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1
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的.
1.设集合 ,集合 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.如图,在复平面内,点 表示复数 ,则图中表示 的共轭复数的点是( )
(A) (B) (C) (D)
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )
4.设 ,集合 是奇数集,集合 是偶数集.若命题 ,则( )
(A) (B)
(C) (D)
5.函数 的部分图象如图所示,则 的值分别
是( )
{ | 2 0}A x x= + = 2{ | 4 0}B x x= − = A B =
{ 2}− {2} { 2,2}− ∅
A z z
y
x
DB
A
O
C
A B C D
x Z∈ A B : ,2p x A x B∀ ∈ ∈
: ,2p x A x B¬ ∀∃ ∈ ∉ : ,2p x A x B¬ ∀ ∉ ∉
: ,2p x A x B¬ ∃ ∉ ∈ : ,2p x A x B¬ ∃ ∈ ∈
( ) 2sin( ),( 0, )2 2f x x
π πω ϕ ω ϕ= + > − < < ,ω ϕ
2
(A) (B) (C) (D)
6.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( )
(A) (B) (C) (D)
7.函数 的图象大致是( )
8.从 这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 ,共可得到 的不
同值的个数是( )
(A) (B) (C) (D)
9.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的 4
秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,
它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.设函数 ( , 为自然对数的底数).若曲线 上存在
使得 ,则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
2, 3
π− 2, 6
π− 4, 6
π− 4, 3
π
2 4y x=
2
2 13
yx − =
1
2
3
2 1 3
2
3 1x
xy = −
1,3,5,7,9 ,a b lg lga b−
9 10 18 20
1
4
1
2
3
4
7
8
( ) xf x e x a= + − a R∈ e siny x=
0 0( , )x y 0 0( ( ))f f y y= a
[1, ]e 1[ ,-11]e− , [1, 1]e + 1[ -1, 1]e e− +
3
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.二项式 的展开式中,含 的项的系数是_________.(用数字作答)
12.在平行四边形 中,对角线 与 交于点 , ,则
_________.
13.设 , ,则 的值是_________.
14.已知 是定义域为 的偶函数,当 ≥ 时, ,那么,不等式
的解集是________ .
15.设 为平面 内的 个点,在平面 内的所有点中,若点 到
点的距离之和最小,则称点 为 点的一个“中位点”.例如,线段 上的任
意点都是端点 的中位点.则有下列命题:
①若 三个点共线, 在线 AB 上,则 是 的中位点;
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点 共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 在等差数列 中, ,且 为 和 的等比中项,求
数列 的首项、公差及前 项和.
17.(本小题满分 12 分) 在 中,角 的对边分别为 ,且
.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求向量 在 方向上的投影.
18.(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 在 这
个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 次后,统计记录
了输出 的值为 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
5( )x y+ 2 3x y
ABCD AC BD O AB AD AOλ+ = λ =
sin 2 sinα α= − ( , )2
πα π∈ tan 2α
( )f x R x 0 2( ) 4f x x x= −
( 2) 5f x + <
1 2, , , nP P P α n α P 1 2, , , nP P P
P 1 2, , , nP P P AB
,A B
, ,A B C C C , ,A B C
, , ,A B C D
{ }na 2 1 8a a− = 4a 2a 3a
{ }na n
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2 32cos cos sin( )sin cos( )2 5
A B B A B B A C
− − − + + = −
cos A
4 2a = 5b = BA BC
x 1,2,3, ,24⋅⋅⋅ 24
y i ( 1,2,3)iP i =
n
y ( 1,2,3)i i =
4
甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
当 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为
的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;
(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 的值为 2 的次数 的分布列及数学期
望.
19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 ,
, , 分别是线段 的中点, 是线段
的中点.
(Ⅰ)在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线
平面 ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 交 于点 ,交 于点 ,求二面角 的余弦
值.
2100n = y ( 1,2,3)i i =
y ξ
1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC
12AB AC AA= = 120BAC∠ =
1,D D 1 1,BC B C P AD
ABC P 1A BC l l ⊥
1 1ADD A
l AB M AC N 1A A M N− −
运行
次数
输出 的
值
为 的频数
输出 的
值
为 的频数
输出 的
值
为 的频数
… … … …
运行
次数
输出 的
值
为 的频数
输出 的
值
为 的频数
输出 的
值
为 的频数
… … … …
n
y
1
y
2
y
3
30 14 6 10
2100 1027 376 697
n
y
1
y
2
y
3
30 12 11 7
2100 1051 696 353
5
20 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆 : 的 两 个 焦 点 分 别 为
,且椭圆 经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的离心率;
(Ⅱ)设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点,点 是线段 上的点,且
,求点 的轨迹方程.
