高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.3 函数的最大(小)值与导数 12页

1.3.3 函数的最大(小)值与导数 明目标、知重点 1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会求某闭区间上函数的最值． 1．函数 f(x)在闭区间 a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间 a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在 a，b]上一定能够取得 最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得． 2．求函数 y＝f(x)在 a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值． 3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I 上只有一 个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值． 4．极值与最值的意义： (1)最值是在区间 a，b]上的函数值相比较最大(小)的值； (2)极值是在区间 a，b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值． 情境导学] 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们 往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？ 这就是本节我们要研究的问题． 探究点一 求函数的最值 思考 1 如图，观察区间 a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值； f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值． 思考 2 观察思考 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区间 a，b]上的最大值、最小值吗？ 若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 答 函数 y＝f(x)在区间 a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)．若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值． 小结 一般地，如果在区间 a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得． 思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点 附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得， 最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最 值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值． 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1．求导，确定函数在闭区间上的极值点． 2．求出函数的各个极值和端点处的函数值． 3．比较大小，确定结论． 例 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈－2,3]； (2)f(x)＝1 2 x＋sin x，x∈0,2π]． 解 (1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)，单调递减区间为(－ 2， 2)． 因为 f(－2)＝8，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2， f(－ 2)＝8 2； 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. (2)f′(x)＝1 2 ＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈0,2π]， 解得 x＝2 3 π或 x＝4 3 π. 计算得 f(0)＝0，f(2π)＝π，f(2 3 π)＝π 3 ＋ 3 2 ， f(4 3 π)＝2 3 π－ 3 2 . ∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0； 当 x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π. 反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化 的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间 a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝1 3 x3－4x＋4，x∈0,3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈2,5]． 解 (1)∵f(x)＝1 3 x3－4x＋4， ∴f′(x)＝x2－4. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2. ∵f(2)＝－4 3 ，f(0)＝4，f(3)＝1， ∴函数 f(x)在 0,3]上的最大值为 4，最小值为－4 3 . (2)∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在区间 2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0， 即函数 f(x)在区间 2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5. 探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)求 f(x)在区间 0,2]上的最大值． 解 (1)f′(x)＝3x2－2ax. 因为 f′(1)＝3－2a＝3， 所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0. (2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a 3 . 当2a 3 ≤0，即 a≤0 时，f(x)在 0,2]上单调递增， 从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. 当2a 3 ≥2，即 a≥3 时，f(x)在 0,2]上单调递减， 从而 f(x)max＝f(0)＝0. 当 0<2a 3 <2，即 02. 反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值 的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练 2 在本例中，区间 0,2]改为－1,0]结果如何？ 解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2 3 a， ①当 2 3 a≥0，即 a≥0 时，f(x)在－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0； ②当 2 3 a≤－1，即 a≤－3 2 时，f(x)在－1,0]上单调递减， 从而 f(x)max＝f(－1)＝－1－a； ③当－1<2 3 a<0，即－3 2 0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可． 如 f(x)<0 恒成立，只要 f(x)的最大值小于 0 即可． 以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先 分离参数． 例 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的 x∈0,3]，都有 f(x)0；当 x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)>0. ∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c. 又 f(3)＝9＋8c>f(1)， ∴x∈0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的 x∈0,3]，有 f(x)9. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知 f(x)1. 故实数 m 的取值范围是(1，＋∞) 1．函数 y＝f(x)在 a，b]上( ) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 答案 D 解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在 a，b]上的最大值一定大于极小值． 