2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析) 16页

2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知函数 知函数 = 1 1−函 的定义域为 A， 知函数 = ሻ函 的值域为 B，则 = 知数A. 知Ͳ1数 B. 知1 数 C. 知 − 1数 D. 知 − 11数 2. 已知复数 = 1 2㌳ ，则 . = 知数A. − 䁥㌳ B. 䁥㌳ C. − D. 5 . 已知命题 p： 函 ， 函 2 − 2函 Ͳ ；命题 q：若 2 2 ，则 ，下列命题为假命题的是 知 数A. B. 知¬数 C. ¬ D. ¬ 知¬数 䁥. 下列命题中错误的是 知数A. 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D. 如果平面 平面 ，平面 平面 ， = ሻ ，则 ሻ . 若某 10 人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是 知数A. 2.B. 83 C. 93 D. 72 6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S 等 于 知 数A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知 是边长为 1 的等边三角形，D，E 分别为 AB，AC 的中点，则 = 知 数A. − 䁥 B. 䁥 C. − D. . 已知双曲线 C： 函 2 2 − 2 2 = 1 的一条渐近线方程为 = 2函 ，则该双曲线的离心率为 知数A. 2 B. C. 2 D. 2 2 9. 函数 知函数 = 1 − 2 函 −1 ln函 2 的部分图象大致是 知 数 A. B. C. D. 1Ͳ. 已知函数 ，则 A. 2 B. 2 C. − 2 2 D. 䁥 − 2 11. 正方体 − 1111 中，若 1 外接圆半径为 2 6 ，则该正方体外接球的表面积为 知数A. 2 B. C. 12 D. 16 12. 函数 知函数 = log2 函 2 − 2 函 Ͳ 函 − 1 函 > Ͳ 则方程 知函数 − 1 函 = Ͳ 的根的个数是 知 数A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 幂函数 知函数 = 知 2 − 2 − 2数函 21 过原点，则实数 = ______ ． 1䁥. 一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为 5 的倍数的概率：___________ 1. 在 中，已知 = 2 ， = Ͳ ，则 ︰ ︰ = ________． 16. 若某商品降价 2Ͳt 后，欲恢复原价，则应提价____． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在数列 知 数 中，其前 n 项和为 ，满足 2 = 2 − ． 知 Ⅰ 数 求数列 的通项公式； 知 Ⅱ 数 设 = 1 1 = 2 − 1 1 1 2 2 = 2 知 为正整数 数 ，求数列 的前 2n 项和 2 ． 1. 某地区 2007 年至 2013 年居民人均纯收入 知 单位：千元 数 的数据如表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 . .6 䁥.䁥 䁥. .2 .9 知1数 设 y 关于 t 的线性回归方程为 = ᑟ ，求 b，a 的值； 知2数 利用 知1数 中的回归方程，预测该地区 2016 年居民人均纯收入． 知 参考公式： = ㌳=1 知 ᑟ㌳−ᑟ . 数知㌳− . 数 ㌳=1 知 ᑟ㌳−ᑟ . 数 2 ， = . − ᑟ . 数 19. 如图，已知直三棱柱 − 111 中， = 9Ͳ ， = = 2 ， 1 = 䁥 ，D 是棱 1 上的一点，M，N 分别为 1 ，的中点． 知1数 求证： ：： 平面 1 ； 知2数 当 D 为 1 的中点时，求三棱锥 − 的体积． 20. 