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- 2021-06-16 发布
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命题角度 5.2:直线与椭圆位置关系
1.已知椭圆 C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 1a b )的左焦点 F 与抛物线 2 4y x 的焦点重合,直
线 2 02x y 与以原点 O 为圆心,以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切.
(Ⅰ)求该椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点 P 坐标为 1 ,08
,若 PA PB ,求直线 AB 的方程.
【答案】(Ⅰ)
2 2
14 3
x y ;(Ⅱ)直线 AB 的方程为 1x 或 3 12y x .
(Ⅱ)若直线 AB 斜率不存在,即 AB : 1x ,满足 PA PB .
若直线 AB 的斜率存在,设其方程为 1y k x ,
将其代入
2 2
14 3
x y ,整理得 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k , 0 ,
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,
则
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
, 1 2 1 2 2
61 1 4 3
ky y k x k x k
,
∴ AB 中点
2
2 2
4 3,4 3 4 3
k kG k k
,根据题意 PG AB ,
∴
2
2
2
3
4 3 14 1
4 3 8
k
k kk
k
,解得 3
2k ,
综上,直线 AB 的方程为 1x 或 3 12y x .
2.已知椭圆C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ,点 2 31, 3P
在椭圆
C 上, 2
4 3
3PF ,过点 1F 的直线l 与椭圆 C 分别交于 ,M N 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若 OMN 的面积为 12
11
,求直线l 的方程.
【答案】(1)
2 2
13 2
x y .(2) 3 1y x 或 3 1y x .
【解析】试题分析:
(1)由题意可求得 3a , 2b , 1c ,则所求椭圆方程为
2 2
13 2
x y .
(2)很明显直线的斜率存在,设出直线方程的点斜式,联立直线与椭圆的方程,结合根与系数
的 关 系 可 得 得 到 关 于 斜 率 的 方 程 , 解 方 程 可 得 直 线 l 的 方 程 是 3 1y x 或
3 1y x .
试题解析:
(1)由题意得:
2 2
2
2 2 2
1 4 13
4 4 3{ 1 3 3
a b
c
a b c
,解得 3a , 2b , 1c ,
故所求椭圆方程为
2 2
13 2
x y .
(2)当直线 MN 与 x 轴垂直时, 4 3
3MN ,此 时 2 3
3MONS ,不符合题意,舍去;
当直线 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN 的方程为 1y k x ,
由
2 2
1{ 3 2
1
x y
y k x
消去 y 得: 2 2 2 22 3 6 3 6 0k x k x k ,
设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则
2
1 2 2
2
1 2 2
6
2 3{
3 6
2 3
kx x k
kx x k
,
∴ 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 1MN x x y y x x k x k x
22
1 21 k x x 22
1 2 1 21 4k x x x x
2 2
2
2 22
36 12 241 2 32 3
k kk kk
22
22
48 1
2 3
k
k
2
2
4 3 1
2 3
k
k
原点O 到直线 MN 的距离
21
kd
k
.
∴三角形的面积 2
2 2
4 3 11 1
2 2 2 3 1MON
k kS MN d k k
,
由 12
11MONS ,得 2 3k ,故 3k ,
∴直线 MN 的方程为 3 1y x 或 3 1y x .
点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二
次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形.
3. 已 知 椭 圆 C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的 长 轴 长 为 2 2 , 且 椭 圆 C 与 圆 M :
2 2 11 2x y 的公共弦长为 2 .
(1)求椭圆C 的方程.
(2)经过原点作直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于 A , B 两点, AD x 轴于点 D ,点 E
在椭圆C 上,且 0AB EB DB AD ,求证: B , D , E 三点共线..
【答案】(1)
2
2 12
x y ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意列出关于 a 、b 、c 的方程组,结合性质 2 2 2a b c , ,
求出 a 、b 、c ,即可得结果;(2)设 1 1,A x y , 2 2,E x y ,则 1 1,B x y , 1,0D x .
因 为 点 A , E 都 在 椭 圆 C 上 , 所 以
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2,
2 2,
x y
x y
, 利 用 “ 点 差 法 ” 证 明
1 2 1
1 2 12BE BD
y y yk k x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
0y y y y
x x x x
,即可得结论.
