广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题3理（高补班）含解析 10页

- 1 - 广东省廉江市实验学校 2020 届高三数学上学期周测试题（3）理（高 补班） 考试时间：120 分钟（2019.9.10） 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 }24|{},1)3(log|{ 2  xxBxxA ，则 BA ( ) A. }23|{  xx B. }14|{  xx C. }1|{ xx D. }4|{ xx 2.已知复数 z满足 i z i    1 2 1 ，则在复平面内 z对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.曲线    ln 2 1f x x x   在点  1, 1 处的切线方程是（ ） A. 2 0x y   B. 2 0x y   C. 2 0x y   D. 2 0x y   4.已知函数 22)( xxf x  ，设 ) 3 1(log2fm  ， )7( 1.0 fn ， )25(log4fp  ，则m，n， p的大小关系为( ) A. npm  B. mnp  C. nmp  D. mpn  5.已知函数   sin[( 1) ], 0 2 , 0x x x f x x      ，则 1 2 log 4f f          （ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 2 2 D． 2 2  6.函数 2sin( 2 ) 3 y x   ( [0, ])x  为增函数的区间是（ ） A． 5 [0, ] 12  B．[0, ] 2  C． 5 11[ , ] 12 12   D． 11[ , ] 12   7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A. 22 1xy x   B． 2 siny x x C． ln xy x  D．  2 2 xy x x e  8.已知函数   2 21 log 2 xf x x    ，若  f a b ，则  4f a  （ ） - 2 - A．b B． 2 b C． b D． 4 b 9.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明 清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构 架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之 间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”） 的三视图，则它的体积为（ ） A． 3 97 B． 3 85 C．53 D． 3 73 10. 如图，在△ABC 中， , 2 3 BAC AD DB      ， P为 CD上一点，且满足 1 2 AP mAC AB     ，若△ABC 的面积为 2 3，则 AP  的 最小值为（ ） A． 2 B．3 C． 3 D． 4 3 11.已知椭圆C： 2 2 2 2 1x y a b    0a b  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，M 为椭圆上异于长 轴端点的一点， 1 2MFF 的内心为 I ，直线MI交 x轴于点E，若 2 MI IE  ，则椭圆C的离心 率是（ ） A． 2 2 B． 1 2 C． 3 2 D． 1 3 12. 在一个圆锥内有一个半径为 R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切， 若该圆锥体积的最小值为 9 2  ，则 R （ ） A．1 B． 2 3 C．2 D． 3 二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．） 13.已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，且 2 1n nS a  ，则数列 1 na       的前 6 项和 - 3 - 为 . 14.从 4 名男生和 3名女生中选出 4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加， 女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 . 15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空 白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以 小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一 为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即                 2222 22 24 1 bacacS ．已 知△ ABC满足 )sin(sin)sin(sin BABA  CCA 2sinsinsin  ，且 222  BCAB ，则用以上 给出的公式可求得△ ABC的面积为 ． 16.已知在关于 x的不等式 )10)(136(log)4(log 2  aaxx aa 的解集中，有且只有两个 整数解，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分） （一）必考题：共 60 分． 17.已知数列 }{ na 与 }{ nb 满足 )(2321  Nnbaaaa nn ，且 }{ na 为正项等比数列， 21 a ， 423  bb ． ⑴求数列 }{ na 与 }{ nb 的通项公式； ⑵若数列 }{ nc 满足 )( 1    Nn bb ac nn n n ， nT 为数列 }{ nc 的前 n项和，证明： 1nT ． 非常满意 满意 合计 A 30 15 B x y - 4 - 18. 