已知椭圆 函 2 2 2 2 = 1知 > > Ͳ数 的长轴长是短轴长的 2 倍，且椭圆过点 Ͳ − 2 ． 知1数 求椭圆 C 的方程； 知2数 若直线 l 与椭圆相交于 两点，且线段 MN 的中点为 知 − 21数 ，求直线 l 的方程． 21. 函数 知函数 = 1 函 − 2 函 2 函 ，曲线 = 知函数 在点 知Ͳ知Ͳ数数 处的切线方程为 = 1 ． 知1数 求 b，c 的值； 知2数 设函数 知函数 = 知函数 2函 ， 知函数 在 R 上为单调递增，求实数 a 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 函 = 䁥ᑟ − 1 = ᑟ − 2 知ᑟ 为参数 数. 以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 2 = 2 2sin知 − 䁥 数 ． 知 Ⅰ 数 求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程； 知 Ⅱ 数 若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求 ᦙ䁪 的最小值． 23. 已知函数 知函数 = 函 1 函 知1数 当 =− 1 时，解不等式 知函数 2 ； 知2数 若存在 函Ͳ 满足 知函Ͳ数 2函Ͳ 1 1 ，求实数 a 的取值范围． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 本题主要考查了交集及其运算，函数定义域与值域，属于基础题． 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 解： 函数 知函数 = 1 1−函 的定义域为 A， 要使 知函数 有意义，则 1 − 函 > Ͳ ， 解得 函 1 ， = 函函 1 ， 又 知函数 = ሻ函 的值域为 B， = ， = 知 − 1数 ， 故选 C． 2.答案：D 解析：解： . = 知1 2㌳数知1 − 2㌳数 = 1 2 2 2 = ． 故选：D． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：C 解析： 先判断出 p 真 q 假，再根据真值表可得复合命题的真假． 本题考查了复合命题及其真假，属基础题． 解：命题 p： 函 ， 函 2 − 2函 = 知函 − 1数 2 2 > Ͳ ，故 p 为真命题； 命题 q： =− 1 ， = 1 时， 2 = 2 = 1 ，故命题 q 为假命题； 故 ¬ 是假命题， 故选 C． 4.答案：A 解析：解：对于 A，如图，平面 平面 ， = ሻ ， ሻ ，l 不垂直于平面 ， 不正确； 对于 B，如 A 中的图，平面 平面 ， = ሻ ， ，若 ：：ሻ ，则 ：： ，所以 B 正确； 对于 C，若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ， C 正确； 对于 D，如图， 设 = ， = ，在 内直线 a、b 外任取一点 O，作 ，交点为 A， 平面 平面 ， ， ሻ ，作 ，交点为 B， 平面 平面 ， ， ሻ ，又 = ， ሻ . D 正确． 不正确的命题是 A． 故选：A． 命题 A、B 可以通过作图说明正误；命题 C 可以运用反证法的思维方式判断正误；命题 D 可以直接 进行证明判断正误． 本题考查了命题的真假的判断与应用，着重考查了空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系， 考查了学生的空间想象和思维能力，解答此题时，除了具备一定的空间想象能力外，还应熟记线面 平行、线面垂直的判定，此题是中档题． 5.答案：A 解析： 本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看 清是有偶数个数据还是奇数个数据，从而求出中位数． 把茎叶图中 10 个数据按照从小到大的顺序排好，取中间两数的平均值即可． 解：将这组数据从小到大排列为 72，74，76，81，82，83，86，93，93，99， 则这组数据的中位数是 2 2 = 2. ． 故选：A． 6.