21.(本小题满分 14 分)已知函数 ,其中 是实数.设 ,
为该函数图象上的两点,且 .
(Ⅰ)指出函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 的图象在点 处的切线互相垂直,且 ,求 的最小值;
(Ⅲ)若函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围.
D1
DC
B
A1
B1
C1
A P
C
2 2
2 2 1,( 0)x y a ba b
+ = > >
1 2( 1,0), (1,0)F F− C 4 1( , )3 3P
C
(0,2)A l C M N Q MN
2 2 2
2 1 1
| | | | | |AQ AM AN
= + Q
2 2 , 0( )
ln , 0
x x a xf x
x x
+ + <= >
a 1 1( , ( ))A x f x
2 2( , ( ))B x f x 1 2x x<
( )f x
( )f x ,A B 2 0x < 2 1x x−
( )f x ,A B a
6
参考答案
一、 选择题:本题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.
1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 25 分.
11.10 12.2 13. 14. 15.①④
三、解答题:共 6 小题,共 75 分.
16.解:设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得
.
所以 ,
解得 ,或 ,即数列 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3.
所以数列的前 项和 或 . ………….12 分
17.解: 由 ,得
,
即 ,
则 ,即 . ………….. 5 分
由 ,得 ,
由正弦定理,有 ,所以, .
由题知 ,则 ,故 .
根据余弦定理,有 ,
解得 或 (舍去).
故向量 在 方向上的投影为 . ………….12 分
18. 解: .变量 x 是在 1,2,3,……24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能.
当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 ;
当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 ;
当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 . ……………3 分
当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下:
3 ( 7,3)−
d n ns
( ) ( )( )2
1 1 1 12 2 8, 3 8a d a d a d a d+ = + = + +
( )1 14, 3 0a d d d a+ = − =
1 4, 0a d= = 1 1, 3a d= = { }na
n 4ns n=
23
2n
n ns
−=
( )Ι ( ) ( )2 32cos cos sin sin cos2 5
A B B A B B A C
− − − + + = −
( ) ( ) 3cos 1 cos sin sin cos 5A B B A B B B− + − − − = −
( ) ( ) 3cos cos sin sin 5A B B A B B− − − = −
( ) 3cos 5A B B− + = − 3cos 5A = −
( )ΙΙ 3cos ,05A A π= − < < 4sin 5A =
sin sin
a b
A B
= sin 2sin 2
b AB a
= =
a b> A B>
4B
π=
( )2 2 2 34 2 5 2 5 5c c = + − × × −
1c = 7c = −
BA BC 2cos 2BA B =
( )Ι
1
1
2p =
2
1
3p =
3
1
6p =
( )ΙΙ
7
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7 分
(3)随机变量 可能饿取值为 0,1,2,3.
故 的分布列为
所以
即 的数学期望为 1. ………12 分
19.解: 如图,在平面 内,过点 做直线 // ,因为 在平面 外,
在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面 .
由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 .
因为 平面 ,所以 直线 .又因为 在平面 内,且 与
相 交 , 所 以 直 线 平 面
. …………………………………………………………………………….6 分
解法一:
连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 .
由 知, 平面 ,所以平面 平面 .
所以 平面 ,则 .
所以 平面 ,则 .
故 为二面角 的平面角(设为 ).
