2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系课件新人教A版 36页

第 3 节　空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求　 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义； 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理； 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1. 平面的基本性质 (1) 公理 1 ：如果一条直线上的 _______ 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 . (2) 公理 2 ：过 _____________________ 的三点，有且只有一个平面 . (3) 公理 3 ：如果两个不重合的平面有 _______ 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 . 两点 不在同一条直线上 一个 2. 空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a ∥ b a ∥ α α ∥ β 相交关系 图形语言 符号语言 a ∩ b ＝ A a ∩ α ＝ A α ∩ β ＝ l 独有关系 图形语言   符号语言 a ， b 是异面直线 a ⊂ α   3. 平行公理 ( 公理 4) 和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线 ___________ . 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ______________ . 4. 异面直线所成的角 互相平行 相等或互补 锐角 ( 或直角 ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补 . 2. 异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 . 3. 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于过 A 点的任意一条直线 .( 　　 ) (2) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 .( 　　 ) (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 .( 　　 ) (4) 若直线 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 α 内的所有直线与 a 异面 .( 　　 ) 解析　 (1) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误 . (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误 . (4) 由于 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 a 与平面 α 相交，故平面 α 内有与 a 相交的直线，故错误 . 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 新教材必修第二册 P147 例 1 改编 ) 在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 3 ， AD ＝ 4 ， AA 1 ＝ 2 ，则异面直线 AC 和 BC 1 所成角的余弦值是 ( 　　 ) 3. ( 老教材必修 2P45 例 2 改编 ) 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( 　　 ) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 解析　 如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形，因为 E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，所以 EF ∥ AC ，又 FG ∥ BD ，所以 ∠ EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角，而 AC 与 BD 所成的角为 90° ，所以 ∠ EFG ＝ 90° ，故四边形 EFGH 为矩形 . 答案　 B 4. (2019· 贵阳调研 ) α 是一个平面， m ， n 是两条直线， A 是一个点，若 m ⊄ α ， n ⊂ α ，且 A ∈ m ， A ∈ α ，则 m ， n 的位置关系不可能是 ( 　　 ) A. 垂直 B. 相交 C. 异面 D. 平行 解析 　依题意， m ∩ α ＝ A ， n ⊂ α ， ∴ m 与 n 异面或相交 ( 垂直是相交的特例 ) ，一定不平行 . 答案 　 D 5. (2020· 重庆一中月考 ) 如图， α ∩ β ＝ l ， A ， B ∈ α ， C ∈ β ，且 C ∉ l ，直线 AB ∩ l ＝ M ，过 A ， B ， C 三点的平面记作 γ ，则 γ 与 β 的交线必通过 ( 　　 ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C 但不过点 M D. 点 C 和点 M 解析　 ∵ AB ⊂ γ ， M ∈ AB ， ∴ M ∈ γ . 又 α ∩ β ＝ l ， M ∈ l ， ∴ M ∈ β . 根据公理 3 可知， M 在 γ 与 β 的交线上 . 同理可知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上 . 答案　 D 6. ( 一题多解 )(2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( 　　 ) 解析　法一　 对于选项 B ，如图 (1) 所示，连接 CD ，因为 AB ∥ CD ， M ， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ ∥ CD ，所以 AB ∥ MQ ，又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ，所以 AB ∥ 平面 MNQ . 同理可证选项 C ， D 中均有 AB ∥ 平面 MNQ . 因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行 . 图 (1) 　　　　　　　　图 (2) 法二　 对于选项 A ，其中 O 为 BC 的中点 ( 如图 (2) 所示 ) ，连接 OQ ，则 OQ ∥ AB ，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行 . 答案　 A 考点一　平面的基本性质及应用 (1) E ， F ， G ， H 四点共面； (2) 三直线 FH ， EG ， AC 共点 . 