(2)证明:设 1 1,A x y , 2 2,E x y ,则 1 1,B x y , 1,0D x .
因为点 A , E 都在椭圆 C 上,所以
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2,
2 2,
x y
x y
所以 1 2 1 2x x x x 1 2 1 22 0y y y y ,
即
1 2 1 2
1 2 1 22
y y x x
x x y y
.
又 AB EB DB AD
0AE AB ,
所以 1AB AEk k ,
即 1 1 2
1 1 2
1y y y
x x x
,
所以
1 1 2
1 1 2
12
y x x
x y y
所以 1 21
1 1 2
2 y yy
x x x
又 1 2 1
1 2 12BE BD
y y yk k x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
0y y y y
x x x x
,
所以 BE BDk k ,
所以 B , D , E 三点共线.
4.如图所示,椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左右焦点分别为 1 2,F F ,点 A 为椭圆在第一象限
上的点,且 2AF x 轴,
(1)若 2
1
3
5
AF
AF
,求椭圆的离心率;
(2)若线段 1BF 与 x 轴垂直,且满 足 1 1BF AF ,证明:直线 AB 与椭圆只有一个交点.
【答案】(1) 1
2e ;(2)见解析.
试题解析:
(1)因为 2
1
3
5
AF
AF
,又 1 2 2AF AF a ,则 1 2
5 3,4 4AF a AF a ,所以由勾股定理得
1 2F F a ,即 2a c ,所以离心率 1
2e
( 2 ) 把 x c 代 入 椭 圆
2 2
2 2 1x y
a b
得
2by a
, 即
2
2
bAF a
, 所 以
2
, bA c a
, 又
1 2 2AF AF a 所 以
2 2 2 2 2
1
22 b a b a cAF a a a a
, 即
2 2
1
a cBF a
, 故
2 2
, a cB c a
, 则 直 线 AB 的 斜 率
2 2 2
2AB
a c b
ca aK c a
, 则 直 线 AB 方 程 为
2b cy x ca a
,整理得 cy x aa
联立
2 2
2 2 1
{
x y
a b
cy x aa
消去 y 得: 2 2 2 22 0a x ca x a c ,易得△ 2 4 2 44 4 0c a c a
故直线 AB 与椭圆只有一个交点
5.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
过点 21, 2P
,且 E 的离心率为 2
2
.
(1)求 E 的方程;
(2)过 E 的顶点 0,A b 作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于 ,B C 两点.若 BAC 的角
平分线方程为 3 1y x ,求 ABC 的面积及直线 BC 的方程.
【答案】(1)
2
2 12
x y ;(2)3 6 2 0x y .
【解析】试题分析:(1)根据椭圆离心率和椭圆上一点 P 的坐标,列方程组,解方程组可求
得椭圆的标准方程.(2)设出过 A 点的直线方程,联立直线的方程和椭圆的方程,求得 B 点
的横坐标,由此得到 AB ,利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程,可求得斜率,
由此求得三角形面积和直线方程.
(2)设过 A 斜率为 0k k 的直线为 1y kx ,代入椭圆方程 2 22 2 0x y 得
2 22 1 4 0k x kx ,①
则 2
4
2 1B
kx k
,
∴ 21 0BAB k x 2
2
4 12 1
k kk
,②
在直线 3 1y x 上取一点 1 ,03Q
,则 Q 到直线 1y kx 的距离为
2
1 13
1
k
k
,
点Q 到直线 1 1y xk
的距离为
2
1
3
1
k
k
,
由已知条件
2 2
1 113 3
1 1
k k
k k
,解得 2k 或 1
2
.
代入②得 8 5
9AB , 2 5
3AC ,
∴ ABC 的面积 1
2S AB AC 1 8 5 2 5 40
2 9 3 27
.
由①得 8 7,9 9B
, 4 1,3 3C
.
∴ BC 的方程为 1 1 4
3 2 3y x
,即3 6 2 0x y .