ξ
0 3
0
3
1 2 8( 0) 3 3 27p Cξ = = × =
1 2
1
3
1 2 4( 1) 3 3 9p Cξ = = × =
2 1
2
3
1 2 2( 2) 3 3 9p Cξ = = × =
3 0
3
3
1 2 1( 3) 3 3 27p Cξ = = × =
ξ
8 4 2 10 1 2 3 127 9 9 27Eξ = × + × + × + × =
ξ
( )Ι ABC P l BC l 1A BC
BC 1A BC l 1A BC
AB AC= D BC BC AD⊥ l AD⊥
1AA ⊥ ABC 1AA ⊥ l 1,AD AA 1 1ADD A AD 1AA
1 1ADD A
( )ΙΙ
1A P A 1AE A P⊥ E E 1EF A M⊥ F AF
( )Ι MN ⊥ 1AEA 1AEA ⊥ 1A MN
AE ⊥ 1A MN 1A M AE⊥
1A M ⊥ AEF 1A M ⊥ AF
AFE∠ 1A A M N− − θ
输出 的值
为 的频率
输出 的值
为 的频率
输出 的值
为 的频率
甲
乙
y
1
y
2
y
3
1027
2100
376
2100
697
2100
1051
2100
696
2100
353
2100
ξ 0 1 2 3
p 8
27
4
9
2
9
1
27
8
设 ,则由 , ,有 , .
又 为 的中点,所以 为 的中点,且 ,
在 中, ;在 中, .
从而, , ,
所以 .
所以 .
故二面角 的余弦值为 . ………………12 分
解法二:
设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向为
轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系 (点 与点 重合).
则 , .
因为 为 的中点,所以 分别为 的中点,
故 ,
所以 , , .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
1 1AA = 12AB AC AA= = 120BAC∠ = 60BAD∠ = 2, 1AB AD= =
P AD M AB 1 , 12AP AM= =
1Rt AA P 1
5
2A P = 1Rt A AM 1 2A M =
1
1
1
5
AA APAE A P
•= = 1
1
1
2
AA AMAF A M
•= =
2sin
5
AE
AF
θ = =
2
2 2 15cos 1 sin 1 55
θ θ = − = − =
1A A M N− − 15
5
1 1AA = 1A 1A E 1 1B C 1A 1 1 1,A E A D
1AA
x y z Oxyz O 1A
( )1 0,0,0A ( )0,0,1A
P AD ,M N ,AB AC
3 1 3 1, ,1 , , ,12 2 2 2M N
−
1
3 1, ,12 2A M
=
( )1 0,0,1A A = ( )3,0,0NM =
1AA M ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1 1
1 1
,
,
n A M
n A A
⊥ ⊥
1 1
1 1
0,
0,
n A M
n A A
• = • =
( )
( ) ( )
1 1 1
1 1 1
3 1, , , ,1 0,2 2
, , 0,0,1 0,
x y z
x y z
• =
• =
9
从而
取 ,则 ,所以 .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
从而
取 ,则 ,所以 .
设二面角 的平面角为 ,又 为锐角,
则 .
故二面角 的余弦值为 . ………………12 分
20.解:
所以, .
又由已知, ,
所以椭圆 C 的离心率 ……………4 分
由 知椭圆 C 的方程为 .
设点 Q 的坐标为(x,y).
(1) 当直线 与 轴垂直时,直线 与椭圆 交于 两点,此时 点坐标为
(2) 当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为 .
因为 在直线 上,可设点 的坐标分别为 ,则
. 又
由 ,得
,即
1 1 1
1
3 1 0,2 2
0.
x y z
z
+ + =
=
1 1x = 1 3y = − ( )1 1, 3,0n = −
1A MN ( )2 2 2 2, ,n x y z=
2 1
2
,
,
n A M
n NM
⊥ ⊥
2 1
2
0,
0,
n A M
n NM
• = • =
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3 1, , , ,1 0,2 2
, , 3,0,0 0,
x y z
x y z
• =
• =
2 2 2
2
3 1 0,2 2
3 0.
x y z
x
+ + =
=
2 2y = 2 1z = − ( )2 0,2, 1n = −
1A A M N− − θ θ
( ) ( )
1 2
1 2
1, 3,0 0,2, 1 15cos 52 5
n n
n n
θ
− • −•= = =• •
1A A M N− − 15
5
2 2 2 2
1 2
4 1 4 12 1 1 2 23 3 3 3a PF PF = + = + + + − + =
2a =
1c =
1 2
22
ce a
= = =
( )ΙΙ ( )Ι
2
2 12
x y+ =
l x l C ( ) ( )0,1 , 0, 1− Q
3 50,2 5
−
l x l 2y kx= +
,M N l ,M N 1 1 2 2( , 2),( , 2)x kx x kx+ +
2 22 2 2 2
1 2(1 ) , (1 )AM k x AN k x= + = + ( )2 22 2 22 (1 ) .AQ x y k x= + − = +
2 2 2
2 1 1
AQ AM AN
= +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2
2 1 1
1 1 1k x k x k x
= +
+ + +
10
①
将 代入 中,得
②
由 得 .
