北师版高中数学必修一第13讲：函数与方程（教师版） 7页

1 函数与方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数  y f x 在实数 a 处的值等于零即   0f a  ，则 a 叫做这个函数的 零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过 零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结 合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间 ,a b 上是连续不间断的，且 f(a) ∙ f（b） ＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间 ,a b 上连续的，且     0f a f b  的函数  y f x ，通过不断地把函数  f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方 法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间 ,a b ，验证：f(a) ∙ f（b）＜0，给定精确度； 第二步：求区间 ,a b 得中点 1x ； 第三步：计算  1f x ；若  1f x =0，则 1x 就是函数零点；若 f(a) ∙ f（ ）＜0，则令 1b x ； 若 f( ) ∙ f（b）＜0，则令 1a x 第四步：判断是否达到精确度 ，即若 a b   ，则得到零点近似值 a ( )b或 ，否则重复第二、 三、四步。 2 类型一求函数的零点 例 1：求函数 y＝x－1 的零点： 解析：令 y＝x－1＝0，得 x＝1， ∴函数 y＝x－1 的零点是 1. 答案：1 练习 1：求函数 y＝x3－x2－4x＋4 的零点． 答案：－2,1,2. 练习 2：函数 f(x)＝2x＋7 的零点为( ) A．7 B．7 2 C．－7 2 D．－7 答案：C 类型二 零点个数的判断 例 2：判断函数 f(x)＝x2－7x＋12 的零点个数 解析：由 f(x)＝0，即 x2－7x＋12＝0 得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程 x2－7x＋12＝0 有两个不相等的实数根 3,4， ∴函数 f(x)有两个零点，分别是 3,4. 答案：2 个 练习 1：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．0 个 D．无法确定 答案：B 练习 2：已知二次函数 f(x)＝ax2＋6x－1 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．a>－9 且 a≠0 B．a>－9 C．a<－9 D．a>0 或 a<0 答案：A 类型三 函数零点的应用 例 3：若关于 x 的方程 x2＋(k－2)x＋2k－1＝0 的两实数根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求实数 k 的取值范围． 解析：设函数 f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数 f(x)＝x2＋(k －2)x＋2k－1 的图象开口向上，零点 x1∈(0,1)，x2∈(1,2)， 由 f 0 >0 f 1 <0 f 2 >0 ，即 2k－1>0 1＋ k－2 ＋2k－1<0 4＋2 k－2 ＋2k－1>0 ， 3 解得，1 2 0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计 算，列表如下： 4 端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x1＝1＋2 2 ＝1.5 f(x1)＝－2.625<0 [1.5,2] x2＝1.5＋2 2 ＝1.75 f(x2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x3＝1.5＋1.75 2 ＝1.625 f(x3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x4＝1.625＋1.75 2 ＝1.6875 f(x4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x5＝1.687 5＋1.75 2 ＝1.718 75 f(x5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75] x6＝1.718 75＋1.75 2 ＝1.734 375 f(x6)≈0.03>0 [1.718 75, 1.734 375] 因此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到 0.1 都为 1.7，所以 1.7 就是所 求函数精确到 0.1 的实数解． 答案：1.7 练习 1: 试用计算器求出函数 f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2 的图象交点的横坐标(精确到 0.1)． 答案：－0.7. 练习 2: (2014～2015 学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程 x3＋3x－7＝0 在(1,2)内近 似解的过程中，设函数 f(x)＝x3＋3x－7，算得 f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该 方程的根落在区间( ) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,1.75) D．(1.75,2) 答案：B 1、(2014·湖北文)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x.则函数 g(x)＝f(x) －x＋3 的零点的集合为( ) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－ 7，1,3} D．{－2－ 7，1,3} 答案： D 2、已知 x＝－1 是函数 f(x)＝a x ＋b(a≠0)的一个零点，则函数 g(x)＝ax2－bx 的零点是( ) A．－1 或 1 B．0 或－1 C．1 或 0 D．2 或 1 答案: C 3、三次方程 x3＋x2－2x－1＝0 的根不可能所在的区间为( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 5 答案: C 4、(2014～2015 学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数 f(x)＝x3＋x2－2x －2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 答案:C 5、已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 答案：B _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1．若函数 f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数 f(x)的零点有( ) A．一个 B．两个 C．至少两个 D．无法判断 答案： B 2．若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根 1、2，则实数 f(x)＝cx2＋bx＋a 的零点为 ( ) A．1,2 B．－1，－2 C．1，1 2 D．－1，－1 2 答案： C 6 3．若 a0, f(0.68)<0， 则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为( ) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 答案： C 能力提升 6．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使 ax2＋bx＋c>0 成立的 x 的取值范 围是______. x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 答案： (－∞，－2)∪(3，＋∞) 7．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的方程 f(x)＝c(c∈R) 有两个实根 m、m＋6，则实数 c 的值为________． 答案：9 8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； ③函数 f(x)在区间[a，b]上连续，若满足 f(a)·f(b)<0，则方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上一定 有实根； ④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③ 9. 设函数 f(x)＝ x2＋bx＋c x≤0 2 x>0 ， 7 若 f(－4)＝2, f(－2)＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数是________． 答案：3 10. 已知函数 f(x)＝ax3－2ax＋3a－4 在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数 a 的取值范围； (2)若 a＝32 17 ，用二分法求方程 f(x)＝0 在区间(－1,1)上的根． 答案：（1）10, f(0)＝28 17 >0, f(1)＝－ 4 17 <0， ∴函数零点在(0,1)，又 f(1 2 )＝0， ∴方程 f(x)＝0 在区间(－1,1)上的根为1 2 .