高考数学黄金考点精析精训考点21线线、线面、面面的位置关系文 25页

考点 21 线线、线面、面面的位置关系 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. 3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关 系的简单命题. 2.命题方向预测： 1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主. 2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时 考查逻辑推理能力与空间想象能力． 3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力 与空间想象能力． 4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难 度中、低档题兼有. 3.课本结论总结： 1.平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或 直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角). ②范围： 0 2      ， . 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄ α， a∥b a∥α a∥α，a⊂β， α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝ ∅ a∥b 8.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α， b∥α α∥β，α∩γ ＝a，β∩γ＝b α∥ β，a ⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 9.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 10.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 11.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 12.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做 二面角的平面角. 4.名师二级结论： （1）异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． (2)公理 1 的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (3)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (4)公理 3 的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线． (5)平行问题的转化关系： (6)垂直问题的转化关系 线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直 (7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等； (8)利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行. 5.课本经典习题： （1）必修 2 第 37 页 用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c； ③若 a∥γ，b∥γ，则 a∥b； ④若 a⊥γ，b⊥γ，则 a∥b. 其中真命题的序号是( )． 性质 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【经典理由】考查线面、线线的平行和垂直关系。 （2）必修 2 第 42 页 已知 m、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )． A．m∥n，m⊥α n⊥α B．α∥β，m  α，n  β m∥n C．m⊥α，m⊥n n∥α D．m  α，n  α，m∥β，n∥β α∥β 【经典理由】考查线面、线线、面面的平行和垂直关系。 6.考点交汇展示： (1)立体几何与函数交汇 【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、 E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分 别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化 时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______. 【答案】 4 15 【解析】 (2)立体几何与基本不等式交汇 如图， 在三棱锥 P ABC 中， 90PAB PAC ACB       ． （1）求证：平面 PBC  平面 PAC ； （2）若 1PA  ， =2AB ，当三棱锥 P ABC 的体积最大时，求 BC 的长． P AB C 【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥 P ABC 的体积最大时， 2BC ． （2）方法 1：由已知及（1）所证可知， PA  平面 ABC ， BC CA ， 所以 PA 是三棱锥 P ABC 的高．……………………………7 分 因为 1PA  ， =2AB ，设 BC x  0 2x  ，……………8 分 所以 2 2 2 2 22 4AC AB BC x x      ．…………9 分 因为 1 3P ABC ABCV S PA  △ 21 46 x x  ………………………………………………………………………………10 分  2 21 46 x x   2 241 6 2 x x    …………………………………………………………………………11 分 1 3  ．…………………………………………………………………………………………12 分 当且仅当 2 24x x  ，即 2x  时等号成立．………………………………………………………13 分 所以当三棱锥 P ABC 的体积最大时， 2BC ．…………………………………………………14 分 （3）立体几何与三角函数交汇 【2018 届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体 中， 分别棱是 的 中点，异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点分类】 热点 1 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定 1.【2017 课标 3，文 10】在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ） A． 1 1A E DC⊥ B． 1A E BD⊥ C． 1 1A E BC⊥ D． 1A E AC⊥ 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 1 1A E DC ，那么 1 1D E DC ，很显然不成立；B.若 1A E BD ，那么 BD AE ，显然不成立；C.若 1 1A E BC ，那么 1 1BC B C ，成立，反过来 1 1BC B C 时，也能推出 1 1BC A E ,所以 C 成立，D.若 1A E AC ，则 AE AC ，显然不成立，故选 C. 2.【2016 高考新课标 2 理数】 ,  是两个平面， ,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 , , / /m n m n   ，那么  . （2）如果 , / /m n  ，那么 m n . （3）如果 / / ,m   ，那么 / /m  . （4）如果 / / , / /m n   ，那么 m 与 所成的角和 n 与  所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【方法规律】 1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4） 向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理； （4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这 个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行  线面平行  面面平行. 3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断 定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两 个平面的法向量平行. 