高考数学必背公式与知识点过关检测 8页

理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。 第 1 页 /共 8 页 高考数学必背公式与知识点过关检测 ——决胜高考 数学基本公式、概念全掌握 第一部分：集合与常用逻辑用语 1．子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集， 有 个非空真子集 2．常见数集：自然数集： ； 正整数集： 或 ；整数集： ；有理数集： ； 实数集： 3．空集： 是任何集合的 ，是任何非空集合的 . 4．元素特点： 、 、 确定性 5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 6．四种命题：原命题：若 p ，则 q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否 命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命 题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 7．充要条件的判断： p q ， p 是 q 的 条件； p q ， q 是 p 的 条件； p q ， ,p q互为 条件；若命题 p 对应集合 A ，命题q 对应集合 B ，则 p q 等 价于 ， p q 等价于 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”； 8．逻辑联结词：或命题： p q ， ,p q有一为真即为 ， ,p q均为假时才为 ； 且命题： p q ， ,p q均为真时才为 ， ,p q有一为假即为 ； 非命题： p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词： ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题 p： )(, xpMx ；全称命题 p的否定 p： ； ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题 p： )(, xpMx ；特称命题 p的否定 p： ； 第二部分：函数与导数及其应用 1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ； 对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0 且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3．函数的单调性：设 1x ， 2 [ , ]x a b ，且 1 2x x ，那么： （1） 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) , f x f x f x a b x x     在 上是 函数； （2） 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) , f x f x f x a b x x     在 上是 函数； （3）如果 0)(  xf ，则 )(xf 为 函数； 0)(  xf ，则 )(xf 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． ⑵ )(xf 是 函数 )()( xfxf  ； )(xf 是 函数 )()( xfxf  . ⑶奇函数 )(xf 在 0处有定义，则 ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性 ⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 5．函数的周期性： 周期有关的结论：(约定 a＞0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期 T= ； （2） )()( xfaxf  ，或 )0)(( )( 1 )(  xf xf axf ，或 1 ( ) ( ) f x a f x    ( ( ) 0)f x  , 则 )(xf 的周期 T= （3） )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 （4） ( ) ( )f x m f x n    )(xf 的周期为 6．函数的对称性： ① ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   ； ② ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f b x    ( ) ( )f a b x f x    ； ③ ( )y f x 的图象关于点 对称 ( ) ( )f a x f b x     ④ * ( )y f x 的图象关于点 ( , ) 2 a b c  对称 ( ) 2 ( )f a x c f b x     你流的汗水会折射出你的光芒！ 2 7.分数指数幂与根式的性质： （1） m na  ________( 0, ,a m n N   ,且 1n  ）. （2） 1 1 m n m n m n a a a    （ 0, ,a m n N   ,且 1n  ）. （3） ( )nn a a . （4）当 n 为奇数时, n na a ；当n 为偶数时, , 0 | | , 0 n n a a a a a a       . 8.指数性质： (1) pa  _____ ； (2) 0a _____（ 0a  ）； (3) mna  _______ (4) r sa a  ________ ； (5) m na  ________ ； 9.指数函数(如右图)： （1） ( 1)xy a a  在定义域内是单调_____函数； （2） (____________)xy a 在定义域内是单调减函数. 注：指数函数图象都恒过定点______________. 10．对数运算规律： （1）对数式与指数式的互化： loga N b  ____________ ( 0, 1, 0)a a N   . （2）对数恒等式： log 1a  ， loga a  ， log b a a  ． lg 2+ lg5  ， lne = （3）对数的运算性质： ①加法： log loga aM N  ②减法： loga M N  ③数乘： log ( )n a M n R  ④恒等式： loga N a  ⑤ log m n a b  ⑥换底公式： log log log m a m N N a  11.对数函数(如右图)： (1) log ( 1)ay x a  在定义域内是单调递增函数； （2） log (0 1)ay x a   在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点__________. 12.反函数：函数 xy a 的反函数是____________,函数 logay x 的反函数是____________. 13．二次函数： 二次函数 cbxaxy  2 （a≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 判别式 acb 42  ； 0 时，图像与 x 轴有 个交点； 0 时，图像与 x 轴有 个交点； 0 时，图像与 x 轴没有交点； 14. 韦达定理： 若 1 2,x x 是一元二次方程 )0(02  acbxax 的两个根，则： 1 2x x = ， 1 2x x = . 