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- 2021-06-16 发布
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第 4 课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难
点)
2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与
高度、角度有关的实际应用问题.(重点)
1.通过应用正、余弦定理求高度、角度问题,培
养学生的数学运算素养.
2.借助将实际问题转化为解三角形问题,培养学
生的数学建模素养.
近测高塔远看山,量天度海只等闲;
古有九章勾股法,今看三角正余弦.
为了测定河岸 A 点到对岸 C 点的距离,在岸边选定 100 米长的基线 AB,并测得
∠ABC=60°,∠BAC=45°.
问题:已知这三个元素能求 A,C 两点之间的距离吗?
答案 能,利用正弦定理就可以.
实际问题中的有关术语:
名称 意义 图形表示
仰角
和
俯角
测量时,以水平线
为基准,视线在水
平线上方时与水平
线所成的角叫做①
仰角;视线在水平
线下方时与水平线
所成的角叫做②俯
角
续表
名称 意义 图形表示
方向
角
目标方向线与正北
或正南方向线所成
的锐角,表示为北
(南)偏东(西)××
度
方位
角
指北的方向线③顺
时针转到目标方向
线为止的水平角,
方位角 0°~360°
坡度
垂直距离与水平距
离的比
坡角
坡面与水平面的夹
角
特别提醒
(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角,水平视线易与铅垂线混淆.
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针.
探究一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的距离
例 1 如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸标记物 C,
测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则 B,C 两点间的距离为 m.
答案 60(
6
-
2
)
解析 由题意知∠C=180°-∠CAB-∠CBA=75°,
由正弦定理,得
㘵
sin30
°
=
sin75
°
,
而 sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
6+ 2
4
,
所以 BC=
·
sin30
°
sin75
°
=
120
×
1
2
6+ 2
4
=60(
6
-
2
)(m).
(变结论)本例条件不变,改为求河的宽度.
解析 由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,
∴△ABC 为等腰三角形.
河宽即 AB 边上的高,
AB 边上的高与 AC 边上的高相等,
∴过 B 作 BD⊥AC 于 D,
∴河宽 BD=120×sin30°=60(m).
思维突破
求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,
则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
1-1 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得 AC 的长度为
4m,∠A=30°,则其跨度 AB 的长为( )
A.12m B.8m C.3
3
m D.4
3
m
答案 D 由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理,得
sin㘵
=
㘵
sin
,
即 AB=
㘵
·
sin㘵
sin
=
4
×
sin120
°
sin30
°
=4
3
(m).
探究二 测量两个不可到达的点之间的距离
例 2 如图,CD 是某铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在 CD 所在水平面上的
山体外取点 A,B,并测得四边形 ABCD 中,∠ABC=
π
3
,∠BAD=
2π
3
,AB=BC=400 米,AD=250 米,
则应开凿的隧道 CD 的长为 米.
答案 350
解析 在△ABC 中,AB=BC=400 米,∠ABC=
π
3
,
所以△ABC 为等边三角形,∠BAC=
π
3
,AC=AB=BC=400 米,
又∠BAD=
2π
3
,所以∠CAD=
π
3
,
所以在△ACD 中,由余弦定理,得
CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250cos
π
3
=122500,
所以 CD=350 米.
思维突破
利用正、余弦定理测量不能到达的两点间的距离,是解斜三角形的一个重要方
法,关键是构造一个或几个三角形,测出有关边长和角,再用正、余弦定理进行计
算.
2-1 如图,某炮兵阵地位于 A 点,两观察所分别位于 C,D 两点.已知△ACD 为正三角
形,且 DC=
3
km,当目标出现在 B 点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目
标的距离约是( )
A.1.1km B.2.2km C.2.9km D.3.5km
答案 C ∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD 中,由正弦定理,得 BD=
㘵 sin75
°
sin60
°
=
6+ 2
2
km.
在△ABD 中,∠ADB=45°+60°=105°,
由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°
=3+
( 6+ 2)2
4
+2×
3
×
6+ 2
2
×
6- 2
4=5+2
3
.
所以 AB=
5 + 2 3
≈2.9(km).
所以炮兵阵地与目标的距离约为 2.9km.
探究三 航行中的距离问题
例 3 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+
3
)海里的两个观测点,现位
于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南
偏西 60°且与 B 点相距 20
3
海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30
海里/小时,该救援船到达 D 点至少需要多长时间?
