2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.6.1 直线与直线垂直 13页

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 学习目标 理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角. 知识点一 回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实 4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线 a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成 4 个角，其中不大于 90°的角称为这两条直线所成的角(或 夹角)；规定两直线平行时夹角为 0°，垂直时夹角为 90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是 0°≤α≤90°. 知识点二 异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任意一点 O 分别作直线 a′∥a，b′∥b，则异 面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)就是直线 a′与 b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. 1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( × ) 2.异面直线所成角的大小与点 O 的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点. ( √ ) 3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.( √ ) 4.不在某个平面内的两条直线为异面直线.( × ) 一、异面直线所成的角 例 1 如图，在正方体 ABCD－EFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求： (1)BE 与 CG 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角. 解 (1)∵CG∥FB， ∴∠EBF 是异面直线 BE 与 CG 所成的角. 在 Rt△EFB 中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE 与 CG 所成的角为 45°. (2)连接 FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形 FBDH 是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO 或其补角是 FO 与 BD 所成的角，连接 HA，AF， 则△AFH 是等边三角形， 又 O 是 AH 的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO 与 BD 所成的角为 30°. 反思感悟 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°. 跟踪训练 1 如图所示，在长方体 ABCD－EFGH 中，AB＝AD＝2 3，AE＝2. (1)求直线 BC 和 EG 所成的角； (2)求直线 AE 和 BG 所成的角. 解 (1)连接 AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB 即是 BC 和 EG 所成的角. ∵在长方体 ABCD－EFGH 中，AB＝AD＝2 3， ∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°， ∴直线 BC 和 EG 所成的角是 45°. (2)∵AE∥BF，∴∠FBG 即是 AE 和 BG 所成的角. 易知 tan∠FBG＝ 3， ∴∠FBG＝60°， ∴直线 AE 和 BG 所成的角是 60°. 二、直线与直线垂直 例 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD1 与 DC1 相交于点 O，求证：AO⊥A1B. 证明 如图，∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴A1D1 綉 BC， ∴四边形 A1D1CB 是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线 AO 与 A1B 所成角即为直线 AO 与 D1C 所成角， 连接 AC，AD1，易证 AC＝AD1， 又 O 为 CD1 的中点，∴AO⊥D1C， ∴AO⊥A1B. 反思感悟 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角， 即得到两直线垂直. 跟踪训练 2 如图，在正三棱柱 ABC－A′B′C′中，E 为棱 AC 的中点，AB＝BB′＝2.求证： BE⊥AC′. 证明 取 CC′的中点 F，连 EF，BF， ∵E 为 AC 的中点，F 为 CC′的中点， ∴EF∥AC′，∴BE 和 EF 所成角∠BEF 即为异面直线 BE 与 AC′所成角，且 EF＝1 2AC′. 在正三棱柱 ABC－A′B′C′中，AC′＝2 2，∴EF＝ 2. 在等边△ABC 中，BE＝ 22－12＝ 3， 在 Rt△BCF 中，BF＝ 22＋12＝ 5. 在△BEF 中 BE2＋EF2＝BF2， ∴BE⊥EF，即 BE⊥AC′. 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 答案 D 2.在三棱锥 S－ABC 中，与 SA 是异面直线的是( ) A.SB B.SC C.BC D.AB 答案 C 3.在正方体 AC1 中，E，F 分别是线段 BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系 是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 答案 A 解析 如图，在正方体 AC1 中，∵A1B∥D1C， ∴A1B 与 D1C 可以确定平面 A1BCD1， 又∵EF⊂平面 A1BCD1，且两直线不平行， ∴直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是相交. 4.如图，在三棱锥 A－BCD 中，E，F，G 分别是 AB，BC，AD 的中点，∠GEF＝120°，则 BD 与 AC 所成角的度数为________. 答案 60° 解析 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF 或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的 角，又∠GEF＝120°，所以异面直线 BD 与 AC 所成的角为 60°. 5.在如图所示的正方体中，M，N 分别为棱 BC 和 CC1 的中点，则异面直线 AC 和 MN 所成 的角为________. 答案 60° 解析 连接 BC1，AD1， ∵MN∥BC1∥AD1， ∴∠D1AC 或其补角是异面直线 AC 和 MN 所成的角，连接 CD1. ∵△ACD1 是等边三角形，∴∠D1AC＝60°. 1.知识清单： (1)平面内两直线的夹角. (2)异面直线所成的角. (3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是 0°<θ≤90°. 1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 答案 D 解析 当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两 条直线的位置关系有可能相交或异面或平行. 2.已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，l⊂平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1 不平行，则下列一定 不可能的是( ) A.l 与 AD 平行 B.l 与 AB 异面 C.l 与 CD 所成的角为 30° D.l 与 BD 垂直 答案 A 解析 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， l⊂平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1 不平行. 由于 AD∥B1C1，∴l 必与直线 AD 不平行. 3.设 P 是直线 l 外一定点，过点 P 且与 l 成 30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 答案 A 解析 如图所示，过点 P 作直线 l′∥l，以 l′为轴，与 l′成 30°角的圆锥面的所有母线都 与 l 成 30°角，除去两条与 l 共面的母线，其余都符合要求. 4.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切 值为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 答案 C 解析 如图，连接 BE，∵AB∥CD， ∴异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即∠EAB. 