2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 47页

1.4.2 　充要条件 必备知识 · 自主学习 充要条件 (1) 定义 命题真假 “ 若 p ，则 q” 和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，记作 ____ 条件关系 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件 名称 p 是 q 的 _________ 条件，简称为 _____ 条件 p⇔q 充分必要 充要 (2) 本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的 . (3) 应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容 . 【 思考 】 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？ 提示： ①充分必要条件 ( 充要条件 ) ，即 p⇒q 且 q⇒p. ② 充分不必要条件，即 p⇒q 且 q p. ③ 必要不充分条件，即 p q 且 q⇒p. ④ 既不充分又不必要条件，即 p q 且 q p. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例 . ( 　　 ) (2)“p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q” 表达的意义相同 . ( 　　 ) (3) 若 p 是 q 的充要条件， q 是 r 的充要条件，则 p 是 r 的充要条件 . ( 　　 ) 提示： (1)√. 由三角形相似的判定和性质可知 . (2)×.p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论 . p 的充要条件是 q 说明 q 是条件， p 是结论 . (3)√. 因为 p⇔q ， q⇔r ，所以 p⇔r ，所以 p 是 r 的充要条件 . 2.“x=1” 是“ x 2 -2x+1=0” 的 ( 　　 ) 　　　 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. 当 x=1 时， x 2 -2x+1=0 成立， 由 x 2 -2x+1=0 ，解得 x=1 ，所以 “ x=1 ” 是 “ x 2 -2x+1=0 ” 的充要条件 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC ， BD ，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ AC⊥BD” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. “ 四边形 ABCD 为菱形 ” ，则 “ AC⊥BD ” ；而 “ AC⊥BD ” 时 “ 四边形 ABCD 不一定为菱形 ” ，所以 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ AC⊥BD ” 的充分不必要条件 . 关键能力 · 合作学习 类型一　定义法判断充分条件、必要条件 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 营口高一检测 ) 设 a ， b∈R ，则“ (a-b)a 2 <0” 是“ a0 C.a 2 +b 2 =0 D.a 2 +b 2 >0 3. 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p ： x≠0 ， q ： x+|x|>0. (2)p ： a ， b∈R ， |a-b|=|a|+|b| ， q ： a ， b∈R ， ab<0. (3)p ： x 1 ， x 2 是方程 x 2 +5x-6=0 的两个实数根， q ： x 1 +x 2 =-5. (4)p ： A⊆B ， q ： A∩B=A. 【 解析 】 1. 选 A. 由 “ (a-b)a 2 <0 ” 一定可得出 “ a0 ，则 a ， b 不同时为零； a ， b 中至少有一个不为零，则 a 2 +b 2 >0. 3.(1) 因为由 x≠0 推不出 x+|x|>0 ，如 x=-1 时， x+|x|=0 ，所以 p q ， 所以 p 不是 q 的充要条件 . (2) 由 |a-b|=|a|+|b| ，两边平方得 a 2 -2ab+b 2 =a 2 +2|ab|+b 2 ，即 |ab|=-ab ， 得 ab≤0 ，即 “ |a-b|=|a|+|b| ” 等价于 “ ab≤0 ” ， 所以 p q ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (3) 当 x 1 =-1 ， x 2 =-4 时， x 1 +x 2 =-5 ，而 -1 ， -4 不是方程 x 2 +5x-6=0 的两根 . 所以 q p ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (4) 由 A⊆B ，得 A∩B=A ；反过来，由 A∩B=A ，且 (A∩B)⊆B ，得 A⊆B ， 因此 “ A⊆B ” 是 “ A∩B=A ” 成立的充要条件，即 p 是 q 的充要条件 . 【 解题策略 】 定义法判断充分条件、必要条件 (1) 确定谁是条件，谁是结论； (2) 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件； (3) 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件 . 