解析 由题意知 AB=5(3+
3
)海里,
因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△ADB 中,由正弦定理,得
sin
∠
=
sin
∠
,
所以 DB=
sin
∠
sin
∠
=
5(3+ 3)
×
sin45
°
sin105
°
=
5(3+ 3)
×
sin45
°
sin45
°
cos60
°
+cos45
°
sin60
°
=
5(3+ 3)
×
2
2
2
4 +
6
4
=
5 3( 3+1)
3+1
2
=10
3
(海里),
又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20
3
海里,
所以在△DBC 中,由余弦定理,得
CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=300+1200-2×10
3
×20
3
×
1
2
=900,
所以 CD=30 海里(负值舍去),
所以需要的时间为 30÷30=1(小时),
即救援船到达 D 点至少需要 1 小时.
(变条件、变结论)本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须
在 40 分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?.
解析 设救援船的速度为 v 海里/小时,由本例解析求得 CD=30 海里,由
30
≤
40
60
,得
v≥45.
即救援船的最小速度为 45 海里/小时.
思维突破
在航行问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,一是从图形的
完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.
探究四 测量高度问题
例 4 如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底
B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D,测得 CD=200 米,在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的
仰角分别是 45°,30°,且∠CBD=30°,求塔高 AB.
解析 在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,设 AB=h,则 BC=h.
在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,则 BD=
3
h.
在△BCD 中,由余弦定理,得
CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,
即 2002=h2+(
3
h)2-2·h·
3
h·
3
2
,
所以 h2=2002,解得 h=200(h=-200 舍去),
即塔高 AB=200 米.
思维突破
解决有关高度问题时要注意的两个问题
(1)要清楚仰角与俯角的区别与联系.
(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题,一般是转化为直角三角形模型,
但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理来解决.
4-1 一轮船要通过一座跨江大桥,驾驶员在 A 处测得桥拱上端 D 的仰角为 8°,轮
船向前航行 200m 后到达 B 处,又测得桥拱上端 D 的仰角为 26°,若轮船驾驶舱离水
面 20m,轮船最高处距离驾驶舱上方有 30m.问轮船能否通过这座跨江大
桥?(sin18°≈0.3090,sin154°≈0.4384,sin8°≈0.1392,精确到 0.1m)
解析 如图,∠DAB=8°,∠DBC=26°,AB=200m,
则∠ADB=18°,∠ABD=154°,
∴AD=
sin18
°·sin154°≈283.8(m),
DC=AD·sin8°≈39.5(m),又 39.5m>30m,
∴轮船能通过这座跨江大桥.
探究五 测量角度问题
例 5 甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60°的 B 处,乙船正以 anmile/h 的速度
向北行驶.已知甲船的速度是
3
anmile/h,甲船应沿着 方向前进,才能最
快与乙船相遇.
答案 北偏东 30°
解析 如图,设经过 th 两船在 C 点相遇,
则在△ABC 中,BC=atnmile,
AC=
3
atnmile,B=180°-60°=120°,
由
㘵
sin
∠
㘵
=
㘵
sin
,得 sin∠CAB=
㘵sin
㘵
=
·
sin120
°
3at
=
1
2
.
∵0°<∠CAB<60°,
∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°.
即甲船应沿北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
思维突破
测量角度问题的解题思路
(1)通过认真审题,结合已知条件画出示意图.
(2)确定所求角在示意图中对应的可解三角形.
(3)把已知条件中的方向角、方位角、距离等,借助平面几何和立体几何的相
关知识,转化成该三角形中的边和角(至少有一边).
(4)利用正弦定理或余弦定理求解.
5-1 如图,甲船在 A 处遇险,在甲船西南 10 海里 B 处的乙船收到甲船的警报后,测
得甲船是沿着北偏西 15°的方向,以 9 海里/时的速度向某岛 C 靠近,如果乙船要在
40 分钟后追上甲船,则乙船应以多大速度,以何方向角航行?
解析 设乙船速度为 x 海里/时,且乙船在 40 分钟后的点 C 处追上甲船,则
BC=
40
60
x=
2
3
x(海里),AC=
40
60
×9=6(海里).
由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,
即
2
3 x
2
=102+62-2×10×6×cos(90°-15°+45°),
∴x=21,BC=14.
由正弦定理,得
㘵
sin
∠
㘵
=
㘵
sin
,
∴sinB=
6
14
×sin120°≈0.37,
∴B≈21°47'.
答:乙船应以 21 海里/时的速度沿北偏东 23°13'航行.
1.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,
塔基的俯角为 45°,那么塔 AB 的高为( )
A.20
1 +
3
3
m B.20
1 +
3
2
m
C.20(1+
3
)m D.30m
答案 A 塔的高度为 20tan30°+20tan45°=20
1 +
3
3
(m).