15．零点存在定理：若 ( )y f x 在[a,b]上满足 , 则 ( )y f x 在（a,b)内至少有一个零点 16．常见函数的导数公式： ① '( )C  ；② '( nx ） ； '(nx ） ③ '(sin x ） ； ④ '(cos x ） ；⑤ '( xe ） ； ⑥ '(ln x ） ； ⑦ '( xa ） ； ⑧ ' (logx） . 17．导数运算法则：    f x g x    （1） ；     2 f x g x       （ ） ． 18．曲线的切线方程：函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线 的斜率为 )( 0xf  ，相应的切线方程是 . 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．角度制与弧度制互化： 360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1rad= ≈ 2．若扇形的圆心角为 ( ) 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为C ，面积为S ，则 l  ，C  ，S= = ． 01 1 y=ax o y x 01 1 y=logax o y x 理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。 第 3 页 /共 8 页 3.三角函数定义式：角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则 sin  ，cos  ， tan  4．同角三角函数的基本关系： （1）平方关系： （2）商数关系 ． （3）三角不等式： ①sin cos sin cosx x x x 与 的关系是_______________________________. ②若 (0, ) 2 x   ,则sin cos 1x x  . ③若 ( ) 2 x   ， ,则sin cos 1x x  ④ | sin | | cos | 1x x  . 5.函数的诱导公式：[口诀： 奇变偶不变，符号看象限.]    1 sin 2 sink    ， ， ．（k∈Z） （2） ， ，  tan tan    ． (3) ， ，  tan tan    ． (4) ， ,  tan tan     ．  5 sin cos 2           ， ． (6) ， cos sin 2            ． 6．特殊角的三角函数值： 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 角α的 弧度数 Sinα Cosα tanα 7．三角函数的图像与性质： 8．几个常见三角函数的周期： ① xy sin 与 xy cos 的周期为 . ② )sin(   xy 或 )cos(   xy （ 0 ）的周期为 . ③ 2 tan x y  的周期为 . ④ xy cos 的周期为 siny x cosy x tany x 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 你流的汗水会折射出你的光芒！ 4 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：  1 cos   （） ；  2 cos   （） ；  3 sin   （） ；  4 sin   （） ；  5 tan   （） ;  6 tan   （） . 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2  cos2  = = tan 2  2cos  降次公式： ， 2sin   , sin cos   11．引入辅助角公式： sin cosa b   . (其中,辅助角所在象限由点 ( , )a b 所在的象限决定, tan b a   ). 12. 正弦定理： . （ R 是 ABC 外接圆直径） 注 ： ① CBAcba sin:sin:sin::  ； ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ； ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin    13. 余弦定理：  .（逆定理） （以 A 角和其对边来表示） 14. 三角形面积公式： ABCS  = = ． （用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式： ABCS  （ r 为 ABC 内切圆半径）= （ R 外接圆半径） 15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = = 第四部分：平面向量、数列与不等式 1． 平面向量的基本运算： 设 A 1 1( , )x y ,B 2 2( , )x y ,则 ___________.AB OB OA   设 1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y ；（ 0b  ） ▲ 1/2 y x y=|cos2x+1/2|图象 = ；a b = ； a = . a b  （定义公式）= (坐标公式)． a 在b 方向上的投影为. = (坐标公式) a b  （一般表示）  （坐标表示） ． a ∥b  （一般表示） （坐标表示）． cos 夹角公式： = (坐标公式). 2.若G 为 ABC 的重心，则 = 0 ； 且 G 点坐标为 ( ， ) 3.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 (1 )OP xOA x OB   4.三角形的四心 重心：三角形三条 交点. 外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三 相交于一点. 垂心：三角形三边上 的相交于一点. 5. 数列{ na }中 na 与 nS 的关系 na  （注：该公式对任意数列都适用） 6. 数列相关知识 ★1.等差数列： 通项公式：（1） na  _______________ ,其中 1a 为首项,d为公差,n为项数, na 为末项. （2）推广： na  _______________ 前 n项和： nS  ______________=__________________；其中 1a 为首项,n为项数, na 为末项. 常用性质：（1）若 m+n=p+q ,则有 __________________ ； 注：若 ,m n pa a a是 的等差中项,则有 2 m n pa a a  n,m,p成等差数列. 理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。 第 5 页 /共 8 页 （2）若 na 、 nb 为等差数列,则 n na b 为等差数列. （3） na 为等差数列, nS 为其前 n项和,则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S  也成等差数列. （4） , , 0p q p qa q a p a   则 ； ★2.等比数列： 通项公式：（1） ________ .na  ,其中 1a 为首项,n为项数,q为公比. （2）推广： _________ .na  前 n 项和： __________ ________.nS   常用性质：（1）若 m+n=p+q,则有 _______________________ ； 注：若 ,m n pa a a是 的等比中项,则有 2 m n pa a a   n、m、p成等比. （2）若 na 、 nb 为等比数列,则 n na b 为等比数列. 