2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算 13页

www.ks5u.com 第1节　变化率与导数、导数的计算 考试要求　1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.‎ ‎(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).‎ ‎2.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax ‎(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：‎ ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.‎ ‎2.′＝－(f(x)≠0).‎ ‎3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.‎ ‎4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　)‎ ‎(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)‎ ‎(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　)‎ 解析　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.‎ ‎(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.‎ ‎(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.‎ ‎(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(老教材选修2－2P19B2改编)已知函数f(x)＝，则函数在x＝－1处的切线方程是(　　)‎ A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0‎ C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0‎ 解析　由f(x)＝，得f′(x)＝，‎ 又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.‎ 因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.‎ 答案　A ‎3.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.‎ 解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.‎ 答案　－9.8t＋6.5　－9.8‎ ‎4.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)‎ A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0‎ C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0‎ 解析　设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，‎ ‎∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f′(π)＝－2，‎ 故切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.‎ 答案　C ‎5.(2019·新乡模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.‎ 解析　f′(x)＝－－2sin 2x，所以f′(0)＝－.‎ 答案　－ ‎6.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.‎ 解析　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，‎ 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x.‎ 答案　y＝3x 考点一　导数的运算　　多维探究 角度1　根据求导法则求函数的导数 ‎【例1－1】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)f(x)＝；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)y＝xsincos.‎ 解　(1)f′(x)＝＝.‎ ‎(2)由已知f(x)＝x－ln x＋－.‎ ‎∴f′(x)＝1－－＋＝.‎ ‎(3)∵y＝xsin cos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，‎ ‎∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.‎ 角度2　抽象函数的导数 ‎【例1－2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________.‎ 解析　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.‎ 令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，则f′(2)＝－.‎ ‎∴f(1)＝1＋3×1×＋0＝－.‎ 答案　－ 规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.‎ ‎2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.‎ ‎3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)已知f(x)＝ln ，则f′(x)＝________.‎ ‎(2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　)‎ A.－e B.2 C.－2 D.e ‎(3)(角度1)(2020·天津重点学校联考)已知函数f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a＝________.‎ 解析　(1)f′(x)＝′＝′‎ ‎＝·＝.‎ ‎(2)由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.‎ ‎(3)由f(x)＝(x2－a)ln x，得f′(x)＝2xln x＋.‎ ‎∴f′(1)＝1－a＝－2，解得a＝3.‎ 答案　(1)　(2)B　(3)3‎ 考点二　导数的几何意义 ‎【例2】 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　)‎ A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－3＝0‎ C.3x＋y＋2＝0 D.3x＋y－4＝0‎ ‎(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.‎ 解析　(1)因为f(x)＝，所以f′(x)＝.‎ 又f(1)＝1，且f′(1)＝－3.‎ 故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.‎ ‎(2)设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).‎ 又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).‎ 再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.‎ 故点A的坐标为(e，1).‎ 答案　(1)D　(2)(e，1)‎ 规律方法　1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.‎ ‎2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)‎ A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x ‎(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.‎ 解析　(1)因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x.‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(0)＝1.‎ 所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.‎ ‎(2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，‎ ‎∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(x0，y0)(x0>0)，∵函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－，‎ 由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，‎ 又x0>0，∴x0＝1.‎ 又∵点P在曲线y＝(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1).‎ 答案　(1)D　(2)(1，1)‎ 考点三　导数几何意义的应用 ‎【例3】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)‎ A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1‎ C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1‎ ‎(2)(2019·泉州质检)若曲线y＝x2与y＝aln x(a≠0)存在公共切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(0，2e] B.(0，e]‎ C.(－∞，0)∪(0，2e] D.(－∞，0)∪(0，e]‎ 解析　(1)∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，‎ ‎∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，‎ 即y＝(ae＋1)x－1.‎ 又已知切线方程为y＝2x＋b，‎ ‎∴即 ‎(2)设切线在曲线y＝x2上的切点坐标为(x0，x)，‎ 则切线方程为y＝2x0x－x，‎ 切线在y＝aln x上的切点为(x1，aln x1)，‎ 该切线方程为y＝x－a＋aln x1‎ 由于两曲线有相同的公切线，‎ 因此＝2x0，－x＝aln x1－a，‎ 消去x0，得a＝4x－4xln x1，‎ 设g(x)＝4x2－4x2ln x，g′(x)＝4x－8xln x，‎ 得到g(x)在(0，e)递增，在(e，＋∞)递减，故g(x)最大值为2e.‎ 又x→＋∞时，g(x)→－∞；当x→0时，g(x)→0.‎ 所以a的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e].‎ 答案　(1)D　(2)C 规律方法　1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.‎ ‎2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.‎ ‎【训练3】 (1)(2020·重庆调研)已知直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为(　　)‎ A.－ B.－e C. D.e ‎(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞)‎ C.[2，＋∞) D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)‎ 解析　(1)设切点坐标为，‎ 由y＝xex，得y′＝(xex)′＝ex＋xex.‎ 若直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，‎ y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，‎ 因此＝nen＝－，故m＝－e.‎ ‎(2)直线2x－y＝0的斜率k＝2，‎ 又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，‎ ‎∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，‎ 则a＝4x＋－2，x>0.‎ 又4x＋≥2＝4，当仅当x＝时取“＝”.‎ ‎∴a≥4－2＝2.‎ 答案　(1)B　(2)C A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.下列求导数的运算中错误的是(　　)‎ A.(3x)′＝3xln 3 　 B.(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ 　 D.(sin x·cos x)′＝cos 2x 解析　因为′＝，C项错误.‎ 答案　C ‎2.(2020·唐山模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则曲线f(x)在x＝2处的切线斜率等于(　　)‎ A.6 B.－2 C.－6 D.－8‎ 解析　f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x).‎ 取x>0，得x2－2x＝－(－x2＋ax)，则a＝2.‎ 当x>0时，f′(x)＝－2x＋2.‎ ‎∴f′(2)＝－2.‎ 答案　B ‎3.函数y＝ex＋x＋1在点(0，2)处的切线方程是(　　)‎ A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2‎ C.y＝－x＋2 D.y＝x＋2‎ 解析　函数y＝ex＋x＋1的导数为y′＝ex＋1，‎ 可得在点(0，2)处的切线的斜率为k＝2，‎ 所求切线方程为y＝2x＋2.‎ 答案　B ‎4.(2020·哈尔滨调研)若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(　　)‎ A.f(0)f(4) D.以上都不对 解析　函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，‎ 令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，‎ 故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.‎ 答案　B ‎5.(2020·安徽江南十校联考)若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为y＝aln x＋x2(a>0，x>0)，‎ 所以y′＝＋2x≥2，当且仅当x＝时取等号.‎ 因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，‎ 则斜率k≥，因此＝2，所以a＝.‎ 答案　B ‎6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)‎ A.a0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，‎ 则y′|x＝x0＝|x＝x0＝2x0－＝1.‎ ‎∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，‎ 则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝＝.‎ 答案　 C级　创新猜想 ‎17.(多填题)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则b＝________，函数f(x)的最小值是________.‎ 解析　∵f′(x)＝2x＋b，∴F(x)＝，‎ ‎∴F′(x)＝.‎ 又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c.‎ ‎∴解之得b＝c＝4.‎ 故f(x)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，则f(x)min＝0.‎ 答案　4　0‎