由中央电视台综合频道（ 1CCTV  ）和唯众传媒联合 制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由 一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论 和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众 的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 A、B两个地区的 100 名观众， 得到如下的 2 2 列联表，已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众是 B地区当中 非常满意的观众的概率为 0.35. ⑴现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取“非常满意” 的 A、 B地区的人数各是多少； ⑵完成下列表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有 关系； ⑶若以抽样调查的频率为概率，从 A地区随机抽取 3 人，设抽到的观众“非常满意”的 人数为 X ，求 X 的分布列和期望. 附：参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       . 19．（12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中， / /AB CD，AB AD ，平面 ABCD 平面PAD， E是 PB的中点， F 是DC上一点，G是PC上一点，且 PD AD ， 2 6AB DF  ． （1）求证：平面 EFG 平面 PAB； （2）若 4PA  ， 3PD  ，求直线 PB与平面 ABCD所成角的正弦值． 20.已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率为 2 1 ，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，椭圆C上 短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 3． ⑴求椭圆C的方程； ⑵过 1F 作垂直于 x轴的直线 l交椭圆C于 A，B两点（点 A在第二象限），M ，N 是椭 合计 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 - 5 - 圆上位于直线 l两侧的动点，若 NABMAB  ，求证：直线MN的斜率为定值． 21.已知函数   2xf x e ax  ，且曲线  y f x 在点 1x  处的切线与直线  2 0x e y   垂直. ⑴求函数  f x 的单调区间； ⑵求证： 0x  时，  1 ln 1xe ex x x    . （二）选考题：共 10 分．请在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题 计分． 22.在直角坐标系 xOy中，曲线 1C ： 5 cos 2 5 sin x y        （ 为参数）.以原点O为极点， x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C ： 2 4 cos 3    . ⑴求 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； ⑵若曲线 1C 与 2C 交于 A，B两点，A，B的中点为M ，点  0, 1P  ，求 PM AB 的 值. 23.已知函数 ( ) 2 4 1f x x x    . ⑴解不等式 ( ) 9f x  ； ⑵若不等式 ( ) 2f x x a  的解集为  2, | 3 0A B x x x   ，且满足 B A ，求实数 a的取值 范围. - 6 - 周测（三）参考答案 1~12 BDDC DCDB BCBD 13. 32 63 14.23 15. 3 16. ) 13 12, 13 9[ 17.(1) nn baaaa 2321   ① 时当 2 n 11321 2   nn baaaa  ② 1 -②可得 )2)((2 1   nbba nnn ， 8)(2 233  bba . 0,21  naa ,设 }{ na 的公 比为 q , 2,82 1  qqa , n n n a 222 1   2222222 1321  nn nb  , 12  n nb (2) 由已知得 12 1 12 1 )12)(12( 2 11 1         nnnn n nn n n bb ac 1 12 11 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 11322121                                nnnnn cccT  18.（1）由题意，得 0.35 100 x  ，所以 35x  ，A地抽取 2030 6 100   ，B地抽取 2035 7 100   . （2） 2 2 100(30 20 35 15) 100 0.1 3.841 65 35 45 55 1001 K           ， 所以没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. （3）从 A地区随机抽取 1人，抽到的观众“非常满意”的概率为 2 3 P  ， 非常满意 满意 合计 A 30 15 45 B 35 20 55 合计 65 35 100 - 7 - 随机抽取 3 人， X 的可能取值为 0，1，2，3， 31 1( 0) 3 27 P X        ， 2 1 3 2 1 6 2( 1) 3 3 27 9 P X C            ， 2 2 3 2 1 12 4( 2) 3 3 27 9 P X C               ， 32 8( 3) 3 27 P X        ， X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 2EX  . 19.