答案：D 解析： 本题考查了程序框图的应用问题，属于基础题． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行， 可得 函 = 2 ， ᑟ = 2 ， = 1 ， = ， = 1 ， 满足条件 ᑟ ，执行循环体， = 2 ， = ， = 2 ， 满足条件 ᑟ ，执行循环体， = 2 ， = 7 ， = ， 不满足条件 ᑟ ，退出循环，输出 S 的值为 7． 故选：D． 7.答案：C 解析： 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法的三角形法则的应用． 由题意画出图形，把 ， 用基底 > 表示，代入 ，展开得答案． 解：如图， = 知 − 数 知 − 数 = 知 1 2 − 数 知 1 2 − 数 = 1 䁥 − 1 2 2 − 1 2 2 = 䁥 − 1 2 2 − 1 2 2 = 䁥 1 1 6Ͳ − 1 2 − 1 2 = − 1 =− ． 故选 C． 8.答案：B 解析：解：由渐近线方程为 = 2函 ，得 = 2 ，由此可得 = 1 知 数 2 = ． 故选：B． 利用双曲线的渐近线方程，推出 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的离心率的求法，渐近线方程的应用，考查计算能力． 9.答案：B 解析： 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题． 解：因为 知 − 函数 = 知函数 ，所以 知函数 是偶函数，排除 C，D． 当 Ͳ 函 1 时， ， 所以排除 A 故选 B． 10.答案：D 解析： 本题考查了定积分的概念及几何意义，属基础题． 先得出： ，由 Ͳ 1 1 − 函 2 函 等于以原点为圆心，半径为 1 的圆的面积的四分之一，直接计算可得结果． 解： ， ， Ͳ 1 1 − 函 2 函 等于以原点为圆心，半径为 1 的圆的面积的四分之一， 故 Ͳ 1 1 − 函 2 函 = 䁥 ，所以 ， 故选 D． 11.答案：C 解析：解：如图， 设正方体的棱长为 a，则 1 是边长为 2 的等边三角形， 设其外接圆的半径为 r，则 2 ㌳6Ͳ = 2䁊 ，即 䁊 = 6 ． 由 6 = 2 6 ，得 = 2 ． 正方体外接球的 = 1 2 2 2 2 2 2 2 = ． 正方体外接球的表面积为 䁥 知 数 2 = 12 ． 故选：C． 由题意画出图形，设正方体的棱长为 a，则 1 是边长为 2 的等边三角形，由正弦定理列式求 得 1 外接圆半径，进一步求得 a 值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的 平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求． 本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 12.答案：B 解析： 本题考查函数的零点与根的关系，关键是做出函数图象，数形结合分析交点个数． 解：由题意知，函数 知函数 = log2 函 2 − 2 函 Ͳ 函 − 1 函 > Ͳ 作出函数 知函数 的图象，如图所示， 又由方程 知函数 − 1 函 = Ͳ 转化为 = 知函数 和 = 1 函 的图象的交点个数， 结合图象可知，函数 = 知函数 和 = 1 函 的图象有三个交点， 即方程 知函数 − 1 函 = Ͳ 有三个实数解，故选 B 13.答案：3 解析：解： 幂函数 知函数 = 知 2 − 2 − 2数函 21 过原点， 2 − 2 − 2 = 1 2 1 > Ͳ ， 解得 = ； 实数 = ． 故答案为：3． 根据幂函数 知函数 图象过原点，列出方程组，求出 m 的值． 本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题． 14.答案： 7 6 解析： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用． 将一颗骰子掷两次，共有 6 6 种结果，满足条件的事件一一列出，得到概率． 