高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算 7页

3.1.2 空间向量的数乘运算 课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的 意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用 它们证明空间向量的共线和共面的问题． 1．空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘：实数λ与空间向量 a 的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的 数乘运算．当λ>0 时，λa 与向量 a 方向________；当λ<0 时，λa 与向量 a 方向________； λa 的长度是 a 的长度的________倍． (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律． 分配律：______________；结合律：______________. 2．共线向量 (1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这 些向量叫做共线向量或平行向量． (2)对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是________________． (3) 方向向量：如图 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使____________，其中向量 a 叫做直线 l 的方 向向量． 3．共面向量 (1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量． (2)如果两个向量 a、b 不共线，那么向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在惟一的有 序实数对(x，y)，使__________．空间内一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序 实数对(x，y)，使______________． 对空间任意一点 O，点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 ________________． 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若 a∥b，则存在唯一的实数λ，使 a＝λb 2．满足下列条件，能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是( ) A. AB→＋BC→＝AC→ B. AB→－BC→＝AC→ C.AB→＝BC→ D.|AB→|＝|BC→| 3.如图，空间四边形 OABC 中，M、N 分别是 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG=2GN，则OG  =xOA→ ＋yOB  ＋zOC→ ，则( ) A．x＝1 3 ，y＝1 3 ，z＝1 3 B．x＝1 3 ，y＝1 3 ，z＝1 6 C．x＝1 6 ，y＝1 6 ，z＝1 3 D．x＝1 6 ，y＝1 3 ，z＝1 3 4．在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是( ) A. OM  ＝2OA→ －OB  －OC→ B. OM  ＝1 5OA→ ＋1 3OB  ＋1 2OC→ C. MA  ＋MB→ ＋MC→ ＝0 D. OM  ＋OA→ ＋OB  ＋OC→ ＝0 5.在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量 1D A  ，D1C→ ，A1C1 → 是( ) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 6．下列命题中是真命题的是( ) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向 量 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB→,CD→ ，满足|AB→|>|CD→ |，且AB→与CD→ 同向，则AB→>CD→ D.若两个非零向量AB→与CD→ 满足AB→＋CD→ ＝0，则AB→∥CD→ 二、填空题 7.在空间四边形 ABCD 中，连结 AC、BD,若△BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则AB→＋1 2BC→ －3 2DE→ －AD→ 的化简结果为________． 8.在正四面体 O－ABC 中，OA→ ＝a，OB  ＝b，OC→ ＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点， 则OE→ ＝______________(用 a，b，c 表示)． 9.已知 P 和不共线三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点 O，都有OP  ＝2OA→ ＝2OA→ ＋ OB  ＋λOC→ ，则λ＝________. 三、解答题 10．已知 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简1 2AA′→ ＋BC→＋2 3AB→； (2)设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BC C′ B′对角线 B C′上的 3 4 分点，设 MN  ＝ αAB→＋βAD→ ＋γAA′→ ，试求α，β，γ的值． 11．设 A，B，C 及 A1，B1，C1 分别是异面直线 l1，l2 上的三点，而 M，N，P，Q 分别是 线段 AA1，BA1，BB1，CC1 的中点．求证：M，N，P，Q 四点共面． 能力提升 12.如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 1 1A B  ＝a， A1D1 → ＝b，A1A→ ＝c，则下列向量中与B1M→ 相等的向量是( ) A．