7.常见数列的和： ①1+2+3+……+n= ②12+22+32+……+n2= ③13+23+33+……+n3= 8.一元二次不等式解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）的图象 一元二次方程  的根0 02   a cbxax 的解集)0( 02   a cbxax 的解集)0( 02   a cbxax 9. 重要不等式： 基本不等式： 若 0, 0a b  则  ； 11．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有： (1)如果积 xy是定值 p ，那么当 yx  时和 yx 有最小值 ； (2)如果和 yx 是定值 s ，那么当 yx  时积 xy有最大值 . 12.均值不等式链： 如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号） 即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数） 特别地， 2 2 2( ) 2 2 a b a b ab     （当 a = b 时， 2 2 2( ) 2 2 a b a b ab     ） ),,,( 33 2222 时取等cbaRcba cbacba          幂平均不等式： 2 21 22 2 2 1 )...( 1 ... nn aaa n aaa  13.均值定理:已知 yx, 都是正数,则有 （1）已知 , , ,a b x y R ,若 1ax by  则有 21 1 1 1 ( )( ) 2 ( ) by ax ax by a b a b ab a b x y x y x y              . （2）已知 , , ,a b x y R ,若 1 a b x y   则有 2( )( ) 2 ( ) a b ay bx x y x y a b a b ab a b x y x y              你流的汗水会折射出你的光芒！ 6 第五部分：立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图： 原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式： 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S= 球的表面积 S= 3．常见几何体体积公式： 柱体的体积 V= 锥体的体积 V= 台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论： ⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧 面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ． ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ，b，c，则体对角线长为 ，全面 积为 ，体积 V= ⑶正方体的棱长为 a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积 V= ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. ⑸正四面体的性质：设棱长为 a ，则正四面体的： ① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 5.立体几何常用的六个定理(三种语言) (1)直线和平面平行的判定定理 (2)直线和平面平行的性质定理 (3)平面和平面平行的判定定理 (4)直线和平面垂直的判定定理 (5)平面和平面垂直的判断定理 (6)平面和平面垂直的性质定理 6．直线的斜率： k = = （ 为直线的倾斜角， 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式： 直线的点斜式方程： (直线 l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． 直线的斜截式方程： (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). 直线的两点式方程： ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x ， 1 2y y ). 直线的截距式方程： (a 、b 分别为直线在 x 轴、y 轴上的截距，且 0,0  ba ). 直线的一般式方程： 0Ax By C   (其中 A、B不同时为 0). 直线 0Ax By C   的法向量： ( , )l A B  ,方向向量： ( , )l B A  8．两条直线的位置关系： （1）若 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  ,则： ① 1l ∥ 2l  且 ； . （2）若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,则： ① 1l ∥ 2l  且 ；②. 1 2l l  . 9．距离公式： （1）点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y 之间的距离： 理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。 第 7 页 /共 8 页 （2）点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   的距离： （3）平行线间的距离： 1 0Ax By C   与 2 0Ax By C   的距离： 10.圆的方程： （1）圆的标准方程： （2）圆的一般方程： （ )0422  FED （3）圆的参数方程： 11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离 d 与半径 R 的大小关系 （1）当 时，直线和圆 （有两个交点）； （2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； （3）当 时，直线和圆 （无交点）； 12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距 d 与两圆半径和 1 2R R ，半径差 1 2R R （ 1 2R R ）的大小 关系： （1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线； （2）当 时，两圆 ，有 3 条公切线； （3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线； （4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线； （5）当 时，两圆 ，没有公切线； 13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离 r 为半径） 若 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y y y ，则线段 AB的垂直平分线为：__________________. 