（1）证明：如图，取 PA的中点M ，连接MD，ME，则ME AB∥ ， 1 2 ME AB ， 又 / /DF AB， 1 2 DF AB ，所以 / /ME DF ，ME DF ， 所以四边形MDFE是平行四边形，所以 / /EF MD，因为 PD AD ，所以MD PA ， 因为平面 ABCD 平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD AD ， AB AD ，所以 AB 平 面PAD，因为MD 平面 PAD，所以MD AB ， 因为 PA AB A ，所以MD 平面 PAB，所以 EF 平面 PAB， 又EF 平面 EFG，所以平面EFG 平面 PAB． （2）过点 P作 PH AD 于点H ，则 PH 平面 ABCD，以H 为坐标原点，HA所在直线 为 x轴，过点H 且平行于 AB的直线为 y 轴， PH 所在直线为 z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系H xyz ，在等腰三角形 PAD中， 3PD AD  ， 4PA  ， 因为 PH AD MD PA   ，所以 2 23 4 3 2PH    ，解得 4 5 3 PH  ， - 8 - 则 8 3 AH  ，所以 4 5(0,0, ) 3 P ， 8( ,6,0) 3 B ，所以 8 4 5( ,6, ) 3 3 PB    ， 易知平面 ABCD的一个法向量为 (0,0,1)n ， 所以 2 65cos , 39| || | PBPB PB        nn n ， 所以直线 PB与平面 ABCD所成角的正弦值为 2 65 39 ． 20. (1)由题意可得 3,2  bcca 又 222 cba  ,可得 1,3,2  cba 所以椭圆C的方程为 1 34 22  yx (2)由(1)可得直线 1: xl , ) 2 3,1(A .由题意知直线MN的斜率存在,故设直线MN的 方程为 mkxy  ,代入椭圆方程,消 y可得 01248)43( 222  mkmxxk , 则 )34(48 22  mk , 34 124, 34 8 2 2 21221      k mxx k kmxx .设 ),(),,( 2211 yxNyxM 0 ANAM kkNABMAB . 0 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1        x y x y ,即 0)1)( 2 3()1)( 2 3( 1221  xmkxxmkx , 032 34 8) 2 3( 34 )124(232))( 2 3(2 22 2 2121       m k kmkm k mkmxxkmxkx 化简可得 0)322)(12(  kmk , 2 1 k 或 0322  km 当 0322  km 时,直线MN的方程为 2 3)1(  xky ,经过点 ) 2 3,1(A ,不满足题意, 则 2 1 k ， 故直线MN的斜率为定值 2 1  21.（1）由   2xf x e ax  ，得  ' 2xf x e ax  .因为曲线  y f x 在点 1x  处的切线与 - 9 - 直线  2 0x e y   垂直，所以  ' 1 2 2f e a e    ，所以 1a  ，即   2xf x e x  ，  ' 2xf x e x  . 令   2xg x e x  ，则  ' 2xg x e  .所以  , ln 2x  时，  ' 0g x  ，  g x 单调递减；  ln 2,x  时，  ' 0g x  ，  g x 单调递增.所以    min ln 2 2 2ln 2 0g x g    ，所 以  ' 0f x  ，  f x 单调递增.即  f x 的单调增区间为  ,  ，无减区间 （2）由（1）知   2xf x e x  ，  1 1f e  ，所以  y f x 在 1x  处的切线为     1 2 1y e e x     ， 即  2 1y e x   .令    2 2 1xh x e x e x     ，则      ' 2 2 2 1x xh x e x e e e x        ， 且  ' 1 0h  ，  '' 2xh x e  ，  , ln 2x  时，  '' 0h x  ，  'h x 单调递减；  ln 2,x  时，  '' 0h x  ，  'h x 单调递增.因为  ' 1 0h  ，所以    min ' ' ln 2 4 2ln 2 0h x h e     ， 因为  ' 0 3 0h e   ，所以存在  0 0,1x  ，使  00,x x 时，  ' 0h x  ，  h x 单调递增；  0 ,1x x 时，  ' 0h x  ，  h x 单调递减；  1,x  时，  ' 0h x  ，  h x 单调递增. 又    0 1 0h h  ，所以 0x  时，   0h x  ，即  2 2 1 0xe x e x     ， 所以   22 1xe e x x    . 令   lnx x x   ，则   1 1' 1 xx x x      .所以  0,1x 时，  ' 0x  ，  x 单调递增；  1,x  时，  ' 0x  ，  x 单调递减，所以    1 1x    ，即 ln 1x x  ， 因为 0x  ，所以   2ln 1x x x  ，所以 0x  时，    2 1 ln 1xe e x x x     ， 即 0x  时，  1 ln 1xe ex x x    . 22.（1）曲线 1C 的普通方程为  22 2 5x y   . 由 2 2 2x y   ， cos x   ，得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 3 0x y x    . （2）将两圆的方程  22 2 5x y   与 2 2 4 3 0x y x    作差得直线 AB的方程为 - 10 - 1 0x y   . 点  0, 1P  在直线 AB上，设直线 AB的参数方程为 2 2 21 2 x t y t        （ t为参数）， 代入 2 2 4 3 0x y x    化简得 2 3 2 4 0t t   ，所以 1 2 3 2t t  ， 1 2 4t t  . 因为点M 对应的参数为 1 2 3 2 2 2 t t  ， 所以  21 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 t tPM AB t t t t t t         3 2 18 4 4 3 2      . 23.(1)   9f x  可化为 2 4 1 9x x    ,即 >2, 3 3 9 x x     或 1 2, 5 9 x x       或 < 1, 3 3 9, x x     解得 2< 4x  或 1 2x   或 2 < 1x   ;不等式的解集为 2,4 . (2)易知  0,3B  ; 所以 B A ，所以 2 4 1 <2x x x a    在  0,3x 恒成立; 2 4 < 1x x a    在  0,3x 恒成立； 1<2 4< 1x a x x a      在  0,3x 恒成立；     > 3 0,3 0 5 > 3 5 0,3 5 a x x a a a x x a             在 恒成立 在 恒成立 .