2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 14页

2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分．第 I 卷 1 至 3 页，第 II 卷 4 至 6 页，满分 150 分． 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． （1）已知集合  | ( 3) 0A x x x   ，  0,1,2,3,4B  ，则 A B  （A） 0,1,2,3 （B） 1,2,3 （C） 1,2 （D） 2,3 （2）甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委的打分用茎叶图表示如图， 1 2,x x 分别表示甲、 乙选手分数的中位数， 1 2,s s 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 （A） 1 2x x ， 1 2s s （B） 1 2x x ， 1 2s s （C） 1 2x x ， 1 2s s （D） 1 2x x ， 1 2s s （3）已知  5cos( ) , 0,5       ，则 sin 2  （A） 4 5  （B） 4 5 （C） 3 5  （D） 3 5 （4）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3，蓝色卡片两张，标号分别 为1,2 ，从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和不小于 4 的概率 为 （A） 1 10 （B） 3 10 （C） 2 5 （D） 7 10 （5）下列函数中，既是奇函数，又在区间 (1,2) 内是增函数的为 （A） siny x x （B） lny x （C） (2 )y x x  （D） e ex xy   （6）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则 输出的结果是 甲 乙 8 7 6 7 5 4 1 8 0 2 9 3 4 开始 1k  1?b a  是 否 2 , 03a b  2( )3 ka k  b a 1k k  （A）1 （B） 8 9 （C） 2 3 （D） 1 2 （7）已知椭圆 2 2 2 1( 0)8 x y bb    与 y 轴交于 ,A B 两点， 1 2,F F 为该椭圆的左、右焦点，则四边形 1 2AF BF 面 积的最大值为 （A） 4 （B） 4 3 （C）8 （D）8 3 （8）榫卯(sŭn măo)是我国古代工匠极为精巧的发明，它 是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方 式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的 廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫 卯构件中榫的三视图，其表面积为 （A）12 24  （B）12 20  （C）14 24  （D）14 20  （9）若函数 ( )f x 同时满足以下三个性质： ① ( )f x 的最小正周期为  ； ② ( )f x 在 ( , )4 2   上是减函数； ③ 对任意的 xR ，都有 ( ) ( ) 04f x f x    . 则 ( )f x 的解析式可能是 （A） ( ) sin(2 )4f x x   （B） ( ) sin 2 cos2f x x x  （C） 3( ) cos(2 )4f x x   （D） ( ) tan( )8f x x    （10）直角梯形 ABCD 中， / /AD BC ， AB AD , 2 2 2 2BC AB AD   ，若沿 BD 折成直 二面角 A BD C  ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 （A）  （B）  （C） （D） 4 4 2 1 4 2 正视图 侧视图 俯视图 （11）已知 F 是双曲线 C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点，P 是 y 轴正半轴上一点，以 OP 为直径的圆与 C 的渐近线在第一象限的交点为 M ，若 5FM MP  ，则 C 的离心率为 （A） 3 （B） 5 （C） 6 （D） 7 （12）已知函数 1, 1,( ) 2 2, 1,x x xf x x       1( )g x x  ，若对任意  , ( 0)x m m   ，总存在两个  0 0,2x  ，使得 0( ) g( )f x x ，则实数 m 的取值范围是 （A） 1, （B）  0,1 （C） 1 ,2    （D） 10, 2      2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 第 II 卷 注意事项： 第 II 卷共 3 页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． （13）若复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 i) 3 iz   ，则 z  . （14）已知向量 (1, 1) a ， ( 2, )y b ，若 / /a b ，则 a b = . （15）若函数 3 22( ) (2 1) 43f x x a x ax    在区间  1, 3a a 内有极值，则实数 a 的取值范围 是_____. （16）一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 060 的方向航行30 n mile 后到海岛 B ，然后从 B 出发沿 南偏东 060 的方向航行 50 n mile 到达海岛 C . 如果下次航行此船沿南偏东 角的方 向，直接从 A 出发到达 C ，则 cos 的值为____________. 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）(本小题满分 12 分) 已知等比数列 na 的前 n 项和 3 ( )n nS c c   R . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 3log 1n nb S ( ) ，求数列 n na b 的前 n 项和 nT . （18）(本小题满分 12 分) 某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近 10 个月的利润 情况．根据所收集的数据得知，近 10 个月总投资养鱼场一千万元，获得的月利润频数 分布表如下： 月利润(单位: 千万元) -0.2 -0.1 0 0.1 0.3 频数 2 1 2 4 1 近 10 个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下： （Ⅰ）根据上述数据，分别计算近 10 个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润； （Ⅱ）公司计划用不超过 6 千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼场 的资金为 ( 0)x x  千万元，投资远洋捕捞队的资金为 ( 0)y y  千万元，且投资养鱼场 的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的 2 倍．试用调查数据，给出公司分配投资金额 的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大． 频率/组距 月利润（千万元）-0.4 0.5 0 0.2 0.4 0.6 1 1.5 -0.2 （19）(本小题满分 12 分) 如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是正方 形，平面 AED  平面 ABCD ， //EF DC ， 01 1, 302ED EF CD EAD     . （Ⅰ）求证： AE FC ； （Ⅱ）求点 D 到平面 BCF 的距离． （20）(本小题满分 12 分) 已知抛物线 E ： 2 4y x 的准线为 l ，焦点为 F ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求过点 ,O F ，且与 l 相切的圆的方程； （Ⅱ）过 F 的直线交抛物线 E 于 ,A B 两点， A 关于 x 轴的对称点为 A ，求证：直线 A B 过定点． （21）(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ( ln )f x x a x  ， ( ) ex xg x  ． （Ⅰ）若函数 ( )f x 的最小值为 1 e  ，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 0, 0a x  时，求证： 2( ) ( ) eg x f x  ． