江苏省海门中学2020-2021学年度上学期高二数学期中考试试题 4页

江苏省海门高级中学 2020 ∼ 2021 第一学期期中考试 高 二 数 学 2020.11 一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知 m ∈ R，i 为虚数单位, 若复数 z = 1+mi 1−i 是纯虚数, 则 m 的值为 ( ) A. −1 B. 0 C. 1 D. 0 或 1 2. 设 F1，F2 为椭圆 C：x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点, 点 P 在椭圆 C 上, 若 PF1，F1F2，PF2 成 等差数列，则椭圆 C 的离心率为 ( ) A. 1 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，后来英国数学 家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影 响深远. 若 a，b，c ∈ R，则下列命题正确的是 A. 若 a < b，则 1 a > 1 b B. 若 a > b > 0，c < d < 0，则 ac > bd C. 若 a > b > 0，则 b+1 a+1 > b a D. 若 a > b，则 ac2 > bc2 4. 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. 若 S4 S2 = 5，则等比数列 {an} 的公比为 A. 2 B. 1 或 2 C. −2 或 2 D. −2 或 1 或 2 5. 不等式 x−1 −x−2 ⩾ 0 的解集是 A. (−∞，1]∪(2，+∞) B. (−∞，1]∪[2，+∞) C. [−2，1] D. (−2，1] 6. 设等差数列 {an} 的公差 d ̸= 0， 前 n 项和为 Sn. 若 S4 = 5a2， 则 S9 a9 = A. 9 B. 5 C. 1 D. 5 9 7. 若 a > 0，b > 0，则” a+b ⩽ 4” 是 ”ab ⩽ a+b” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列 {an} 满足 a2 = 1 2 ， a5 = 1 5a1，且 1 an − 2 an+1 + 1 an−2 = 0，n ∈ N∗，则 n ∈ N∗ 时，使得不 等式 n+100an ≥ a 恒成立的实数 a 的最大值是 ( ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9. 已知复数 z 在复平面上对应的向量 # » OZ = (−1，2)，则 ( ) A. z = −1+2i B. |z| = 5 C. limz = 1+2i D. z·limz = 5 S 高一数期中试卷 第 1 页（共 4 页） 10. 下面命题正确的是 ( ) A. “a > 1”是“1 a < 1”的充分不必要条件 B. 数列 {an} 是等比数列的必要条件 aa3 = a2 2 C. 命题“∀x ∈ R，x2 +1 < 0”的否定是“∀x ∈ R，x2 +1 ⩾ 0” D. a = −2 时，“−2 < x < 4”是“(x+2)(x+a) < 0”的必要不充分条件 11. 设数列 {an} 满足 a1 +3a2 +5a3 +···+(2n−1)an = 2n(n ∈ N∗)，记数列 ß an 2n+1 ™ 的前 n 项和为 Sn， 则 ( ) A. a1 = 2 B. an = 2 2n−1 C. Sn = n 2n+1 D. Sn = nan+1 12. 已知 x > 0，y > 0，且 xy−x−y = 0，则 ( ) A. 4x+y 的最小值为 9 B. log2 x+log2 y > 2 C. x2 +y2 ⩾ 8 D. √ x+ √ y ⩾ 2 √ 2 二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 k ∈ Z，i 为虚数单位，复数 z 满足：i2kz = 1−i，则当 k 为奇数时，z = ；当 k ∈ Z 时，|z+1+i| = . 14. 若存在性命题：∃x ∈ R，使得 mx2 +1 ⩽ 0 是假命题，且全称命题：∀x ∈ R，x2 −2mx+1 ⩾ 0 是真 命题，则实数 m 的取值范围是 . 15. 已知公差不为 0 的等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 1，S2 a2 ，S3 a3 成等差数列，则 S10 = . 16. 已知 x > 0，y > 0，则当 x+4y+ 1√ xy 取得最小值时，x−y = . 三、解答题：共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2 1 2 (k2 −1) + y2 k = 1 的焦点在 x 轴上. (1) 求实数 k 的取值范围； (2) 设椭圆 C 的焦点 F1(−1，0)，F2(1，0)，B2 是椭圆 C 的上顶点， 直线 B2F1 与椭圆 C 的另一交点为 M. 1 求椭圆 C 的方程； 2 求焦半径 MF1 的长. S 高一数期中试卷 第 2 页（共 4 页） 18.（12 分）设 m ∈ R, 关于 x 的不等式 x2 +2mx+m+2 < 0 的解集为 . (1) 求 m 的取值范围: (2) 求关于 x 的不等式 mx2 + (m−2)x−2 ⩾ 0 的解集. 19.（12 分）设数列 {an} 满足：a1 = 1,an+1 = 2an +2n，n ∈ N∗. (1) 求数列 {an} 的通项公式； (2) 求数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. 20.（12 分）设数列 {an} 满足 a1 = 0，且 an+1 = 1 2−an ，n ∈ N∗．记 bn = 1 1−an ，n ∈ N∗. (1) 求证：数列 {bn} 为等差数列； (2) 设 cn = (3 2)nan , 求满足不等式 3( 1 c1 + 1 c2 + 1 c3 +···+ 1 cn ) > c1 +c2 +c3 +···+cn 的正整数 n 的 集合. S 高一数期中试卷 第 3 页（共 4 页） 21.（12 分）已知数列 {an} 是各项均为正数的等比数列，数列 {bn} 为等差数列，且 b1 = a1 = 1， b3 = a3 +1，b5 = a5 −7. (1) 求数列 {an} 与 {bn} 的通项公式； (2) 设 Sn 为数列 {a2 n} 的前 n 项和，若对于任意 n ∈ N∗，有 Sn + 1 3 = t ·2bn ，求实数 t 的值； (3) 记 cn = bn+2 bnbn+1an+2 ，数列 {cn} 的前 n 项和 An，求证：An < 1 2. 22.（10 分）已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且对任意 n ∈ N∗，an，Sn，n2 成等差数列. (1) 求数列 {an} 的通项公式； (2) 设数列 bn 是首项为 1，公比为 q 的正项等比数列. (i) 求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn. (ii) 若数列 {bn+1 −2an} 为单调递增数列，求 q 的取值范围. S 高一数期中试卷 第 4 页（共 4 页）