4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性 质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理 的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性. 5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理； （4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂 直  线面垂直  面面垂直. 6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题 时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的 思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 【解题技巧】 1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置， 对于最值问题，常用函数思想来解决. 2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究， 解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证， 若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. 3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定 理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 6.垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直 的判定定理和性质定理； 8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位 线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； 【易错点睛】 1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面 平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题 目的具体条件而定，决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替 使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 例.已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和  是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m   的是 A．   ，且 m  B． m ∥ n ，且 n   C．   ，且 m ∥ D． m  n ，且 n ∥  【答案】B 【解析】∵m∥n, m   ∴ n   故选 B. 【易错点】没有掌握线面垂直的条件 热点 2 空间线线、线面及面面关系中的角度问题 1. 【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 1 1 1C C    中， C 120   ， 2  ， 1C CC 1   ， 则异面直线 1 与 1C 所成角的余弦值为（ ） A． 3 2 B． 15 5 C． 10 5 D． 3 3 【答案】C 2.【2016 高考新课标 1 文数】平面 过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A， 1 1// CB D 平面 , ABCD m  平面 , 1 1ABB A n  平面 ,则 m,n 所成角的正弦值为（ ） （A） 3 2 （B） 2 2 （C） 3 3 （D） 1 3 【答案】A 3.【2017 课标 3，理 16】a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线 与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】 【方法规律】 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据 空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的 端点或中点)利用三角形求解. 【解题技巧】 求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、 中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三 角形问题，进而求解. 【易错点睛】 1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]. 例.过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以 作 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】 D 【解析】如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联 想正方体的其他体对角线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD， ∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，同理，体对角线 A1C、DB1 也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都 相等，过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条. 【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系. 【热点预测】 1.设 ，  是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为 ，  是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．若“ m ∥ ”，则平面 、  可能相交也可 能平行，不能推出 //  ，反过来若 //  ，m  ，则有 m ∥ ，则“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要而 不充分条件. 2.【2016 高考浙江理数】已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 ,m n ∥ ⊥ ，则（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】由题意知 ,l l     ， ,n n l   ．故选 C． 3.已知二面角 l   为 60 ， AB  ， AB l ，A 为垂足，CD  ，C l ， 135ACD  ，则异 面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A． 1 4 B． 2 4 C． 3 4 D． 1 2 【答案】B. 4.若 ,l m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“l m ”是“ / /l  的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ，因为 m 垂直于平面 ，则 / /l  或l  ；若 / /l  ，又 m 垂直于平面 ，则l m ， 所以“l m ”是“ / /l  的必要不充分条件，故选 B． 