2.如图所示,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30°的山坡向山
顶走 1000m 到达点 S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为( )
A.500
2
m B.200m C.1000
2
m D.1000m
答案 D ∵∠CAB=45°,∠CAS=30°,∴∠SAB=45°-30°=15°,
∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,∠ASB=180°-15°-30°=135°.
在△ABS 中,
AB=
·
sin135
°
sin30
°
=
1000
×
2
2
1
2
=1000
2
(m),
∴BC=AB·sin45°=1000
2
×
2
2=1000(m).
3.在相距 12 千米的 A,B 两个小岛处测量目标 C 岛,测得∠CAB=75°,∠CBA=60°,则
A,C 间的距离为( )
A.2
6
千米B.6
6
千米
C.2
2
千米D.4
2
千米
答案 B ∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=45°.
由正弦定理,得
㘵
sin
∠
㘵
=
sin
∠
㘵
,
∴AC=
sin45
°
×sin60°=6
6
千米.
4.有一条与两岸平行的河流,水速为 1m/s,小船速度为
2
m/s,为使所走路程最短,
小船应朝与水速成 方向行驶.
答案 135°
解析 如图,小船从 A 处过河,则设小船行驶的方向与岸成α,则因为水速为 1m/s,
小船的速度为
2
m/s,则α=45°,小船的方向与水速成 180°-45°=135°.
5.设地平面上一旗杆为 OP,为测得它的高度 h,在地平面上取一基线 AB,AB=200m,
在 A 处测得 P 点的仰角为∠OAP=30°,在 B 处测得 P 点的仰角为∠OBP=45°,又测得
∠AOB=60°,求旗杆的高 h.
解析 ∵OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200m.
在△AOP 中,因为 OP⊥OA,所以∠AOP=90°,
则 OA=
tan30
°
=
3
h,
同理,在△BOP 中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,
所以 OB=OP=h.
在△OAB 中,由余弦定理,得 AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,
即 2002=3h2+h2-2
3
h2·cos60°,
解得 h=
200
4- 3
.
答:旗杆的高 h 为
200
4- 3
m.
数学建模——根据条件选择恰当的数学模型
甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9 海里的 B 处,向正南方向
行驶,而甲船沿南偏东 15°的方向并以 28 海里/时的速度行驶,恰能与乙船相遇,
试求乙船的速度.(结果保留根号,无需求近似值)
解析 设乙船的速度为 x 海里/时,经过 t 小时甲船追上乙船,且在 C 处相遇
(如图所示),
则在△ABC 中,AC=28t,BC=xt,
∠CAB=45°-15°=30°,∠ABC=180°-45°=135°.
由正弦定理,得
㘵
sin
∠
㘵
=
㘵
sin
∠
㘵
,
即
28
sin135
°
=
sin30
°
,
所以 x=
28
×
sin30
°
sin135
°
=
28
×
1
2
2
2
=14
2
.
答:乙船的速度为每小时 14
2
海里.
素养探究:作出示意图,把已知条件转化为三角形中的已知元素,利用正弦定
理、余弦定理解决问题,过程中体现数学建模的核心素养.
某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,
轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/时的
航行速度向正东方向匀速行驶,经过 t 小时小艇与轮船相遇.试设计航行方案(即确
定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理
由.
(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?
(2)若保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
解析 (1)解法一:设相遇时小艇航行距离为 s 海里,则 s
=
(30 )
2
+ 20
2
-2
×
30t
·
20cos(90
°
-30
°
)
=
900
2
-600t + 400=
900 -
1
3
2
+ 300
,
故当 t=
1
3
时航行距离最小,为 10
3
海里,
此时 v=
10 3
1
3
=30
3
(海里/时),
即小艇以 30
3
海里/时的速度航行,相遇时航行距离最小.
解法二:如图所示,
因为轮船向正东方向匀速行驶,所以小艇航行的最短距离是港口到轮船正东航行
的垂直距离,设相遇点为 B,则△OAB 是直角三角形,
轮船的航行时间 t=
sin30
°
30
=
20
×
1
2
30
=
1
3
(小时),
而小艇的航行距离为 OB=OAcos30°=20×
3
2
=10
3
海里,
此时小艇的航行速度
v=
10 3
1
3
=30
3
(海里/时),
即小艇以 30
3
海里/时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是 v 海里/时,小艇与轮船在 B 处相遇如图所示:
由余弦定理,得 OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB,
即(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),
化简,得
v2=
400
2
-
600
+900=400
1
-
3
4
2
+675,
由于 0