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题 号． （22）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy ，直线l 的参数方程是 + cos , sin . x m t y t      （t 是参数）．在以O 为极点，x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ： 4cos  ． （Ⅰ）当 1m   ， 0=30 时，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （Ⅱ）当 1m  时，若直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，设 (1,0)P ，且 1PA PB  ,求直 线 l 的倾斜角． （23）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数  ( ) 2 1 2f x x x t t     R ． （Ⅰ）当 3t  时, 解关于 x 的不等式 ( ) 1f x  ； （Ⅱ） ,x R 使得 ( ) 5f x   ，求 t 的取值范围． 2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文科数学参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分 细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的 解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． （1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）A （9）B （10）C （11）C （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． （13） 5 ； （14） 4 ； （15）  1, ； （16） 1 7 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． （17）本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求 解能力，满分 12 分． 解：（Ⅰ）∵ 3n nS c  , ∴ 1 1 2 2 1 3 3 23 , 6, 18a S c a S S a S S         ，············································3 分 ∵ na 是等比数列， ∴ 2 2 1 3a a a ，即 36 18(3 )c  ，··································································· 4 分 解得 1c   . ·························································································· 5 分 ∴ 2 1 1 2, 3aa q a    ， ∴ 12 3n na   .·························································································· 6 分 （Ⅱ）∵ 33 1, log (1 )n n n nS b S n     ， 12 3n n na b n   ，································· 7 分 ∴ 0 1 2 2 12 3 4 3 6 3 (2 2) 3 2 3n n nT n n             ， ①······························8 分 ∴ 1 2 3 13 2 3 4 3 6 3 (2 2) 3 2 3n n nT n n            ， ②·······························9 分 ①－②得， 1 2 3 1(1 3) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3n n nT n             ······································· 10 分 2(1 3 ) 2 31 3 n nn   (1 2 ) 3 1nn    .············································································ 11 分 ∴ 1 1( ) 32 2 n nT n    .················································································12 分 （18）本题主要考查不等式、统计基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分 12 分． 解：（Ⅰ）近 10 个月养鱼场的月平均利润为 0.2 2 0.1 1 0 2 0.1 4 0.3 1 0.0210            （千万元）.……………………….. 3 分 近 10 个月远洋捕捞队的月平均利润为 0.3 0.2 0.5 0.2 0.1 1 0.1 0.2 1 0.3 0.2 1.5 0.5 0.2 1 0 .16                （千万元）. ············································································································· 6 分 （Ⅱ）依题意得 ,x y 满足的条件为 0 0 ,6 2 x y x y x y        ………………………………………..8 分 设两个项目的利润之和为 z ，则 0.02 0.16z x y  ，…………….………………….9 分 如图所示，作直线 0 :0.02 0.16 0l x y  ，平移直线 0l 知其过点 A 时， z 取最大值, ············································································································· 10 分 由 6,2 x y x y     得 4 ,2 x y    所以 A 的坐标为 (4,2) ，……………………………………..11 分 此时 z 的最大值为 0.02 4 0.16 2 0.4    （千万元）， 所以公司投资养鱼场 4 千万元，远洋捕捞队 2 千万元时，两个项目的月平均利润之和最大． ………………………………………………………………………………………………..12 分 （19）本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想 象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分 12 分． 解法一：（Ⅰ） 四边形 ABCD 是正方形， CD AD  , 又 ADE ABCD平面 平面 , ADE ABCD AD 平面 平面 , CD ABCD 平面 ， CD ADE  平面 ，···················································································2 分 又 AE ADE 平面 ， CD AE  ，···························································································3 分  在 ADE 中， 2 1 30AD DE EAD    ， ， ， 由余弦定理得， 3AE  ， 2 2AE DE AD 2+ , AE ED  .······························ 4 分 又CD ED D = , AE EFCD  平面 .