝CD·sin 75° sin 60° ＝2. 在△ABD 中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB＝2. 答：A，B 两景点的距离为 2 km. 10．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，求两条船之间的距离． 【解】 如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝30(m)， ∴BC＝30(m)， 在 Rt△ABD 中，BD＝ 30 tan 30° ＝30 3(m)． 在△BCD 中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900， ∴CD＝30(m)，即两船相距 30 m. [能力提升] 1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车 的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距 离 d1 与第二辆车与第三辆车的距离 d2 之间的关系为( ) A．d1>d2 B．d1＝d2 C．d1