2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案 D 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1) 上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D. 3．函数 y＝x－sin x，x∈ π 2 ，π 的最大值是( ) A．π－1 B.π 2 －1 C．π D．π＋1 答案 C 解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈ π 2 ，π 时，y′>0，则函数在区间 π 2 ，π 上为增函数， 所以 y 的最大值为 ymax＝π－sin π＝π，故选 C. 4．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间－4,4]上的最大值为 10，则其最小值为________． 答案 －71 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71. 呈重点、现规律] 1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只 有一个极值，这个极值就是最值． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 一、基础过关 1．函数 f(x)＝－x2＋4x＋7，在 x∈3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， ∴当 x∈3,5]时，f′(x)<0， 故 f(x)在 3,5]上单调递减， 故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5)． 2．函数 y＝xe－x，x∈0,4]的最大值是( ) A．0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 答案 B 解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)， 令 y′＝0，∴x＝1， ∴f(0)＝0，f(4)＝4 e4，f(1)＝e－1＝1 e ，∴f(1)为最大值，故选 B. 3．函数 y＝ln x x 的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D.10 3 答案 A 解析 令 y′＝ln x′x－ln x·x′ x2 ＝1－ln x x2 ＝0. 解得 x＝e.当 x>e 时，y′<0；当 x0. y 极大值＝f(e)＝1 e ，在定义域内只有一个极值， 所以 ymax＝1 e . 4．函数 y＝ 4x x2＋1 在定义域内( ) A．有最大值 2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2 C．有最大值 2，最小值－2 D．无最值 答案 C 解析 令 y′＝4x2＋1－4x·2x x2＋12 ＝－4x2＋4 x2＋12 ＝0， 得 x＝±1. x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y′ － 0 ＋ 0 － y 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知 x＝－1 时，y 取极小值也是最小值－2；x＝1 时，y 取极大值也是最大值 2. 5．已知函数 y＝－x2－2x＋3 在区间 a,2]上的最大值为15 4 ，则 a 等于( ) A．－3 2 B.1 2 C．－1 2 D.1 2 或－3 2 答案 C 解析 当 a≤－1 时，最大值为 4，不符合题意，当－10)． y′＝2t－1 t ＝2t2－1 t ＝ 2t＋ 2 2 t－ 2 2  t . 当 0 2 2 时，y′>0，可知 y 在此区间内单调递增． 故当 t＝ 2 2 时，|MN|有最小值． 9．已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2] 解析 函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，即方程 ex－2x＋a＝0 有实根，即函数 g(x)＝2x－ex，y ＝a 有交点，而 g′(x)＝2－ex，易知函数 g(x)＝2x－ex 在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2， ＋∞)上单调递减，因而 g(x)＝2x－ex 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数 g(x)＝2x －ex，y＝a 有交点，只需 a≤2ln 2－2 即可． 10．已知函数 f(x)＝2x3－6x2＋a 在－2,2]上有最小值－37，求 a 的值及 f(x)在－2,2]上的最 大值． 解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 f(x) －40＋a 单调递增 极大值 a 单调递减 －8＋a ∴当 x＝－2 时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得 a＝3. 当 x＝0 时，f(x)的最大值为 3. 11．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，试求 a，b 的值； (2)在(1)的条件下，当 x∈－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求 c 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根． ∴ －1＋3＝2 3 a －1×3＝b 3 ，∴ a＝3 b＝－9 . (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表： x (－∞，－ 1) －1 (－ 1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 c＋5 单调 递减 极小值 c －27 单调递增 而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， ∴当 x∈－2,6]时，f(x)的最大值为 c＋54， 要使 f(x)<2|c|恒成立，只要 c＋54<2|c|即可， 当 c≥0 时，c＋54<2c，∴c>54； 当 c<0 时，c＋54<－2c，∴c<－18. ∴参数 c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)． 12．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)＜0，解得 x＜－1 或 x＞3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， ∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0， ∴f(x)在－1,2]上单调递增． 又由于 f(x)在－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即 f(x)最小值为－7. 三、探究与拓展 13．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2. (1)求 a，b，c，d 的值； (2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围． 解 (1)因为曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)， 所以 b＝d＝2； 因为 f′(x)＝2x＋a，故 f′(0)＝a＝4；g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， 故 g′(0)＝2＋c＝4，故 c＝2. 从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)令 F(x)＝kg(x)－f(x)＝kex(2x＋2)－x2－4x－2， 则 F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)， 由题设可得 F(0)≥0，故 k≥1， 令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2， ①若 1≤k0， 即 F(x)在－2，＋∞)上最小值为 F(x1)＝2x1＋2－x2 1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时 f(x)≤kg(x) 恒成立； ②若 k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)≥0 在－2，＋∞)上恒成立， 故 F(x)在－2，＋∞)上单调递增， 因为 F(x)min＝F(－2)＝0，所以 f(x)≤kg(x)恒成立； ③若 k>e2，则 F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0， 从而当 x∈－2，＋∞)时， f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上所述 k 的取值范围为 1，e2]．