高中数学必修1教案：第二章（第25课时）函数应用举例3 4页

课 题：2.9.3函数应用举例3‎ 教学目的： ‎ ‎1．使学生适应各学科的横向联系.‎ ‎2.能够建立一些物理问题的数学模型.‎ ‎3.培养学生分析问题、解决问题的能力.‎ 教学重点：数学建模的方法 教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： ‎ 一、复习引入：‎ 上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型 二、新授内容：‎ 例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）‎ 解：将 x = 0 , y =；x = 1000 , y =， 代入 得： ‎ ‎ 将 (1) 代入 (2) 得：‎ ‎ ‎ ‎ 计算得： ∴‎ ‎ 将 x = 600 代入, 得： ‎ ‎ 计算得：＝0.943×105(Pa)‎ 答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.‎ 说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.‎ 例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,……, 共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从,,……, 推出的a=________.(1994年全国高考试题)‎ 分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.‎ 解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+…+(a-) 最小 由于y=na-2(++…+)a+(++…+)‎ 若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.‎ 因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.‎ 当a= (++…+)，y有最小值.‎ 所以a= (++…+)即为所求.‎ 说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即 y=(a-)+(a-)+…+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.‎ 例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.‎ ‎（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=时，t的值.‎ 解：（1）由于＞0,λ＞0，函数N=是属于指数函数y=‎ 类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少 ‎（2）将N=写成=‎ 根据对数的定义有-λt=ln 所以t=- (lnN-ln)= (ln-lnN) ‎ ‎(3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)‎ ‎= (ln-ln+ln2)= ln2.‎ 三、练习：‎ ‎1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x ‎⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值 解：⑴过P作PD^AB于D，连PB 设AD=a则 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎⑵‎ 当时 ‎ 当时 ‎2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？‎ 解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t 过D作DE^BC于E DE=BDsin60°=10t BE=BDcos60°=10t ‎∴EC=BC+BE=100-5t ‎ CD==‎ ‎∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近 ‎3．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？‎ 解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m ‎ ‎ 设：y = k x + b 由题设：‎ ‎ ∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50‎ ‎ ∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m 四、小结 ：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.‎ 五、课后作业：‎ 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m如果某段铁路两端相距156m，弧所对的圆心角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围 分析：以弓形的高x为自变量，半径R为孙函数，求出R关于x的函数关系式 ‎ 解：如图，设圆弧的半径OA=OB=Rm,圆弧弓形的高CD=xm,‎ 在RtΔBOD中，DB=78，OD=R-x A O B C D 则∴‎ 依题意 R≥600 即 ‎ ‎ ≥600 ‎ ‎∴≥0‎ ‎ 解得 ≤5.1 或 ≥1194.9(不合题意)‎ ‎ 答：圆弧弓形的高的允许值范围是（0，5.1）. ‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