高中数学第一章1-4生活中的优化问题举例练习新人教B版选修2-2 7页

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.4 生活中的优化问题举 例练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )． A. l 6 3π B. l 3 3π C. l 4 3π D.1 4 l 4 3π 2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )． A．2πr2 B．πr2 C．4πr D.1 2 πr2 3．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部 分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x＝________. 4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________． 5．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的 桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其 他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 6．如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折 起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是 多少？ 1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )． A. l 6 3π B. l 3 3π C. l 4 3π D.1 4 l 4 3π 解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r＋2h＝l， ∴h＝l－4r 2 ， V＝πr2h＝l 2 πr2－2πr3 00， ∴r＝l 6 是其唯一的极值点． ∴当 r＝l 6 时，V 取得最大值，最大值为 l 6 3π. 答案 A 2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )． A．2πr2 B．πr2 C．4πr D.1 2 πr2 解析 设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则由组合体的知识得 h2＋(2x)2＝(2r)2，又 圆柱的侧面积 S＝2πxh， ∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)， 令(S2)′＝0 得 x＝ 2 2 r(x＝0 舍去)， ∴Smax＝2πr2，故选 A. 答案 A 3．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元， 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)＝ － x3 900 ＋400x，0≤x≤390， 90 090，x>390， 则当总利润最大 时，每年生产产品的单位数是 ( )． A．150 B．200 C．250 D．300 解析 由题意得，总利润 P(x)＝ － x3 900 ＋300x－20 000，0≤x≤390， 70 090－100x，x>390， 令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D. 答案 D 4．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部 分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x＝________. 解析 可列出 V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出 x 的最大值． 答案 5－ 7 3 5．如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙 壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ________． 解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则长为512 x 米， 因此新墙壁总长度 L＝2x＋512 x (x>0)，则 L′＝2－512 x2 . 令 L′＝0，得 x＝±16. ∵x>0，∴x＝16. 当 x＝16 时，Lmin＝64，此时堆料场的长为512 16 ＝32(米)． 答案 32；16 6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴上 方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长． 解 设矩形边长 AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为 S＝2x(4－x2)(00；当 x> 2 3 时，S′<0， 所以当 x＝ 2 3 时，S 取得最大值，此时，S 最大值＝32 3 9 . 即矩形的边长分别为4 3 3 ，8 3 时，矩形的面积最大． 综合提高 限时 25 分钟 7．设底为正三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 ( )． A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D．2 3 V 解析 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 V＝1 2 x2·sin 60°·l，∴l＝ 4V 3x2 ， ∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ 3 2 x2＋4 3V x ， S′表＝ 3x－4 3V x2 .令 S′表＝0，∴x3＝4V，即 x＝ 3 4V.又当 x∈ 0， 3 4V 时，S′表<0； 当 x∈ 3 4V，V ，S′表>0， ∴当 x＝ 3 4V时，表面积最小． 答案 C 8．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积 之和的最小值是( )． A.3 2 3 cm2 B．4 cm2 C．3 2 cm2 D．2 3 cm2 解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个 正三角形的面积之和为 S＝ 3 4 x2＋ 3 4 (4－x)2＝ 3 2 [(x－2)2＋4]≥2 3(cm2)，故选 D. 答案 D 9．在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大． 解析 如图，设∠OBC＝θ，则 0<θ<π 2 ， OD＝rsin θ，BD＝rcos θ. ∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)＝r2cos θ＋r2sin θcos θ. 令 S′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0. ∴cos 2θ＝sin θ. ∴1－2sin2θ＝sin θ，解之 sin θ＝1 2 ，0<θ<π 2 . ∴θ＝π 6 ，即当θ＝π 6 时，△ABC 的面积最大，即高为 OA＋OD＝r＋r 2 ＝3r 2 时面积最大． 答案 3r 2 10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________． 解析 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V＝πR2L＝27π，∴L＝27 R2 ，要使用料最 省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·27 R ， ∴S′(R)＝2πR－54π R2 ＝0，∴R＝3，则当 R＝3 时，S 表最小． 答案 3 11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的 桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其 他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，即 n＝lim x －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x ＝256 lim x －1 ＋lim x (2＋ x)x＝256lim x ＋m x＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－256lim x2 ＋1 2 mx－1 2 ＝lim 2x2 (x3 2 －512)． 令 f′(x)＝0，得 x3 2 ＝512，所以 x＝64. 当 00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处取 得最小值． 此时 n＝lim x －1＝640 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小． 12．(创新拓展)如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把 它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？ 最大容积是多少？ 解 设箱子的底边长为 x cm，则箱子高 h＝60－x 2 cm. 箱子容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (0