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- 2021-06-16 发布
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(测试时间:120 分钟 满分:150 分)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是
( )
A.棱柱 B.棱台
C.圆柱 D.球
答案:C
2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( )
解析:由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选 D.
答案:D
3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB 的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB 的面积是( )
A.6 B.3
C.6 D.12
解析:△OAB 是直角三角形,其两条直角边分别是 4 和 6,则其面积是 12.
答案:D
4.(2016 山西大同一中高二月考)圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 ,则圆锥的
体积( )
A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的 2 倍
C.不变 D.缩小到原来的
解析:设原圆锥的高为 h,半径为 r,体积为 V,则 V= πr2h;变化后圆锥的体积为
V'= ·2h= πr2h= V.
答案:A
5.一个几何体的三视图如图,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是正方形,则该几何体的
侧视图的面积是 ( )
A.2 B. C.4 D.2
解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样,是正三角形,面积 S= ×22= .
答案:B
6.(2016 河北唐山高二期中)已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2,高为 1,则该圆台的全面积
为( )
A.3 π B.(5+3 )π
C. π D. π
答案:B
7.(2015 陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3π B.4π C.2π+4 D. 3π+4
解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为 S 侧+S 上底+S 下底=(π+2)×2+π=3π+4.
答案:D
8.(2015 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. +2π B. C. D.
答案:B
9.(2016 河北唐山高二期中)如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD
长为 2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则此几何体的体积是( )
A. B. C. D.1
解析:
答案:A
10.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC= ,BB1=BC=6,E,F 为侧棱 AA1
上的两点,且 EF=3,则多面体 BB1C1CEF 的体积为 ( )
A.30 B.18
C.15 D.12
解析: -VE-ABC
=S△ABC×6- S△ABC·A1F- S△ABC·AE
=S△ABC·
=5S△ABC.
∵AC=AB= ,BC=6,
∴S△ABC= ×6× =6.
∴ =5×6=30.
答案:A
11.如图所示,正四棱锥 S—ABCD 的所有棱长都等于 a,过不相邻的两条棱 SA,SC 作截面
SAC,则截面的面积为( )
A.3
2a2 B.a2
C.1
2a2 D.1
3a2
12.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是( )
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
解析:A 当截面平行于正方体的一个侧面时得③;当截面过正方体的体对角线时可得④;当
截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时,可得①.但无论如何都不能截得②.故选 A.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径
相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________ cm.
解析:设球的半径为 r,放入 3 个球后,圆柱液面高度变为 6r.则有
πr2·6r=8πr2+3·4
3πr3,即 2r=8,
∴r=4.
答案:4
14. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如右图所示,
左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是________.
解析:设正三棱柱的底面边长为 a,利用体积为 2 3,很容易求出这个正三棱柱的底面边长和
侧棱长都是 2,所以底面正三角形的高为 3,故所求矩形的面积为 2 3.
答案: 2 3
15.圆台的母线长扩大到原来的 n 倍,两底面半径都缩小为原来的1
n
,那么它的侧面积为原来
的________倍.
解析:设改变之前圆台的母线长为 l,上底半径为 r,下底半径为 R,则侧面积为π(r+R)l,改
变后圆台的母线长为 nl,上底半径为r
n
,下底半径为R
n
,则侧面积为π
r+R
n nl=π(r+R)l,故它
的侧面积为原来的 1 倍.
答案:1
16.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一
个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________cm3.
答案: 15
3 π
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图是
一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积 V;
(2)求该几何体的侧面积 S.
解:
故几何体的侧面积 S=2· =40+24 .
18.(本小题满分 12 分)(2016 山西大同一中高二月考)如图所示(单位:cm),四边形 ABCD 是直角梯
形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.
又 S 半球面= ×4π×22=8π(cm2),
S 圆台侧=π(2+5) =35π(cm2),
S 圆台下底=π×52=25π(cm2),
所以所成几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又 V 圆台= ×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V 半球= ×23= (cm3).
所以所成几何体的体积为
V 圆台-V 半球=52π- (cm3).
19.(本小题满分 12 分)把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4,母线
长为 10 cm.求圆锥的母线长.
故圆锥的母线长为40
3 cm.
20.(本小题满分 12 分)如下图,在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆
柱,求圆柱的表面积.
解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h′.
圆锥的高 h= 42-22=2 3,
又∵h′= 3,
∴h′=1
2h.∴r
2
=2 3- 3
2 3
,∴r=1.
∴S 表面积=2S 底+S 侧=2πr2+2πrh′
=2π+2π× 3=2(1+ 3)π.
21.(12 分)如图所示,一个封闭的圆锥型容器,当顶点在上面时,放置于锥体内的水面高度为
h1,且水面高是锥体高的1
3
,即 h1=1
3h,若将锥顶倒置,底面向上时,水面高为 h2,求 h2 的大
小.
即所求 h2 的值为
3 19
3 h.
22.(12 分)如图所示,有一块扇形铁皮 OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇形
环 ABCD,作圆台形容器的侧面,并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好
作圆台形容器的下底面(大底面).
试求:(1)AD 应取多长?(2)容器的容积.
解
(1)设圆台上、下底面半径分别为 r、R,
AD=x,则 OD=72-x,由题意得
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