不妨设正方体的棱长为 2，则 CE＝1，BC＝2，由勾股定理得 BE＝ 5，AC＝2 2，AE＝3. ∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE， ∴tan∠EAB＝BE AB ＝ 5 2 . 5.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 B1D1 与 CD 所成角的大小是________. 答案 45° 6.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 A1B1 所成角的余弦值 为________. 答案 1 3 解析 设棱长为 1，∵A1B1∥C1D1， ∴∠AED1(或其补角)就是异面直线 AE 与 A1B1 所成的角. 在△AED1 中，cos∠AED1＝D1E AE ＝ 1 2 3 2 ＝1 3. 7.在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若 AB＝AC＝AA1＝1，BC＝ 2，则异面直 线 A1C 与 B1C1 所成的角为________. 答案 60° 解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1， 则直线 A1C 与 BC 所成的角就是异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角. 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接 BA1， ∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝ 2，CA1＝ 2. ∴△BCA1 是等边三角形， ∴异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为 60°. 8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°； ③EF 与 MN 是异面直线； ④MN∥CD. 以上结论正确的为________.(填序号) 答案 ①③ 解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF 与 MN 是异面直线， AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确. 9.P 是平面 ABC 外一点，PA＝4，BC＝2 5，D，E 分别为 PC，AB 的中点，且 DE＝3.求异 面直线 PA 与 BC 所成的角的大小. 解 如图，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF，在△PAC 中， ∵D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点，∴DF∥PA. 同理可得 EF∥BC. ∴∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角). 在△DEF 中，DE＝3， 又 DF＝1 2PA＝2，EF＝1 2BC＝ 5， ∴DE2＝DF2＋EF2， ∴∠DFE＝90°，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90°. 10.如图，已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E，F 分别是 BD1 和 AD 的中点.证 明：CD1⊥EF. 证明 如图，取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG. ∵E 是 BD1 的中点， ∴EG∥BC，EG＝1 2BC， ∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝1 2BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形 EFDG 是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1 都是正方形， 又 G 为 CD1 的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线 CD1 与 EF 所成的角为 90°， ∴CD1⊥EF. 11.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BC，BB1 的中点，则下列直线中与直 线 EF 相交的是( ) A.直线 AA1 B.直线 A1B1 C.直线 A1D1 D.直线 B1C1 答案 D 解析 根据异面直线的概念可看出直线 AA1，A1B1，A1D1 都和直线 EF 为异面直线；B1C1 和 EF 在同一平面内，且这两直线不平行. ∴直线 B1C1 和直线 EF 相交，即选项 D 正确. 12.如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC＝8，BD＝6，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并 且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°，则 MN＝________. 答案 5 解析 取 AD 的中点 P，连接 PM，PN， 则 BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN 即为异面直线 AC 与 BD 所成的角， ∴∠MPN＝90°， PN＝1 2AC＝4，PM＝1 2BD＝3， ∴MN＝5. 13.如图，若正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 底面边长为 2，高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成 角的正弦值是________. 答案 30 6 解析 ∵AD∥BC，∴∠D1BC 即为异面直线 BD1 与 AD 所成的角(或其补角)， 连接 D1C，在△D1BC 中， ∵正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面边长为 2，高为 4， ∴D1B＝2 6，BC＝2，D1C＝2 5，D1B2＝BC2＋D1C2， ∴∠D1CB＝90°， ∴sin∠D1BC＝D1C D1B ＝2 5 2 6 ＝ 30 6 ， 故异面直线 BD1 与 AD 所成角的正弦值是 30 6 . 14.在空间四边形 ABCD 中，AB＝CD，且 AB 与 CD 所成的角为 30°，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 与 AB 所成角的大小为________. 答案 15°或 75° 解析 如图所示，取 AC 的中点 G，连接 EG，FG， 则 EG∥AB 且 EG＝1 2AB， GF∥CD 且 GF＝1 2CD， 由 AB＝CD 知 EG＝FG， 从而可知∠GEF 为 EF 与 AB 所成角，∠EGF 或其补角为 AB 与 CD 所成角. ∵AB 与 CD 所成角为 30°，∴∠EGF＝30°或 150°， 由 EG＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°， 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故 EF 与 AB 所成角的大小为 15°或 75°. 15.如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，BC＝ 2，DA⊥AC，DA⊥AB，若 DA＝1，且 E 为 DA 的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为________. 答案 10 10 解析 取 AC 的中点 F，连接 EF，BF. 在△ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). 在 Rt△ABC 中，BC＝ 2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1. 在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝1 2AD＝1 2 ，∴BE＝ 5 2 . 在 Rt△AEF 中，AF＝1 2AC＝1 2 ，AE＝1 2 ，∴EF＝ 2 2 . 在 Rt△ABF 中，AB＝1，AF＝1 2 ，∴BF＝ 5 2 . 在等腰三角形 EBF 中，cos∠FEB＝ 1 2EF BE ＝ 2 4 5 2 ＝ 10 10 ， ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 10 . 16.在空间四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，BC＝ 3，且 AD⊥BC，BD＝ 13 2 ，AC＝ 3 2 ，求 AC 与 BD 所成的角的大小. 解 如图，在空间四边形 ABCD 中，分别取 AB，AD，CD，AC 的中点 E，F，G，H，连接 EF，FG，GE，EH，HG. 由中位线的性质， 得 EF 綉 1 2BD，FG 綉 1 2AC， 则∠EFG 为 BD 与 AC 所成的角(或其补角)， 又 EH∥BC，HG∥AD，且 AD⊥BC，所以 EH⊥HG， 所以 EG2＝EH2＋HG2＝ 1 2BC 2＋ 1 2AD 2＝1 4 ×( 3)2＋1 4 ×12＝1. 在△EFG 中，EF2＝1 4BD2＝13 16 ，FG2＝1 4AC2＝ 3 16 ，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°， 即 AC 与 BD 所成的角为 90°.