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2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4 37页

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2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

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第 1 课时　指数函数的图象和性质 必备知识 · 自主学习 导思 1. 怎样作出指数函数的图象？不同底数的指数函数有何特征？ 2. 指数函数有哪些性质？ 指数函数的图象和性质 (1) 图象和性质 01 图　象 定义域 R 值　域 _________ 性　质 过定点 _______ 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 (0 ， +∞) (0 ， 1) (2) 本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质 . (3) 应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式； ④求参数的范围 . 【 思考 】 　 (1) 根据指数函数图象，？号处 y 的范围是什么？ 底数 x 的范围 y 的范围 a>1 x>0 ？ x<0 ？ 00 ？ x<0 ？ 提示： 底数 x 的范围 y 的范围 a>1 x>0 y>1 x<0 00 01 (2) 当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象有什么关系？ 提示： 关于 y 轴对称 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 指数函数的图象都在 y 轴的上方 . ( 　　 ) (2) 若指数函数 y=m x 是减函数，则 03 ， m>4. 答案： (4 ， +∞) 关键能力 · 合作学习 类型一　与指数函数相关的定义域问题 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 求下列函数的定义域 (1)y= .(2)y= (3)y= . 【 解析 】 (1) 函数有意义当且仅当 x 2 -x-6≠0 ，解得 x≠-2 且 x≠3 ，所以函数的定义域为 {x|x∈R ， x≠-2 且 x≠3}. (2) 函数有意义当且仅当 x 2 +2x-8≥0 ，解得 x≤-4 或 x≥2 ，所以函数的定义域为 {x|x≤-4 或 x≥2}. (3) 函数有意义当且仅当 2 x-1 -8≥0 ，即 2 x-1 ≥8 ，解得 x≥4 ，所以函数的定义域为 [4 ， + ∞ ). 【 解题策略 】 与指数函数相关的定义域问题 (1) 函数 y=a f(x) 的定义域与函数 f(x) 的定义域相同 . (2) 涉及解指数不等关系求定义域时，先化同底，再利用图象、单调性求范围 . 【 补偿训练 】 求函数 y= 的定义域 . 【 解析 】 由题意得 -2x+1≥0 ，解得 x≤ ， 所以函数的定义域为 . 类型二　指数函数图象的应用 ( 数学抽象、直观想象 ) 【 典例 】 1.(2020· 宜宾高一检测 ) 若函数 f(x)=2a x+m -n(a>0 ，且 a≠1) 的图象恒过点 (-1 ， 4) ，则 m+n=( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.1 C.-1 D.-2 2. 要使 g(x)=3 x+1 +t 的图象不经过第二象限，则 t 的取值范围为 ( 　　 ) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 【 思路导引 】 1. 利用指数函数 y=a x 过点 (0 ， 1) 构造关系式求值 . 2. 先根据题意画出函数的图象，再确定平移单位的大小，即所求的范围 . 【 解析 】 1. 选 C. 因为函数的图象恒过点 (-1 ， 4) ， 所以 m-1=0 ，且 2·a m-1 -n=4 ， 解得 m=1 ， n=-2 ，所以 m+n=-1. 2. 选 C. 指数函数 y=3 x 过定点 (0 ， 1) ， 函数 g(x)=3 x+1 +t 过定点 (0 ， 3+t) 且为增函数， 要使 g(x)=3 x+1 +t 的图象不经过第二象限， 只需函数 g(x)=3 x+1 +t 与 y 轴的交点的纵坐标小于等于 0 即可，如图所示， 即图象不过第二象限，则 3+t≤0 ，所以 t≤-3 ， 则 t 的取值范围为 t≤-3. 【 解题策略 】 与指数函数相关的图象问题 (1) 定点问题：令函数解析式中的指数为 0 ，即可求出横坐标，再求纵坐标即可 . (2) 平移问题：对于横坐标 x 满足 “ 加左减右 ” . (3) 底数大小：对于 y= ， y= ， y= ， y= ，如图， 01) 的图象的大致形状是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C.y=f(x)= 所以 x>0 时，图象与 y=a x 在第一象限的图象一样， x<0 时， 图象与 y=a x 的图象关于 x 轴对称 . 【 拓展延伸 】 　　　函数 y=a |x| (a>0 ，且 a≠0) 的图象与性质 a>1 00 ，且 a≠1) 在 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ______.  【 解析 】 因为函数在 上单调递减， 所以 所以 0a>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>b>c 【 思路导引 】 根据指数函数的单调性、中间值 1 进行比较 . 【 解析 】 选 B. 因为指数函数 y=0.8 x 在 R 上是减函数，所以 1>0.8 0.7 >0.8 0.9 . 因为指数函数 y=1.2 x 在 R 上是增函数，所以 1.2 0.8 >1. 综上可得 c>a>b. 【 变式探究 】 若 d=1.3 0.8 ，怎样比较 c ， d 的大小？ 【 解析 】 因为幂函数 y=x 0.8 在 (0 ， +∞) 上是增函数，所以 1.2 0.8 <1.3 0.8 ，即 c2x ，解得 x>3 或 x<-1 ，所以不等式的解集是 {x|x>3 或 x<-1}. 答案： {x|x>3 或 x<-1} 【 解题策略 】 1. 关于比较大小 (1) 底数相同的利用相应的指数函数的单调性比较； (2) 指数相同的利用相应的幂函数的单调性比较； (3) 底数、指数均不同的利用中间值 0 、 1 或图象进行比较 . 2. 关于解与指数相关的不等式 底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解 . 【 题组训练 】 1.(2020· 杭州高一检测 ) 三个数 a=(-0.3) 0 ， b=0.3 2 ， c=2 0.3 的大小关系为 ( 　　 ) A.a2 0 =1 ，因为 a=(-0.3) 0 =1 ，所以 ba 2x-1 (a>0 ，且 a≠1) 中 x 的取值范围 . 【 解析 】 对于 a 4x+5 >a 2x-1 (a>0 ，且 a≠1) ， 当 a>1 时，有 4x+5>2x-1 ，解得 x>-3 ； 当 01 时， x 的取值范围为 {x|x>-3} ； 当 00 ，且 a≠1) 的图象恒过定点 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-1 ， 2) B.(1 ， 2) C.(-1 ， 1) D.(0 ， 2) 【 解析 】 选 A. 依题意，由 x+1=0 得， x=-1 ， 将 x=-1 代入 f(x)=3-a x+1 得， f(-1)=3-a 0 =2 ， 所以函数 f(x)=3-a x+1 (a>0 ，且 a≠1) 的图象恒过定点 (-1 ， 2). 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 函数 y= 的定义域为 _______.  【 解析 】 函数有意义当且仅当 x 2 -1≠0 ，解得 x≠ ± 1. 答案： {x|x∈R 且 x≠ ± 1} 4. 若 ，则 a 的取值范围是 _______.  【 解析 】 若 ，则 a>0 ， 因为 所以函数 y=a x 为减函数，所以 03-4a ，即 a 2 +4a-5>0 ， 解得 x<-5 或 x>1. 答案： (- ∞ ， -5)∪(1 ， + ∞ ) 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 指数函数的 图象和性质 指数函数的图象 指数函数的性质 定义域、值域 过定点 单调性 利用单调性比较大小时，注意 1 的灵活运用 解决过定点问题的关键是令函数解析式中的指数为 0 函数 y=a f(x) 与 f(x) 的定义域相同 单调性的应用中注意不等符号的选择 直观想象：通过指数函数图象的应用，培养直观想象的核心素养 逻辑推理：通过单调性的应用，培养逻辑推理的核心素养

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