证明　 (1) 连接 EF ， GH ， 如图所示， ∵ E ， F 分别是 AB ， AD 的中点， ∴ EF ∥ BD . ∴ GH ∥ BD ， ∴ EF ∥ GH ， ∴ E ， F ， G ， H 四点共面 . (2) 易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴ 设 FH ∩ AC ＝ M ， ∴ M ∈ 平面 EFHG ， M ∈ 平面 ABC . 又平面 EFHG ∩ 平面 ABC ＝ EG ， ∴ M ∈ EG . ∴ FH ， EG ， AC 共点 . 规律方法　 1. 证明点或线共面问题的两种方法： (1) 首先由所给条件中的部分线 ( 或点 ) 确定一个平面，然后再证其余的线 ( 或点 ) 在这个平面内； (2) 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 . 2. 证明点共线问题的两种方法： (1) 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； (2) 直接证明这些点都在同一条特定直线 ( 如某两个平面的交线 ) 上 . 3. 证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 . (1) 证明：四边形 BCHG 为平行四边形； (2) 判断 C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？ (2) 解　 C ， D ， E ， F 四点共面 . 理由如下： 所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF ∥ BG . 由 (1) 知 BG 綉 CH ，所以 EF ∥ CH ，所以 EF 与 CH 共面 . 又 D ∈ FH ，所以 C ， D ， F ， E 四点共面 . 考点二　空间两直线位置关系的判定 【例 2 】 (1) ( 一题多解 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A. l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B. l 与 l 1 ， l 2 都相交 C. l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D. l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 (2) 在图中， G ， N ， M ， H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的图形的序号是 ________( 填上所有正确答案的序号 ). 解析　 (1) 法一　 由于 l 与直线 l 1 ， l 2 分别共面，故直线 l 与 l 1 ， l 2 要么都不相交，要么至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . 若 l ∥ l 1 ， l ∥ l 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ，这与 l 1 ， l 2 是异面直线矛盾 . 故 l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . 法二　 如图 (1) ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 与 l 平行， l 2 与 l 相交，故 A ， B 不正确；如图 (2) ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 ， l 2 都与 l 相交，故 C 不正确 . (2) 图 ① 中，直线 GH ∥ MN ； 图 ② 中， G ， H ， N 三点共面，但 M ∉ 平面 GHN ， N ∉ GH ，因此直线 GH 与 MN 异面； 图 ③ 中，连接 MG ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面； 图 ④ 中， G ， M ， N 共面，但 H ∉ 平面 GMN ， G ∉ MN ， 因此 GH 与 MN 异面 . 所以在图 ②④ 中， GH 与 MN 异面 . 答案　 (1)D 　 (2) ②④ 规律方法　 1. 异面直线的判定方法： (1) 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 . (2) 定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 . 2. 点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 . 【训练 2 】 如图，在正方体 ABCD － A` 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别为棱 C 1 D 1 ， C 1 C 的中点，有以下四个结论： ① 直线 AM 与 CC 1 是相交直线； ② 直线 AM 与 BN 是平行直线； ③ 直线 BN 与 MB 1 是异面直线； ④ 直线 AM 与 DD 1 是异面直线 . 其中正确的结论为 ________( 填序号 ). 解析　 直线 AM 与 CC 1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故 ①② 错误 . 答案　 ③④ 解析　 (1) 如图，连接 AC 与 BD ，相交于点 N ，连接 MN ，则 MN ∥ PA ， 所以 ∠ NMB ( 或 ∠ NMB 的补角 ) 为异面直线 MB 与 AP 所成的角， (2) 如图所示，设正方体的表面 ABB 1 A 1 的中心为 P ，容易证明 OP ∥ A 1 D ，所以直线 l 即为直线 OP ，角 θ 即 ∠ POC 1 . 规律方法　 用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1) 作角 —— 用平移法找 ( 或作 ) 出符合题意的角； (2) 求角 —— 转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小 . 解析　法一　 如图，连接 BD 1 ，交 DB 1 于 O ，取 AB 的中点 M ，连接 DM ， OM . 易知 O 为 BD 1 的中点，所以 AD 1 ∥ OM ，则 ∠ MOD 为异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角或其补角 . 答案　 C 解析　 如图，依题意，平面 α 与棱 BA ， BC ， BB 1 所在直线所成角都相等，容易得到平面 AB 1 C 符合题意，进而所有平行于平面 AB 1 C 的平面均符合题意 . 答案　 A 思维升华　 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有： (1) 确定平面的条件； (2) 三线共点的条件； (3) 面面平行的性质定理 . 解析　 如图，设 △ BDC 的中心为 O 1 ，球 O 的半径为 R ，连接 AO 1 ， O 1 D ， OD ， O 1 E ， OE ， 在 Rt △ OO 1 D 中， R 2 ＝ 3 ＋ (3 － R ) 2 ，解得 R ＝ 2 ， ∵ BD ＝ 3 BE ， DE ＝ 2 ，在 △ DEO 1 中， 过点 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积最小， 答案　 2π