解：将一颗骰子掷两次，共有 6 6 种结果， 满足条件的事件有 知1䁥数 ， 知2数 ， 知2数 ， 知䁥1数 ， 知䁥6数 ， 知数 ， 知6䁥数 ，共 7 种结果， 故所求概率为 7 6 ， 故答案为 7 6 ． 15.答案： 12 解析： 本题主要考查正弦定理，属基础题 . 根据正弦定理可知 = ㌳㌳㌳ ，从而得答案． 解： = Ͳ ， Ͳ ， = 2 ， 又 = 2 ， = ， 所以 = 6 ， = ， ㌳ = 2 ， ㌳ = 1 2 ， ㌳ = 1 ， 由正弦定理可知： = ㌳㌳㌳ ， = 12 ， 故答案为 12 ． 16.答案： 2t 解析： 本题考查函数知识在生产生活中的应用，设商品原价为 a，降价 2Ͳt 后价格为 Ͳ. ，经过一段时间 后恢复原价，设需提价 函t ，则 Ͳ.知1 函t数 = ，由此能求出结果． 解：设商品原价为 a，降价 Ͳt 后价格为 Ͳ. ，经过一段时间后恢复原价， 设需提价 函t ，则 Ͳ.知1 函t数 = ，解得 函 = 2 ． 故答案为 2t ． 17.答案：解： 知 Ⅰ 数 由题设得： 2 = 2 − ，所以 2−1 = 知 − 1数 2 − − 1知 2数所以 = − −1 = − 1知 2数当 = 1 时， 1 = 1 = Ͳ ，数列 是 1 = Ͳ 为首项、公差为 1 的等差数列 故 = − 1 ． 知 Ⅱ 数 由 知 Ⅰ 数 知： = 1 1 = 2 − 1 1 1 2 2 = 2 = 2− 2 = 2 − 1 1 䁥 知 1 2 − 1 知2数 2 数 = 2 ． 2 = 1 2 2 = 1 2 知 − 1 − 7 − 2 − 数 1 䁥 知 1 2 2 − 1 䁥 2 数 知 1 䁥 2 − 1 6 2 数 知 1 6 2 − 1 2 数 知 1 2 − 1 知 2数 2 数 = 2−1 2 1 16 − 1 䁥知2数 2 ． 解析： 知 Ⅰ 数 由题设得： 2 = 2 − ，所以 2−1 = 知 − 1数 2 − − 1知 2数 ，可得 = − −1知 2数. 当 = 1 时， 1 = 1 = Ͳ ，利用等差数列的通项公式即可得出． 知利利数 利用裂项求和方法即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 18.答案：解： 知1数 ᑟ . = 127 7 = 䁥 . = 2.9..6䁥.䁥䁥..2.9 7 = 䁥. ， = 1.䁥2Ͳ.7ͲͲ.1.䁥. 知9䁥1数2 = 1䁥 1䁥2 = 1 2 = Ͳ. ， = . − ᑟ . = 䁥. − 1 2 䁥 = 2. ； 知2数 由 知1数 知 y 关于 t 的回归方程为 = Ͳ.ᑟ 2..当 ᑟ = 1Ͳ 时， = Ͳ. 1Ͳ 2. = 7.知 千元 数 ， 答：预计到 2016 年，该区人均纯收入约 7300 元左右． 解析： 知1数 根据回归系数公式计算回归系数； 知2数 把 函 = 1Ͳ 代入回归方程计算估计值． 本题考查了线性回归方程的求解和数值估计，属于基础题． 19.答案： 知1数 证明：如图，连接 1 ， ，N 分别为 AB， 1 的中点，故 ：：1 ， 又 1 平面 1 ， 平面 1 ， 故 ：： 平面 1 ； 知2数 解：当点 D 为 1 的中点时， = 2 ， 又在直三棱柱 − 111 中，有 1 平面 ABC， 平面 ABC， 平面 ABC， 1 ， 1 ， = 9Ͳ ， ， 而 1 与 AC 为平面 11 中两相交直线， 平面 11 ， 为 1 的中点， − = − = 1 2 − = 1 2 1 = 1 2 1 1 2 2 2 = 2 ． 解析： 知1数 连接 1 ，由 M，N 分别为 AB， 1 的中点，得 ：：1 ，再由线面平行的判定定理可 得 ：： 平面 1 ； 知2数 当点 D 为 1 的中点时， = 2 ，由题意有 1 平面 ABC，再由线面垂直的判定可得 平 面 11 ，然后利用等积法可得三棱锥 − 的体积． 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体 积，是中档题． 20.