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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:2

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www.ks5u.com 课时分层作业(十九) ‎ ‎(建议用时:40分钟) ‎ 一、选择题 ‎1.圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 D [x2-4x+y2=0⇒(x-2)2+y2=22,圆心坐标为(2,0),半径为2;x2+y2+4x+3=0⇒(x+2)2+y2=12,圆心坐标为(-2,0),半径为1,‎ 圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.故选D.]‎ ‎2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 B [法一:由得两交点为(0,0),(-a,a).‎ ‎∵圆M截直线所得线段长度为2,‎ ‎∴=2.又a>0,∴a=2.‎ ‎∴圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径r1=2.‎ 又圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N(1,1),半径r2=1,‎ ‎∴|MN|==.‎ ‎∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,∴两圆相交.‎ 法二:∵x2+y2-2ay=0(a>0)⇔x2+(y-a)2=a2(a>0),‎ ‎∴M(0,a),r1=a.‎ 依题意,有=,解得a=2.‎ 以下同法一.]‎ ‎3.已知半径为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2‎ ‎=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(  )‎ A.(x-5)2+(y+7)2=25‎ B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15‎ C.(x-5)2+(y+7)2=9‎ D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9‎ D [动圆可能在定圆的外部,也可能在定圆的内部,根据题意知,动圆圆心的轨迹应是(x-5)2+(y+7)2=16的同心圆,半径分别为3和5,故应选D.]‎ ‎4.已知⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A,B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则⊙O1的方程为(  )‎ A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50‎ C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50‎ C [根据题意,⊙O的圆心O为(0,0),半径为.‎ ‎⊙O1的圆心O1(a,0),半径为r.‎ ‎∵⊙O与⊙O1相交于A,B两点,且两圆在A点处的切线互相垂直,‎ ‎∴()2+r2=a2. ①‎ 又由|AB|=4,则××|OO1|=××r,‎ 即|a|=r. ②‎ 由①②得5+r2=,解得r2=20,a=5.故⊙O1的方程为(x-5)2+y2=20.]‎ ‎5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所对的圆心角是(  )‎ A.60° B.45°‎ C.120° D.90°‎ D [圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为r=2.‎ 圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为r=2.‎ 圆心距为d==2,弦心距d′==.‎ 设公共弦所对的圆心角是2θ,则 cos θ==,∴θ=45°,∴2θ=90°.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是________.‎ a2+b2>3+2 [由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0),和(0,b),1,因为两圆外离,所以>+1,即a2+b2>3+2.]‎ ‎7.已知两圆(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|=________.‎ ‎2 [由题意可知直线MN方程为:(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即MN:x-y+2=0.圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2‎ 则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d==.‎ 所以|MN|=2=2×=2.]‎ ‎8.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为________.‎ x+2y-8=0 [把圆的方程化成标准方程(x-2)2+(y-4)2=4‎ ‎∴圆心为(2,4),半径为2.圆心到原点的距离为=2.∴切线长为=4,∴P,Q在以(0,0)为圆心,以4为半径的圆上,方程为x2+y2=16.‎ 由 得x+2y-8=0.这就是PQ所在直线的方程.]‎ 三、解答题 ‎9.求圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦长. ‎ ‎[解] 设两圆的交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则A,B的坐标是方程组 的解,‎ 两式相减得x+y-1=0.‎ 因为A,B两点的坐标满足x+y-1=0,‎ 所以AB所在直线方程为x+y-1=0,‎ 即C1,C2的公共弦所在直线方程为x+y-1=0,‎ 圆C3的圆心为(1,1),其到直线AB的距离d=,由条件知r2-d2=-=,‎ 所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×=.‎ ‎10.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程.‎ ‎[解] 由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.‎ ‎∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,‎ 圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),‎ ‎∴两圆连心线所在直线的方程为=,‎ 即x+y+2=0.‎ 过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆.‎ 由得所求圆的圆心为(-1,-1).‎ 又圆心C1(-2,0)到公共弦所在直线x-y=0的距离d==,‎ ‎∴所求圆的半径r==1,‎ ‎∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.‎ ‎11.(多选题)已知直线y=x+b与曲线y=3-,下列说法正确的是(  )‎ A.b=1±2时,直线与曲线有且仅有一个交点 B.-1<b≤3时,直线与曲线有且仅有一个交点 C.1-2<b≤-1时,直线与曲线有两个交点 D.b>3或b<1-2时,直线与曲线没有交点 BCD [把y=3-化成为(x-2)2+(y-3)2=4,因为0≤x≤4,y≤3,所以曲线表示圆的下半部分,如图,C(2,3),A(0,3),B(4,3).‎ 当y=x+b过A时,b=3,直线与曲线有且仅有一个交点,当y=x+b过B时,b=-1,这时直线与曲线有两个交点,当y=x+b与曲线相切时,=2,解得b=1-2(b=1+2舍去).‎ ‎∴当b>3或b<1-2时,直线与曲线无交点;当-1<b≤3或b=1-2时,直线与曲线有且仅有一个交点;当1-2<b≤-1时,直线与曲线有两个交点,故选BCD.]‎ ‎12.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(  )‎ A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米 B [建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6)所在圆的方程为:x2+(y+3.6)2=3.62,把A(0.8,h-3.6)代入得0.82+h2=3.62.‎ ‎∴h=4≈3.5(米).]‎ ‎13.(一题两空)若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则实数m=________,线段AB的长度为________.‎ ‎±5 4 [如图所示,在Rt△OO1A中,‎ 由已知条件知|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|==5,所以当圆O1在y 轴右侧时,m=5,‎ 当圆O1在y轴左侧时,m=-5.∴m=±5.‎ 又AB⊥OO1,∴AC==2.故|AB|=4.]‎ ‎14.若圆C1:x2+y2=4和圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为________.‎ x-y+2=0 [圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4为等圆,所以直线l是C1C2的中垂线,由C1(0,0),C2(-2,2)知k=-1,且C1C2的中点坐标为(-1,1),∴kl=1,所求l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.]‎ ‎15.如图,圆C:x2-(1+a)x+y2-ay+a=0.‎ ‎(1)若圆C与x轴相切,求圆C的方程;‎ ‎(2)已知a>1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B.问:是否存在实数a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)由题意得 得x2-(1+a)x+a=0,‎ 由题意得Δ=(1+a)2-4a=(a-1)2=0,所以a=1.‎ 故所求圆C的方程为x2-2x+y2-y+1=0.‎ ‎(2)令y=0,得x2-(1+a)x+a=0,即(x-1)(x-a)=0,‎ 所以M(1,0),N(a,0),假设存在实数a,‎ 当直线AB与x轴不垂直时,‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1),‎ 代入x2+y2=4得,(1+k2)x2-2k2x+k2-4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),从而x1+x2=,x1x2=.‎ 因为直线NA,NB的斜率之和为+ ‎= 而(x1-1)(x2-a)+(x2-1)(x1-a)‎ ‎=2x1x2-(a+1)(x2+x1)+2a ‎=2-(a+1)+2a ‎=,‎ 因为∠ANM=∠BNM,所以+=0,‎ 即=0,得a=4.‎ 当直线AB与x轴垂直时,也成立.‎ 故存在a=4,使得∠ANM=∠BNM.‎