点睛:本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线与圆锥曲线位置关系.考查化归与转化的
数学思想方法和角平分线的几何性质.第一问求椭圆的标准方程,需要两个条件,一个是椭圆
的离心率,另一个是椭圆上一点的坐标,根据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程.第二问
需要用到角平分线上的点到两边距离相等这一性质来建立方程.
6.已知椭圆W :
2 2
2 14
x y
b
( 0)b 的一个焦点坐标为 3,0 .
(Ⅰ)求椭圆W 的方程和离心率;
(Ⅱ)若椭圆W 与 y 轴交于 A , B 两点( A 点在 B 点的上方),M 是椭圆上异于 A , B 的
任意一点,过点 M 作 MN y 轴于 N , E 为线段 MN 的中点,直线 AE 与直线 1y 交于
点C , G 为线段 BC 的中点, O 为坐标原点.求 OEG 的大小.
【答案】(1) 3
2
(2)见解析
【解析】试题分析 :(1)由焦点坐标为 3,0 ,可知 c 3 ,可得
2
2x y 14
.离心率
c 3e a 2
。(2)设 M 0 0x ,y , 0x 0 ,则 N 00, y , E 0
0
x , y2
. C
0
0
x , 11 y
.
又 B 0, 1 , G 为线段 BC 的中点,所以 G
0
0
x , 12 1 y
.由点 M 在曲线上,代入
OE GE 0 所以 OEG 90
试题解析: ( Ⅰ)依题意, 2a , 3c ,所以 2 2 2 1b a c .则椭圆W 的方程为
2
2 14
x y .离心率 3
2
ce a
.
(Ⅱ)设 M 0 0,x y , 0 0x ,则 N 00, y , E 0
0,2
x y
.
又 A 0,1 ,所以直线 AE 的方程为 0
0
2 11 yy xx
.
令 1y ,则 C 0
0
, 11
x
y
.
又 B 0, 1 , G 为线段 BC 的中点,所以 G
0
0
, 12 1
x
y
.
所以 0
0,2
xOE y
,
0 0
0
0
, 12 2 1
x xGE yy
,
0 0 0
0 0
0
12 2 2 1
x x xOE GE y yy
2 2
20 0
0 0
04 4 1
x x y yy
.
因为点 M 在椭圆W 上,则
2
20
0 14
x y ,所以 2 2
0 04 4x y .
则
2
0
0
0
1 4 1
xOE GE yy
0 01 1y y 0 .
因此 OE GE .故 90OEG .
7.已知椭圆 : ( )的短轴长为 2,离心率是 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)点 ,轨迹 上的点 , 满足 ,求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(2)过 的直线若斜率不存在,则 或 3.
设直线斜率 存在 ,
则
由(2)(4)解得 , 代入(3)式得
化简得
由(1) 解得 代入上式右端得 .
解得
综上实数 的取值范围是 .
8.已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 15
4
, 1 2,F F 是椭圆的两个焦点, P 是
椭圆上任意一点,且 1 2PF F 的周长是8 2 15 .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设圆 T: 2 2 4
9x t y ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E、F 两点,当
圆心在 x 轴上移动且 1,3t 时,求 EF 的斜率的取值范围.
【答案】(1)
2
2 116
x y ;(2) 6 ,1825
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆离心率得到 a,c 的关系,再由△PF1F2 的周长是 8+2 15 得 a,
c 的另一关系,联立求得 a,c 的值,代入隐含条件求得 b,则椭圆方程可求;(2)椭圆的上
顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y=kx+1,由圆心到切线距离等于半径得
到关于切线斜率的方程,由根与系数关系得到
1 2 1 22 2
18 5,9 4 9 4
tk k k kt t
,再联立一切线方程和椭圆方程,求得 E 的坐标,同理求得
F 坐标,另一两点求斜率公式得到 1 2
2
1 2
6
1 16 28 3EF
k k tk k k t
.然后由函数单调性求得 EF 的
斜率的范围
试题解析:(1)由 15
4e ,即 15
4
c
a
,可知 a=4b, 15c b ,
∵△PF1F2 的周长是8 2 15 ,
∴ 2 2 8 2 15a c ,∴a=4,b=1,所求椭圆方程为
2
2 116
x y ;
(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T相切的直线方程为 y=kx+1,
由直线 y=kx+1 与 T 相切可知
2
1 2
31
kt
k
,
即(9t2﹣4)k2+18tk+5=0,
∴ 1 2 1 22 2
18 5,9 4 9 4
tk k k kt t
,
由
1
2
2
1
{
116
y k x
x y
,得 2 2
1 11 16 32 0k x k x .