答案：解： 知1数 由题意得： = 2 = 2 = 2 2 ， 所以方程为 函 2 2 䁥 = 1 ； 知2数 设 函11 函22 ，则 函1 函2 =− 䁥1 2 = 2 ， 由 函12 212 = 函22 222 = ，两式相减，得 函1 函2 函1 − 函2 2 1 2 1 − 2 = Ͳ ， 于是 − 䁥 函1 − 函2 䁥 1 − 2 = Ͳ 1 = 1−2 函1−函2 = 1 ， 故 ሻ − 1 = 函 2即 ሻ = 函 因为点 − 21 在椭圆内部， 所以所求的直线 ሻ = 函 满足题意． 解析：本题考查椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，属于基础题． 知1数 由题得 = 2 = 2 = 2 2 ，从而可求方程； 知2数 利用设而不求即可求得直线的方程． 21.答案：解： 知1数知Ͳ数 = ， 函数的导数 Ͳ知函数 = 函 2 − 函 ， 则函数在点 知Ͳ知Ͳ数数 处的切线斜率 = Ͳ知Ͳ数 = ， 即切线方程为 − = 函 ，即 = 函 ， 曲线 = 知函数 在点 知Ͳ知Ͳ数数 处的切线方程为 = 1 ， = Ͳ ， = Ͳ 知2数 = Ͳ ， = Ͳ 知函数 = 1 函 − 2 函 2 ， Ͳ知函数 = 函 2 − 函 ， 则 知函数 = 知函数 2函 在 R 上为单调递增， 则 Ͳ知函数 = Ͳ知函数 2 = 函 2 − 函 2 Ͳ 恒成立， 即判别式 = − Ͳ ，即 ， 即实数 a 的取值范围是 ． 解析： 知1数 求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求 b，c 的值； 知2数 求函数的导数，利用 知函数 在 R 上为单调递增，转化为 Ͳ知函数 Ͳ 恒成立，进行求解即可． 本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决 本题的关键． 22.答案：解： 知1数 由题意，消去直线 l 的参数方程中的参数 t， 可得直线 l 的普通方程为 函 − 䁥 − = Ͳ ， 由 2 = 2 2㌳知 − 䁥 数 ，得 2 = 2㌳ − 2 ， 由 2 = 函 2 2 ㌳ = = 函 ， 得圆 C 的直角坐标方程为 函 2 2 2函 − 2 = Ͳ ， 即圆 C 的直角坐标方程为 知函 1数 2 知 − 1数 2 = 2 ； 知2数 由 知1数 知圆 C 的圆心 知 − 11数 ，半径 䁊 = 2 ， 所以 ᦙ䁪 = ᦙ 2 − 䁊 2 = ᦙ 2 − 2 ， 又 ᦙ 的最小值为点 C 到直线 l 的距离 = −−䁥− 2 −䁥 2 = 2 ， 所以 ᦙ䁪min = 䁥 − 2 = 2 ． 解析：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，考查与圆有关的最值问题，涉及直线与圆的位 置关系，点到直线距离公式，属于中档题． 知1数 消去参数 t 即可得 l 的普通方程，由互化公式可得圆 C 的直角坐标方程； 知2数 根据题意得 ᦙ䁪 = ᦙ 2 − 2 ，求得圆心 C 到直线 l 的距离即可求解． 23.答案：解： 知1数 当 =− 1 时， 知函数 = 函 1 函 − 1 = 䁥函函 > 1 − 2函 2 − 1 函 1 − 䁥函函 − 1 ， 知函数 2 ， 䁥函 2 函 > 1 ，或 − 2函 2 2 − 1 函 1 ，或 − 䁥函 2 函 − 1 ， 函 1 2 ，或 − 1 函 Ͳ ，或 函 − 1 ， 函 1 2 ，或 函 Ͳ ， 不等式的解集为： 函函 1 2 ，或 函 Ͳ ； 知2数知函Ͳ数 2函Ͳ 1 = 函Ͳ 1 函Ͳ 知函Ͳ 数 − 知函Ͳ 数 = − ， 存在 函Ͳ 满足 知函Ͳ数 2函Ͳ 1 1 ， 只需 知知函Ͳ数 2函Ͳ 1数㌳ 1 ， 即 − 1 ， 2 䁥 ， 的取值范围为： 知2䁥数 ． 解析：本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式有解问题，考查了转化思想，属中档题． 知1数知函数 = 函 1 函 − 1 = 䁥函函 > 1 − 2函 2 − 1 函 1 − 䁥函函 − 1 ，根据 知函数 2 分别解不等式即可； 知2数 存在 函Ͳ 满足 知函Ͳ数 2函Ͳ 1 1 ， 只需 知知函Ͳ数 2函Ͳ 1数㌳ 1 ，求出 知函Ͳ数 2函Ͳ 1 的最 小值，然后解不等式即可．