·················································································· 5 分 又 FC EFCD 平面 AE FC  . ···························································································6 分 （Ⅱ）连结 DF ,由（Ⅰ）可知， AE CDEF 平面 ， 四边形 ABCD 是正方形 //AB DC 又 DC CDEF 面 ， AB CDEF 面 //AB CDEF 面 A 到 CDEF面 的距离等于 B 到 CDEF面 的距离. 即 B 到面 DFC 的距离为 AE. ············································································································· 7 分 在直角梯形 EFCD 中， =1EF ， DE=1， DC=2 , C= 2F , ·····························································································8 分 1 12CDFS DC DE     , 1 3 3 3B CDF CDFV S AE    ····································· 9 分 在直角梯形 EFBA 中， =1EF ， AE= 3， AB=2， 可得 BF=2，在等腰 BFC 中， 2BC BF  ， 2FC  1 14 722 2 2BFCS     , ····································································· 10 分 设点 D 到平面 BFC 的距离为 d,  D BCF B CDFV V  ，即 1 3 3 3D BCF BFCV S d    ， 3 2 21= 7BFC d S   点 D 到平面 BCF 的距离为 2 21 7 ．···························································· 12 分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）过点 E 做 ,EH AD AD H 交 于点 连结 FD . 平面ADE 平面ABCD , 平面ADE 平面ABCD=AD , EH ADE 平面  EH ABCD 平面 , 在 Rt AED 中， 3= 2EH ，···········································7 分 又 //EF DC , DC CD 面AB ， EF CD 面A B //EF ABCD 面 E 到面 ABCD 的距离等于 F 到面 ABCD 的距离················································· 8 分 1 1 3 323 3 2 3F BCD BCDV S EH        ． 9 分 在直角梯形 EFBA 中， =1EF ， AE= 3， DC=2 , AB=2 ,可得 =2BF ， 1 14 722 2 2BFCS     ········································································ 10 分 设 D 点到平面 BFC 的距离为 d, ,D BCF F BCDV V  即 1 3 BCFS d  = 3 3 3 2 21= 7BFC d S   ， 点 D 到平面 BCF 的距离 2 21 7 ．······························································· 12 分 （20）本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算 求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分 12 分． 解法一：（Ⅰ）抛物线 E ： 2 4y x 的准线 l 的方程为: 1x   ，焦点坐标为 F(1,0), 1 分 设所求圆的圆心 ( , )C a b ，半径为 r ， ∵圆 C 过 O, F，∴ 1 2a  ，·········································································2 分 ∵圆 C 与直线 l : 1x   相切，∴ 1 3( 1)2 2r     .············································ 3 分 由 2 21 3 2 2r CO b       ，得 2b   .······················································4 分 过 O, F，且与直线 l 相切的圆的方程为 1 9+ 2 =2 4x y 2 2（ - ） （ ） .························5 分 （Ⅱ）依题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 方程为 y ( 1)k x  ， 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 1 2x x（ ）, 1 1( , )A x y  , ·················································6 分 联立 2 ( 1) 4 y k x y x     ， 消去 y 得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ．·································7 分 2 1 2 1 22 2 4+ = , 1kx x x xk    .········································································ 8 分 ∵直线 BA 的方程为 2 1 2 2 2 1 ( )y yy y x xx x    ，················································· 9 分 令 0y  ， 得 2 1 1 2 1 2 x y x yx y y   ·······················································································10 分 2 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x k x x k x k x k x       1 2 1 2 1 2 2 ( ) 12 ( ) x x x x x x       .········································································ 11 分 直线 BA 过定点  1, 0 . ··········································································· 12 分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）直线 BA 过定点 M  1, 0 .································································· 6 分 证明:依题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 方程为 y ( 1)k x  ， 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 1 2x x（ ）, 1 1( , )A x y  ,·················································· 7 分 联立 2 y ( 1) y 4 k x x     ， 消去 y 得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ····································8 分 2 1 2 1 22 2 4+ = , 1kx x x xk    .········································································ 9 分 1 2 1 21 1A M BM y yk k x x        2 1 1 2 1 2 1 2 + + 1 1 x y x y y y x x     ············································· 10 分 2 1 1 2 1 2+ +x y x y y y = 1 2 2 1( 1) + ( 1)k x x k x x  + 1 2k( + 2)x x  = 1 22 2kx x k = 2 1 2 =0k k  .