∴ 1
2
1
32
1 16E
kx k
, 同理 2
2
2
32
1 16F
kx k
,
则 1 2 1 2
2
1 2
6
1 16 28 3
E F E F
EF
E F E F
y y k x k x k k tk x x x x k k t
.
当 1<t<3 时, 2
6
28 3
tf t t
为增函数,故 EF 的斜率的范围为 6 ,1825
.
考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程
9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 过 椭 圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
右 焦 点 F 的 直 线
2 0x y 交C 于 ,A B 两点 , P 为 AB 的中点,且OP 的斜率为 1
3
.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设过点 F 的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆交于 ,D E 两点,若在线段OF 上存在点
,0M t ,使得 MDE MED ,求t 的取值范围.
【答案】(1)
2 2
16 2
x y (2) 40, 3
【解析】试题分析:
(1)利用题意求得 22, 6c a ,则椭圆C 的方程为
2 2
16 2
x y .
(2)由题意联立直线与椭圆的方程,整理可得关于 t 的函数
2
2
2
4 4
11 3 3
kt k
k
,据此可得 t
的取值范围是 40, 3
.
(2) 设线段 DE 的中点为 H ,因为 MDE MED ,所以 MH DE ,设直线l 的方程
为 2y k x , 代 入 椭 圆 C 的 方 程 为
2 2
16 2
x y , 得
2 2 2 23 1 12 12 6 0k x k x k ,设 3 3 4 4, , ,D x y E x y ,则
2
3 4 2
12
1 3
kx x k
.则
2
3 4
2 2
6 2, 2 =2 1 3 1 3HH H
x x k kx y k xk k
,即
2
2 2
6 2,1 3 1 3
k kH k k
,
由已知得
2
2
2
2
11 3· 1, 6
1 3
MH l
k
kk k k ktk
,整理得
2
2
2
4 4
11 3 3
kt k
k
,因为 2 0k ,
所以 40, 3t
,
所以t 的取值范围是 40, 3
.
点睛: (1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二
次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形.
10. 如图,椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右顶点为 2,0A ,左、右焦点分别为 1F 、 2F ,
过点 A 且斜率为 1
2
的直线与 y 轴交于点 P ,与椭圆交于另一个点 B ,且点 B 在 x 轴上的射影
恰好为点 1F .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)过点 P 的直线与椭圆交于 ,M N 两点( ,M N 不与 ,A B 重合),若 6PAM PBNS S ,求
直线 MN 的方程.
【答案】(1)
2 2
14 3
x y (2) 6 12y x 或 6 12y x .
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件建立方程组进行求解;(2)先依据题设求得
3PM PN ,再借助直线与椭圆的位置关系分析探求:
(Ⅰ)当 1
2k 时, 1BF x 轴,得到点
2
, bB c a
,
所以
2
2 2 2
2 2
1{ { 32 1
a a
b ba a c c
a b c
,所以椭圆C 的方程是
2 2
14 3
x y .
(Ⅱ)因为
1 sin 2 62
1 1 1sin2
PAM
PBN
PA PM APMS PM
S PNPB PN BPN
, 3PM
PN
所以 3PM PN .
设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 1 2 2, 1 , , 1PM x y PN x y ,有 1 23x x
①当 MN 斜率不存在, MN 的方程为 0x ,
3 1 2 3
3 1
PM
PN
或 3 1 2 3
3 1
PM
PN
,(不合条件,舍去)
即
2
2 2
4 83 4 3 4 3
k
k k
.所以 2 3 6
2 2k k .
所以直线 2l 的方程为 6 12y x 或 6 12y x .
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