由②可知
代入①中并化简,得 ③
因 为 点 在 直 线 上 , 所 以 , 代 入 ③ 中 并 化 简 , 得
.
由③及 ,可知 ,即 .
又 满足 ,故 .
由题意, 在椭圆 内部,所以 ,
又由 有
且 ,则 .
所 以 点 的 轨 迹 方 程 是 , 其 中 , ,
………..13 分
21.解: 函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,
由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 ,点 B 处的切线斜率为 ,
故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 .
当 时,对函数 求导,得 .
因为 ,所以 ,
所以 .
因此
当且仅当 = =1,即 时等号成立.
所以函数 的图象在点 处的切线互相垂直时, 的最小值为 1…………7 分
( )2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
22 1 1 x x x x
x x x x x
+ −= + =
2y kx= +
2
2 12
x y+ =
( )2 22 1 8 6 0k x kx+ + + =
( ) ( )2 28 4 2 1 6 0,k k∆ = − × + × > 2 3
2k >
1 2 1 22 2
8 6, ,2 1 2 1
kx x x xk k
+ = − =+ +
2
2
18
10 3x k
= −
Q 2y kx= + 2yk x
−=
( )2 210 2 3 18y x− − =
2 3
2k > 2 30 2x< < 6 6,0 0,2 2x
∈ −
3 50,2 5
−
( )2 210 2 3 18y x− − = 6 6,2 2x
∈ −
( ),Q x y C 1 1y− ≤ ≤
( )2 210 2 18 3y x− = +
( )2 9 92 ,5 4y − ∈ 1 1y− ≤ ≤ 1 3 5,22 5y
∈ −
Q ( )2 210 2 3 18y x− − = 6 6,2 2x
∈ −
1 3 5,22 5y
∈ −
( )Ι ( )f x ( ), 1−∞ − [ )1,0− ( )0,+∞
( )ΙΙ ( )1f x′ ( )2f x′
( ) ( )1 2 1f x f x′ ′ = −
0x < ( )f x ( ) 2 2f x x′ = +
1 2 0x x< < ( )( )1 22 2 2 2 1x x+ + = −
( ) ( )1 22 2 0, 2 2 0x x+ < + >
( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 12x x x x x x− = − + + + ≥ − + + =
( )12 2x− + ( )22 2x + 1 2
3 1
2 2x x= − =且
( )f x ,A B 2 1x x−
11
当 或 时, ,故 .
当 时,函数 的图象在点 处的切线方程为
,即
当 时,函数 的图象在点 处的切线方程为
,即 .
两切线重合的充要条件是
由①及 知, .
由①②得, .
设 ,
则 .
所以 是减函数.
则 ,
所以 .
又当 且趋近于 时, 无限增大,所以 的取值范围是 .
故当函数 的图像在点 处的切线重合时, 的取值范围是 .14 分 。
( )ΙΙΙ 1 2 0x x< < 2 1 0x x> > ( ) ( )1 2f x f x′ ′≠ 1 20x x< <
1 0x < ( )f x ( )( )1 1,x f x
( ) ( )( )2
1 1 1 12 2 2y x x a x x x− + + = + − ( ) 2
1 12 2y x x x a= + − +
2 0x > ( )f x ( )( )2 2,x f x
( )2 2
2
1lny x x xx
− = − 2
2
1 ln 1y x xx
= • + −
1
2
2
2 1
1 2 2
ln 1
xx
x x a
= +
− = − +
①
②
1 20x x< < 11 0x− < <
( )2 2
1 1 1
1
1ln 1 ln 2 2 12 2a x x xx
= + − = − + −+
( ) ( )2
1 1 1 1ln 2 2 1( 1 0)h x x x x= − + − − < <
( )1 1
1
12 01h x x x
′ = − <+
( )( )1 11 0h x x− < <
( ) ( )1 0 ln 2 1h x h> = − −
ln 2 1a > − −
1 ( 1,0)x ∈ − 1− ( )1h x a ( )ln 2 1,− − +∞
( )f x ,A B a ( )ln 2 1,− − +∞
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