5.【2017 课标 1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 6.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 1CC 上，直线 OP 与平面 1A BD 所成的角为 ，则sin 的取值范围是（ ） A． 3[ ,1]3 B． 6[ ,1]3 C． 6 2 2[ , ]3 3 D． 2 2[ ,1]3 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为1，则 1 1 1 1 1 1 3 12, 3, 1 ,2 2 2AC AC AO OC OC       ，所以 1 1 1 1 3 3 2 1 2 22 2cos ,sin3 3 32 2 AOC AOC         ， 1 1 3 1 3 3 62 2cos ,sin3 332 2 AOC AOC          . 又直线与平面所成的角小于等于 90 ，而 1AOC 为钝角，所以sin 的范围为 6[ ,1]3 ，选 B. 7.【2017 届广东省惠州市高三一调】已知三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， 2AB  ， 2SA SB SC   ，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是（ ） A． 3 3 B．1 C． 3 D． 3 3 2 【答案】A 8.【2017 届浙江省金华、丽水、衢州市十二校高三 8 月联考】如图，已知矩形 ABCD ， 2AD  ，E 为 AB 边上的点，现将 ADE 沿 DE 翻折至 ADE ，使得点 A在平面 EBCD 上的投影在CD 上，且直线 A D 与 平面 EBCD 所成角为 30°，则线段 AE 的长为_________． 【答案】 4 3 3 . 【解析】如下图所示，过 'A 作 'A H CD 于 H ，由题意得， 'A H  平面 ABCD ，∴ ' 1AH  ， 3DH  ， 设 AE x ，∴ 2 1EH x  ，在四边形 DAEH 中，可得 2 2 2 42 ( 3) 1 33x x x      ，故填：4 3 3 . 9.【2017 江苏，15】 如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面 ABD⊥平面 BCD, 点 E,F(E 与 A,D 不 重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD. 求证：（1）EF∥平面 ABC； （2）AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】证明：（1）在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD， EF AD ，所以 EF AB∥ . 又因为 EF  平面 ABC， AB  平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC. 10.【2017 课标 II，文 18】如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , 01 , 90 .2AB BC AD BAD ABC      （1）证明：直线 / /BC 平面 PAD ; （2）若△ PAD 面积为 2 7 ，求四棱锥 P ABCD 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】 11.【2017 课标 3，文 19】如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE 与四 面体 ACDE 的体积比． 【答案】（1）详见解析；（2）1 【解析】试题分析：（1）取 AC 中点 O ，由等腰三角形及等比三角形性质得 ODAC  ， OBAC  ，再 根据线面垂直判定定理得 AC 平面 OBD，即得 AC⊥BD；（2）先由 AE⊥EC，结合平几知识确定 ECAE  ， 再根据锥体体积公式得，两者体积比为 1:1. 试题解析：（1）证明：取 AC 中点O ，连 OBOD, ∵ CDAD  ，O 为 AC 中点， ∴ ODAC  ， 又∵ ABC 是等边三角形， ∴ OBAC  ， 又∵ OODOB  ，∴ AC 平面OBD， BD 平面 OBD， ∴ BDAC  . 12.如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中，已知 BCAC  ， 1CCBC  ，设 1AB 的中点为 D ， 1 1B C BC E  . 求证：（1） CCAADE 11// 平面 ；（2） 11 ABBC  . A B C D E A1 B1 C1 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）由题意知，  为 1C 的中点， 又 D 为 1 的中点，因此 D // C  ． 又因为 D  平面 1 1C C ， C  平面 1 1C C ， 所以 D // 平面 1 1C C ． （2）因为棱柱 1 1 1C C    是直三棱柱， 所以 1CC  平面 C ． 因为 C  平面 C ，所以 1C CC  ． 又因为 C C   ， 1CC  平面 1 1CC  ， C  平面 1 1CC  ， 1C CC C  ， 所以 C  平面 1 1CC  ． 又因为 1C  平面 1 1CC  ，所以 1C C   ． 因为 1C CC  ，所以矩形 1 1CC  是正方形，因此 1 1C C   ． 因为 C ， 1C  平面 1 C  ， 1C C C   ，所以 1C  平面 1 C  ． 又因为 1  平面 1 C  ，所以 1 1C   ． 13.如图，矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直，等腰梯形 ABEF 中， AB ∥ EF ， AB =2， 1AD AF  ， 60BAF   ，O ， P 分别为 AB ，CB 的中点， M 为底面 OBF 的重心. （Ⅰ）求证： PM ∥平面 AFC ； （Ⅱ）求直线 AC 与平面CBF 所成角的正弦值. F A C D EO P B M 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 5 5 . 【解析】（Ⅰ）连结OM 延长交 BF 于 H ，则 H 为 BF 的中点，又 P 为CB 的中点， ∴ PH ∥CF ，又∵ AF  平面 AFC ，∴ PH ∥平面 AFC -------------------2 分 连结 PO ，则 PO ∥ AC ， AC  平面 AFC ， PO ∥平面 AFC -----------------4 分 1PO PO P ∴平面 1POO ∥平面 AFC ， ----------------5 分 PM  平面 AFC ， / /PM 平面 AFC ----------------------6 分 法二：以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 1 3(1, 0, 0), ( 1, 0, 0), ( 1, 0, 1), ( , , 0),2 2A B C F  -----------------7 分 设平面CBF 的法向量为 ( , , )n x y z ，  3 3( , , 1), 0, 0, 12 2FC CB      ， -------------------8 分 由 0, 0, n CB n FC          所以 0, 3 0, z x y    令 1x  ，则 1 3 0 x y z       ，所以 (1, 3,0)n   ，-----------------10 分  2, 0, 1AC   ∴ 2 5cos , 55 4 n AC        ---------------------11 分 ∴直线 AC 与平面 CBF 所成角的正弦值为 5 5 -------------------12 分 14.【2017 北京，文 18】如图，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 PAC； （Ⅲ）当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E–BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】