已知两圆 2 2 2 2 1 1 1 2 2 20 0x y D x E y F x y D x E y F         与 ， 则这两个圆公共弦所在直线方程为_____________________________________. 14．椭圆的定义： （1）平面内与两个定点 21 FF、 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个 定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 cba  ） （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： . （3）椭圆问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________. 15．双曲线的定义： （1）平面内与两个定点 21 FF、 的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫 双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 abc  ） （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： . （3）双曲线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________. 16．抛物线的定义： （1）平面内与一个定点F 和一条定直线 l （点F 不在 l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双 曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线. （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： . （3）抛物线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________. 17．离心率：e= （椭圆的离心率 (0,1) ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心 率 ） 18．双曲线的渐近线： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的渐近线方程为 ，且与 2 2 2 2 1 x y a b   具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 x y a b   . 19．过抛物线焦点的直线： 倾斜角为  的直线过抛物线 2 2y px 的焦点 F 且与抛物线交于 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 两点 （ 1 0y  ）： |AF|= |BF|= |AB|= = x1x2= y1y2= 1 |AF| + 1 |BF| = 20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （ 1 2F PF   ） 21．几何距离： （1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③焦距： . （2）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . 22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx ,则 |AB|= = = 23. 中点弦问题： 椭圆：kABkOP= 双曲线：kABkOP= 第六部分：统计与概率 1. 总体特征数的估计： ⑴样本平均数x= ； ⑵样本方差；S2= ； ⑶样本标准差 S= . 你流的汗水会折射出你的光芒！ 8 2．概率公式： ⑴互斥事件：_________________;对立事件：_________________: 互斥事件的概率公式：P(A+B)= ⑵古典概型：基本事件的总数数为 N ，随机事件 A 包含的基本事件个数为M ，则事件 A 发生的概率为：P(A)= ⑶几何概型： 等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的 积等）的区域长度（面积或体构成事件A AP )( 3.回归分析 (1)判断两个变量是正相关还是负相关可以用散点图; (2)线性回归方程系数公式:其中 b 为斜率,a 纵截距 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) , ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x                  (3)相关系数的理解； 4.独立性检验:判断两个变量的依赖关系 P(K2 ≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc k a b c d a c b d       第七部分：复数 1. 复数的基本概念： z a bi  （a，b R ） （1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2= （2）模：|z|= = （3）共轭复数：- z = （4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R） 2. 复数的基本运算： （1）加减法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）= （2）乘法：（a+bi）×（c+di）= （3）除法：（a+bi）÷（c+di）= 注：对虚数单位 i ,有 1 , ,1, 4342414   nnnn iiiiii . 第八部分：选修部分（极参与不等式） 1. 极坐标→直角坐标 cos sin x y        直角坐标→极坐标 2 2 tan ( 0) x y y x x           2. 常见曲线的参数方程： 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程 参数方程 直线 过点 0 0( , )x y 倾斜角为 0 0tan ( )y y x x   或者 0x x （ t 为参数） 圆 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    （为参数） 椭圆 1 2 2 2 2  b y a x （a＞b＞0） （为参数） 双曲线 1 2 2 2 2  b y a x （a＞0，b＞0） （为参数） 抛物线 2 2y px （p＞0） （ t 为参数） 3.不等式 | | ( 0, 0)ax b c a c    的可转化为 不等式 | | ( 0, 0)ax b c a c    的可转化为 4.绝对值三角不等式 柯西不等式： .（当且仅当 ad=bc 时取等号） 5.解 | | | |x a x b c    型不等式的常用方法是___________________________________. 求 | | | |x a x b   最值得常用方法是_______________________________________. 求 | | | |ax b cx d   最值得常用方法是_______________________________________.