－1 2a＋1 2b＋c B.1 2a＋1 2b＋c C.1 2a－1 2b＋c D．－1 2a－1 2b＋c 13.如图所示，已知点 O 是平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点 P 是空间任意 一点.试探求 PA  ＋PB→＋PC→＋PD→ ＋PA1 → ＋PB1 → ＋PC1 → ＋PD1 → 与PO→ 的关系． 1．向量共线的充要条件及其应用 (1)利用向量共线判定 a，b 所在的直线平行． (2)利用向量共线可以证明三点共线． 2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面． 3．1.2 空间向量的数乘运算 知识梳理 1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a 2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使 a＝λb (3) OP→ ＝OA→ ＋ta 3．(1)同一个平面 (2)p＝xa＋yb AP→＝xAB→＋yAC→ OP→ ＝OA→ ＋xAB→＋yAC→ 作业设计 1．C [A 中，若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面 的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若 b＝0，a≠0，则不存 在λ.] 2．C [由AB→＝ BC 知AB→与BC→共线，又因有一共同的点 B，故 A、B、C 三点共线．] 3．D [∵OG→ ＝OM→ ＋MG→ ＝1 2OA→ ＋MG→ ，① OG→ ＝OC→ ＋CN→ ＋NG→ ，② OG→ ＝OB→ ＋BN→＋NG→ ，③ 又BN→＝－CN→ ，MG→ ＝－2NG→ ， ∴①＋②＋③，得 3OG→ ＝1 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ， 即 x＝1 6 ，y＝1 3 ，z＝1 3.] 4．C [∵MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，∴MA→ ＝－MB→ －MC→ . ∴M 与 A、B、C 必共面．只有选项 C 符合．] 5．C [ 如图所示，因为D1C→ －D1A→ ＝AC→，而AC→＝A1C 1 → ， ∴D1C→ －D1A→ ＝A1C 1 → ， 即D1C→ ＝D1A→ ＋A1C 1 → ， 而D1A→ 与A1C 1 → 不共线，所以D1C→ ，D1A→ ，A1C 1 → 三向量共面．] 6．D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关． C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB→>CD→ 这种写法． D 对．∵AB→＋CD→ ＝0，∴AB→＝－CD→ ，∴AB→与CD→ 共线，故AB→∥CD→ 正确．] 7．0 解析 如图，取 BC 的中点 F，连结 DF，则DF→ ＝3 2DE→ ， ∴AB→＋1 2BC→－3 2DE→ －AD→ ＝AB→＋BF→－DF→ ＋DA→ ＝AF→＋FD→ ＋DA→ ＝0. 8.1 2a＋1 4b＋1 4c 解析 如图，OE→ ＝1 2(OA→ ＋OD→ ) ＝1 2OA→ ＋1 2×1 2(OB→ ＋OC→ ) ＝1 2a＋1 4b＋1 4c. 9．－2 解析 P 与不共线三点 A，B，C 共面， 且OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ＋zOC→ (x，y，z∈R)， 则 x＋y＋z＝1 是四点共面的充要条件． 10．解 (1)方法一 取 AA′的中点为 E， 则1 2AA'→ ＝EA'→ . 又BC→＝A'D'→ ，AB→＝D'C'→ ，取 F 为 D′C′的一个三等分点 (D′F＝2 3D′C′)， 则D'F→ ＝2 3AB→. ∴1 2AA'→ ＋BC→＋2 3AB→ ＝EA'→ ＋A'D'→ ＋D'F→ ＝EF→. 方法二 取 AB 的三等分点 P 使得PB→＝2 3AB→， 取 CC′的中点 Q，则1 2AA'→ ＋BC→＋2 3AB→ ＝1 2CC'→ ＋BC→＋2 3AB→＝CQ→ ＋BC→＋PB→ ＝PB→＋BC→＋CQ→ ＝PQ→ . (2)连结 BD，则 M 为 BD 的中点， MN→ ＝MB→ ＋BN→ ＝1 2DB→ ＋3 4BC'→ ＝1 2(DA→ ＋AB→)＋3 4(BC→＋CC'→ ) ＝1 2(－AD→ ＋AB→)＋3 4(AD→ ＋AA'→ ) ＝1 2AB→＋1 4AD→ ＋3 4AA'→ . ∴α＝1 2 ，β＝1 4 ，γ＝3 4. 11．证明 ∵NM→＝1 2BA→，NP→＝1 2A1B1 → ， ∴BA→＝2NM→，A1B1 → ＝2NP→. 又∵PQ→ ＝PB→＋BC→ ＋CQ→ ＝1 2 BB1→ ＋BC→ ＋1 2(CB1→ ＋B1C 1→ ) ＝1 2(B1C 1→ ＋CB→ )＋BC→ ＋1 2(CB1→ ＋B1C 1→ ) ＝1 2(BC→ ＋B1C 1→ )，① 又 A，B，C 及 A1，B1，C1 分别共线， ∴BC→ ＝λBA→＝2λNM→，B1C 1→ ＝ωA1B1 → ＝2ωNP→. 代入①式，得PQ→ ＝1 2(2λNM→＋2ωNP→) ＝λNM→＋ωNP→. ∴PQ→ ，NM→，NP→共面．∴M，N，P，Q 四点共面． 12．A [B1M→ ＝B1B→ ＋BM→ ＝A1A→ ＋1 2BD→ ＝c＋1 2(BA→＋BC→ )＝－1 2A1B1 → ＋1 2A1D1 → ＋c ＝－1 2a＋1 2b＋c.] 13．解 设 E、E1 分别是平行六面体的面 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心， 于是有PA→＋PB→＋PC→＋PD→ ＝(PA→＋PC→)＋(PB→＋PD→ ) ＝2PE→＋2PE→＝4PE→， 同理可证：PA1 → ＋PB1 → ＋PC1 → ＋PD1 → ＝4PE1 → ， 又因为平行六面体对角线的交点 O 是 EE1 的中点，所以PE→＋ PE1 ＝2PO→ ， 所以PA→＋PB→＋PC→＋PD→ ＋PA1 → ＋PB1 → ＋PC1 → ＋PD1 → ＝4PE→＋4PE1 → ＝4(PE→＋PE1 → )＝8PO→ .