2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2 7页

www.ks5u.com 课时分层作业(十九)　‎ ‎(建议用时：40分钟) ‎ 一、选择题 ‎1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 D　[x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1，‎ 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]‎ ‎2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 B　[法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．‎ ‎∵圆M截直线所得线段长度为2，‎ ‎∴＝2.又a>0，∴a＝2.‎ ‎∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.‎ 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，‎ ‎∴|MN|＝＝.‎ ‎∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．‎ 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，‎ ‎∴M(0，a)，r1＝a.‎ 依题意，有＝，解得a＝2.‎ 以下同法一．]‎ ‎3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2‎ ‎＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25‎ B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15‎ C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9‎ D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9‎ D　[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D.]‎ ‎4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为(　　)‎ A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50‎ C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50‎ C　[根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径为.‎ ‎⊙O1的圆心O1(a,0)，半径为r.‎ ‎∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，‎ ‎∴()2＋r2＝a2. ①‎ 又由|AB|＝4，则××|OO1|＝××r，‎ 即|a|＝r. ②‎ 由①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5.故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20.]‎ ‎5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是(　　)‎ A．60° B．45°‎ C．120° D．90°‎ D　[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为r＝2.‎ 圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为r＝2.‎ 圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝.‎ 设公共弦所对的圆心角是2θ，则 cos θ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．‎ a2＋b2＞3＋2　[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.]‎ ‎7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________.‎ ‎2　[由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0.圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2‎ 则圆心(0,0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝.‎ 所以|MN|＝2＝2×＝2.]‎ ‎8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．‎ x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4‎ ‎∴圆心为(2,4)，半径为2.圆心到原点的距离为＝2.∴切线长为＝4，∴P，Q在以(0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16.‎ 由 得x＋2y－8＝0.这就是PQ所在直线的方程．]‎ 三、解答题 ‎9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长. ‎ ‎[解]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则A，B的坐标是方程组 的解，‎ 两式相减得x＋y－1＝0.‎ 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，‎ 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，‎ 即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，‎ 圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，‎ 所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.‎ ‎10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．‎ ‎[解]　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.‎ ‎∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，‎ ‎∴两圆连心线所在直线的方程为＝，‎ 即x＋y＋2＝0.‎ 过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．‎ 由得所求圆的圆心为(－1，－1)．‎ 又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，‎ ‎∴所求圆的半径r＝＝1，‎ ‎∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－，下列说法正确的是(　　)‎ A．b＝1±2时，直线与曲线有且仅有一个交点 B．－1＜b≤3时，直线与曲线有且仅有一个交点 C．1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点 D．b＞3或b＜1－2时，直线与曲线没有交点 BCD　[把y＝3－化成为(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2,3)，A(0,3)，B(4,3)．‎ 当y＝x＋b过A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，＝2，解得b＝1－2(b＝1＋2舍去)．‎ ‎∴当b＞3或b＜1－2时，直线与曲线无交点；当－1＜b≤3或b＝1－2时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD.]‎ ‎12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)‎ A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米 B　[建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.‎ ‎∴h＝4≈3.5(米)．]‎ ‎13．(一题两空)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________．‎ ‎±5　4　[如图所示，在Rt△OO1A中，‎ 由已知条件知|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝＝5，所以当圆O1在y 轴右侧时，m＝5，‎ 当圆O1在y轴左侧时，m＝－5.∴m＝±5.‎ 又AB⊥OO1，∴AC＝＝2.故|AB|＝4.]‎ ‎14．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．‎ x－y＋2＝0　[圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4为等圆，所以直线l是C1C2的中垂线，由C1(0,0)，C2(－2,2)知k＝－1，且C1C2的中点坐标为(－1,1)，∴kl＝1，所求l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.]‎ ‎15.如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.‎ ‎(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；‎ ‎(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题意得 得x2－(1＋a)x＋a＝0，‎ 由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1.‎ 故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.‎ ‎(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即(x－1)(x－a)＝0，‎ 所以M(1,0)，N(a,0)，假设存在实数a，‎ 当直线AB与x轴不垂直时，‎ 设直线AB的方程为y＝k(x－1)，‎ 代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线NA，NB的斜率之和为＋ ‎＝ 而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)‎ ‎＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a ‎＝2－(a＋1)＋2a ‎＝，‎ 因为∠ANM＝∠BNM，所以＋＝0，‎ 即＝0，得a＝4.‎ 当直线AB与x轴垂直时，也成立．‎ 故存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.‎