高中数学人教a版选修4-4课时跟踪检测（四）直线的极坐标方程word版含解析 3页

课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程 一、选择题 1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1 解析：选 C 设 P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标 方程． 2．7cos θ＋2sin θ＝0 表示( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选 A 两边同乘ρ，得 7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即 7x＋2y＝0，表示直线． 3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析：选 B 在直角坐标系中，圆的方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x＝0，x＝2，即θ＝π 2(ρ∈R) 和ρcos θ＝2. 4．(安徽高考)在极坐标系中，点 2，π 3 到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A．2 B. 4＋π2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 解析：选 D 点 2，π 3 对应的直角坐标为(1， 3)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－ 1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)， 故所求两点间距离 d＝ 1－12＋ 32＝ 3. 二、填空题 5．把极坐标方程ρcos θ－π 6 ＝1 化为直角坐标方程是________________________． 解析：将极坐标方程变为 3 2 ρcos θ＋1 2ρsin θ＝1， 化为直角坐标方程为 3 2 x＋1 2y＝1， 即 3x＋y－2＝0. 答案： 3x＋y－2＝0 6．在极坐标系中，过点 2 2，π 4 作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是 ________． 解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得 x2＋y2＝4y， 即 x2＋(y－2)2＝4， 将点的极坐标 2 2，π 4 化为直角坐标为(2,2)， 由于 22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率 k＝2－2 2－0 ＝0， 故所求的切线方程为 y＝2， 故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2. 答案：ρsin θ＝2 7．(湖南高考)在极坐标系中，曲线 C1：ρ( 2cos θ＋sin θ)＝1 与曲线 C2：ρ＝a(a>0)的 一个交点在极轴上，则 a＝________. 解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 2x＋y＝1，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2＝a2， C1 与 x 轴的交点坐标为 2 2 ，0 ， 此点也在曲线 C2 上，代入解得 a＝ 2 2 . 答案： 2 2 三、解答题 8．求过(－2,3)点且斜率为 2 的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为 y－3＝2(x＋2)， 即 2x－y＋7＝0. 设 M(ρ，θ)为直线上任意一点， 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x－y＋7＝0， 得 2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程． 9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线 3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0 相切，求实数 a 的 值． 解：将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1， 直线的方程为 3x＋4y＋a＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有|3×1＋4×0＋a| 32＋42 ＝1， 解得 a＝－8 或 a＝2.故 a 的值为－8 或 2. 10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝ 3 1－2cos θ ，过极点作直线与它交于 A，B 两点，且 |AB|＝6.求直线 AB 的极坐标方程． 解：设直线 AB 的极坐标方程为θ＝θ1. A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)， ρ1＝ 3 1－2cos θ1 ，ρ2＝ 3 1－2cosθ1＋π ＝ 3 1＋2cos θ1 . |AB|＝|ρ1＋ρ2| ＝| 3 1－2cos θ1 ＋ 3 1＋2cos θ1|＝| 6 1－4cos2θ1|， ∴ 1 1－4cos2θ1 ＝±1， ∴cos θ1＝0 或 cos θ1＝± 2 2 . 故直线 AB 的极坐标方程为θ＝π 2 ，θ＝π 4 或θ＝3π 4 .