················································11 分 =0A M BMk k  ，即 =A M BMk k , A B M、 、 三点共线， 直线 BA 过定点  1, 0 . ········································································ 12 分 解法三:（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）设直线 AB 的方程: 1x my  ， 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,则 1 1( , )A x y  .·········· 6 分 由 2 1 4 x my y x     得 2 4 4 0y my   ····························································· 7 分 1 2 1 2+ =4 , 4y y m y y    .············································································8 分 ∵ 2 1 2 1 2 2 2 12 1 2 1 4 4 4 BA y y y yk y yx x y y      ， ∴直线 BA 的方程为 2 2 2 1 4 ( )y y x xy y    .···················································9 分 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 ( )+ 44 = + 44 4 4 y x x yy y xx yy y y y y y y xxy y y y xy y y y             2 1 4 ( 1)xy y   .···················································································11 分 直线 BA 过定点  1, 0 .··········································································12 分 （21）本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力； 考查化归与转化思想、函数与方程的思想、数形结合思想．满分 14 分． 解：（Ⅰ） ( ) 1 ln ( 0)f x a x x     ，·····························································1 分 由 ( ) 0f x  ，得 1e ax   ，由 ( ) 0f x  ，得 10 e ax    ， ∴ ( )f x 在 1(0,e )a  递减，在 1(e )a    递增. ··················································3 分 ∴ 1 1 1 1 min 1( ) (e ) e ( lne ) e e a a a af x f a              .·········································4 分 ∴ 0a  .································································································· 5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1ln ex x   ， ∴当 0, 0a x  时， 1( ) ( ln ) ln ln ef x x a x ax x x x x       ，即 1( ) ef x   .······· 7 分 ∵ ( ) ex xg x  ， 1( ) ( 0)ex xg x x   ，······························································ 8 分 由 ( ) 0g x  ，得 0 1x  ，由 ( ) 0g x  ，得 1x  ， ∴ ( )g x 在 (0,1) 递增，在 (1, ) 递减. ··························································· 9 分 ∴ 1( ) (1) eg x g  ，····················································································10 分 ∴   1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) e e eg x f x g x f x       ，即 2( ) ( ) eg x f x  .··························· 12 分 （22）选修 4 4 ；坐标系与参数方程 本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 解：（Ⅰ）由 4cos  ，得 2 4 cos   ，又 cosx   ， siny   ， 得曲线 C 的普通方程为 2 2( 2) 4x y   ，…………………………… 2 分 所以曲线 C 是以 (2, 0)M 为圆心，2 为半径的圆. 由直线l 的参数方程为 31 ,2 1 ,2 x t y t       （t 为参数）， 得直线l 的直角坐标方程为 3 1 0x y   ． …………………………4 分 由圆心 M 到直线 l 的距离 | 2 0 1| 3 221 3 d      ， 故直线 l 与曲线 C 相交. ……………………………………………………5 分 （Ⅱ）直线 l 为经过点 (1, 0)P 倾斜角为 的直线， 由 1 cos sin x t y t       代入 2 2( 2) 4x y   ，整理得 2 2 cos 3 0t t    ，………………………………………………………6 分 2(2cos ) 12 0    ， 设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 2cost t   ， 1 2 3 0t t    ， 所以 1 2,t t 异号， …………………………………………………………7 分 则 1 2|| | | || | | | 2cos | 1PA PB t t      ，…………………………………8 分 所以 1cos 2    又  0,  ……………………………………………9 分 所以直线 l 的倾斜角 3   或 2 3  . …………………………………10 分 （23）选修 4 5 ：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考 查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 解（Ⅰ）原不等式可化为 3,2 2 1 2 3 1 x x x        或 1 3 2 2 2 1 2 3 1 x x x         ， 或 1 2 2 1 2 3 1. x x x         ， .....３分 解 得 x 或 1 3 2 4x   或 1 2x   ．. ....................................................4 分 综 上 ， 原 不 等 式 的 解 集 是 3 4x x     .........................................................5 分 （Ⅱ）解： ,x  R 使 ( ) 5f x   ，等价于 min ( ) 5f x   ...................................6 分    ( ) 2 1 2 2 1 2 = 1+f x x x t x x t t        ..................................... ...7 分 1+ ( ) 1+t f x t   ， 所 以 ( )f x 取 得 最 小 值 1+t ............................................................................ .....8 分 1+ 5t   ， 得 4t  或 6,t    t 的 取 值 范 围 是    6 4 ,   ， ..............................................................10 分