【数学】2020届一轮复习北师大版证明不等式的基本方法课时作业 5页

证明不等式的基本方法 ‎(30分钟　60分)‎ ‎1.已知函数f(x)=|x+2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>4-|x+1|.‎ ‎(2)已知a+b=2(a>0,b>0),求证:-f(x)≤+.‎ ‎【解析】(1)不等式f(x)>4-|x+1|,‎ 即|x+1|+|x+2|>4,‎ 当x<-2时,不等式化为-(x+1)-(x+2)>4,解得x<-3.5;‎ 当-2≤x≤-1时,不等式化为-(x+1)+(x+2)>4,无解;‎ 当x>-1时,不等式化为(x+1)+(x+2)>4,解得x>0.5;‎ 综上所述:不等式的解集为(-∞,-3.5)∪(0.5,+∞).‎ ‎(2)因为+=(a+b)‎ ‎=≥4.5,‎ 当且仅当a=,b=时等号成立.‎ 由题意知,-f(x)‎ ‎=-|x+2|≤=4.5,‎ 所以-f(x)≤+.‎ ‎2.设函数f(x)=|x-3|,g(x)=|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)+g(x)<2.‎ ‎(2)对任意的实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,求证:|x-2y+1|≤3.‎ ‎【解析】(1)当x<2时,原不等式可化为 ‎3-x+2-x<2,可得x>,所以3时,原不等式可化为x-3+x-2<2,可得x<,所以32|m-n|.‎ ‎【解析】(1)依题意 f(x)=|x-1|-|x+2|‎ ‎=‎ 由-2<-2x-1<0解得-0,故|1-4mn|2>4|m-n|2,故|1-4mn|>2|m-n|.‎ ‎4.(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)>8-|2x-2|的解集为M.‎ ‎(1)求M.‎ ‎(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(‎2a)-f(-2b).‎ ‎【解析】(1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得 ‎|x+4|+|2x-2|>8.‎ ‎①当x≤-4时不等式转化为-x-4-2x+2>8,‎ 解得x<-,所以此时x≤-4;‎ ‎②当-48,‎ 解得x<-2,所以此时-48,‎ 解得x>2,所以此时x>2,‎ 综上,M={x|x<-2或x>2}.‎ ‎(2)因为f(‎2a)-f(-2b)=|‎2a+4|-|-2b+4|‎ ‎≤|‎2a+4+2b-4|=|‎2a+2b|,‎ 所以要证f(ab)>f(‎2a)-f(-2b),只需证 ‎|ab+4|>|‎2a+2b|,‎ 即证(ab+4)2>(‎2a+2b)2,‎ 即证a2b2+8ab+16>‎4a2+8ab+4b2,‎ 即证a2b2‎-4a2-4b2+16>0,‎ 即证(a2-4)(b2-4)>0.‎ 因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,‎ 所以(a2-4)(b2-4)>0成立,所以原不等式成立.‎ ‎5.(2019·大兴模拟)已知函数f(x)=|x|-|x-1|.‎ ‎(1)若f(x)≥|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围.‎ ‎(2)若两正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中可取到的最大值,求证:x+y≥2xy.‎ ‎【解析】(1)去绝对值符号可得f(x)=‎ 所以f(x)max=1.‎ 所以|m-1|≤1,解得0≤m≤2,‎ 所以实数m的取值范围为[0,2].‎ ‎(2)由(1)知,M=2,所以x2+y2=2,‎ 因为x>0,y>0,‎ 所以要证x+y≥2xy,只需证 ‎(x+y)2≥4x2y2,即证2(xy)2-xy-1≤0,‎ 即证(2xy+1)(xy-1)≤0,‎ 因为2xy+1>0,所以只需证xy≤1.‎ 因为2xy≤x2+y2=2,‎ 所以xy≤1成立所以x+y≥2xy.‎ ‎6.(2018·宜宾模拟)设函数f(x)=|2x-1|+2|x+1|.‎ ‎(1)若存在x0∈R使得f(x0)+m2≤m+5,求实数m的取值范围.‎ ‎(2)若m是(1)中的最大值,且a3+b3=m,证明:00,‎ 所以a+b>0,‎ 又2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)‎ ‎=(a+b)[(a+b)2-3ab]‎ ‎≥(a+b)‎ ‎=(a+b)3,‎ 所以(a+b)3≤8,‎ 所以00,b>0,且a+b=+.‎ 求证:(1)a+b≥2.‎ ‎(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ ‎【证明】(1)a+b=+,a>0,b>0,得ab=1.‎ 由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,当且仅当a=b时取等号,即a+b≥2.‎ ‎(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,‎ 则a2+a<2且b2+b<2,‎ 则a2+a+b2+b<4,‎ 即(a+b)2+a+b-2ab<4,‎ 由(1)知ab=1,因此(a+b)2+a+b<6①,而a+b≥2,因此(a+b)2+a+b≥6②,①②矛盾,因此假设不成立,原结论成立.‎