【 补偿训练 】 　　　下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p ： x 2 =3x+4 ； q ： x= . (2)p ： a 是自然数； q ： a 是正数 . (3)p ： a=1 ； q ： a 的倒数是其本身 . (4)p ：点 P(2-a ， 3a-2) 到两坐标轴距离相等； q ： a=1 或 a=0. 【 解析 】 (1) 当 x=-1 时， x 2 =3x+4 ， 但是 x= 成立的条件是 x≥0 ， 所以 p q ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (2)0 是自然数，但是 0 不是正数， 所以 p q ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (3) 倒数是其本身的有 ±1 ， 所以 q p ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (4) 当 a=1 时，点 P(1 ， 1) 到两坐标轴距离相等， 当 a=0 时，点 P(2 ， -2) 到两坐标轴距离相等， 当点 P(2-a ， 3a-2) 到两坐标轴距离相等时， |2-a|=|3a-2| ，解得 a=1 或 a=0. 所以 p⇔q ，所以 p 是 q 的充要条件 . 类型二　充要条件的证明 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 求证：方程 mx 2 -2x+3=0 有两个同号不相等实根的充要条件是 0a ， q ： x>3. (1) 若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围 . (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围 . (3) 若 a 是方程 x 2 -6x+9=0 的根，判断 p 是 q 的什么条件 . 【 思路导引 】 将 p 与 q 的条件关系转换为相应集合的关系，求 a 的取值范围 . 【 解析 】 设 A={x|x>a} ， B={x|x>3}. (1) 若 p 是 q 的必要不充分条件，则有 B A ，所以 a<3. (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，则有 A B ，所以 a>3. (3) 因为方程 x 2 -6x+9=0 的根是 3 ，所以 a=3 ，于是有 A=B ，所以 p 是 q 的充要条件 . 【 变式探究 】 将本题条件改为“ p ： |x|≤2 ， q ： x≤a” ，第 (2) 问如何解答？ 【 解析 】 设 A={x||x|≤2} ， B={x|x≤a} ， 则 A={x|-2≤x≤2} ， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则有 A B ，所以 a≥2. 【 解题策略 】 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 p ： A={x|p(x) 成立 } ， q ： B={x|q(x) 成立 }. 【 题组训练 】 1.(2020· 辽阳高一检测 )“00) ， q ：实数 x 满足 23 ，解得 m>3. 答案： {m|m>3} 4.“ 反比例函数 y= 的图象与函数 y=x 的图象没有公共点”的充要条件是“ k∈A” ，则集合 A=_____.  【 解析 】 分 k>0 和 k<0 两种情况分别画出反比例函数 y= 与函数 y=x 的图象，如图所示， 由图可知，若它们的图象没有公共点，则 k<0 ，即符合题意的集合 A={ k|k<0}. 答案 { k|k<0} 5. 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p ：同旁内角互补， q ：两直线平行； (2)p ： x 2 =y 2 ， q ： x+y=0 ； (3)p ： m<-2 ， q ：方程 x 2 -x-m=0 无实根 . (4)p ： A∩B=A ， q ： ∁ U B⊆ ∁ U A ； 【 解析 】 (1) 两直线平行，同旁内角互补是真命题，此命题的逆命题也是 真命题，所以 p⇔q ， 所以 p 是 q 的充要条件 . (2) 由 x 2 =y 2 可推出 x+y=0 ，或 x-y=0 ，推不出 x+y=0 ，所以 p 不是 q 的充要条件 . (3) 方程 x 2 -x-m=0 无实根等价于 Δ=1-4×(-m)<0 ，所以 m<- . m<-2⇒m<- ， m<- m<-2 ， 所以 p 不是 q 的充要条件 . (4) 画出 Venn 图 ( 如图 ) 可得 . A∩B=A⇔A⊆B⇔ ∁ U A⊇ ∁ U B ，故 p 是 q 的充要条件 . 充分条件与 必要条件 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养   （ 2 ）集合法 :A⊆B, A 是 B 的充分条件， B⊆A, A 是 B 的必要条件 . （ 1 ）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向 （ 2 ）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论 逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养 充分条件 必要条件 充要条件 判断与证明 应用