2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 9页

www.ks5u.com ‎10．1.2　复数的几何意义 ‎[课程目标] 1.理解复数集和复平面上点集的一一对应关系；会用向量表示复数；2.了解复数的几何意义；3.理解复数的模等有关概念．‎ 知识点一　　复平面 ‎[填一填]‎ 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴．‎ 知识点二　　　复数的几何意义 ‎[填一填]‎ 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔向量＝(a，b)．‎ 如图：‎ 由此可知复数的表示形式有三种：①代数形式：a＋bi；②复平面内的点Z(a，b)；③平面向量(O为坐标原点)．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．怎样理解复数的几何意义？‎ 提示：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O，若起点不统一，是原点以外的点，复数与向量就不能建立一一对应关系．‎ ‎(2)Z(a，b)与向量是复数z＝a＋bi(a，b∈R)的另外两种表示形式，它们都是复数z的几何表示．‎ ‎(3)为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或说成向量，并且规定：相等向量表示同一个复数．‎ 知识点三　　共轭复数 ‎[填一填]‎ 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi.‎ 显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．共轭复数有哪些性质？‎ 提示：(1)当复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部b＝0时，有z＝，即任一实数的共轭复数仍然是它本身．当b≠0时，a＋bi与a－bi叫做互为共轭虚数．显然，在复平面内，表示两个共轭虚数的点关于实轴对称，并且它们的模相等，如图．‎ ‎(2)共轭复数的性质：①z∈R⇔z＝；②z是纯虚数⇔z＋＝0，且z≠0；③对任意复数z都有z＋∈R.‎ 知识点四　　复数的模 ‎[填一填]‎ 向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.‎ 当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广．‎ ‎[答一答]‎ ‎3．如何理解和应用复数的模？‎ 提示：(1)复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模都可以比较大小．‎ ‎(2)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示z对应的点Z(a，b)到原点的距离．‎ ‎(3)复数的模、复数对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是一致的．‎ ‎(4)虚数的模是实数，可以比较大小，但虚数不能比较大小．‎ 类型一　　复数与复平面内对应点的关系 ‎[例1]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－‎3a＋2)i的点：‎ ‎(1)位于第二象限；‎ ‎(2)位于直线y＝x上．‎ ‎[分析]　位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．‎ ‎[解]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－‎3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－‎3a＋2)．‎ ‎(1)由点Z位于第二象限，得 解得－2