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- 2021-06-16 发布
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林芝二高2019-2020学年第二学期第一学段
高二年级理科数学试卷
总分:150分;考试时间:120分钟;
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共60分,每小题5分)
1. 已知集合A={x∈Z|﹣1<x<5},B={x|0<x≤2},则A∩B=( )
A. {x|﹣1<x≤2} B. {x|0<x<5} C. {0,1,2} D. {1,2}
【答案】D
【解析】
【分析】
列举法表示集合A,直接进行交集运算.
【详解】∵集合A={x∈Z|﹣1<x<5}={0,1,2,3,4},
B={x|0<x≤2},
∴A∩B={1,2}.
故选:D.
【点睛】本题考查集合交集运算,属于基础题.
2. 已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )
A. 1 B. -1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的除法先求出复数,进而可得出结果.
【详解】因为,所以,所以虚部为1.
故选A
【点睛】本题主要考查复数的运算和概念,熟记复数的运算法则即可,属于基础题型.
- 13 -
3. 如图所示的程序框图,运行后输出的结果为( )
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【详解】执行如图程序框图:当n=2,b=1,当n=3,b=2,当n=4,b=4,当n=5,b=16,当n=5则输出b故选C
4. 已知函数在处的切线与直线垂直,则( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. -1
【答案】C
【解析】
分析:根据切线方程和直线垂直的结论即可.
详解:由题可知:函数在处的切线的斜率为,直线的斜率为-1,故=-1得1,故选C.
点睛:考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论,属于基础题.
5. 设是函数的导函数, 的图象如图所示,则的图象最有可能的是( )
- 13 -
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象,由的符号,确定原函数的单调性,确定的图象.
【详解】从的图象可以看出当, , 在上为增函数;当时,
, 在上为减函数;当时, , 在上为增函数,符合的图象是C.
故选:C.
【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系,属于容易题.
6. 已知函数在处的极值为10,则( ).
A. B. C. 15 D. 或15
【答案】C
【解析】
【分析】
- 13 -
由题,可得,通过求方程组的解,即可得到本题答案,记得要检验.
【详解】因为,所以,由题,得,即,解得或,因为当时,恒成立,在R上递增,无极值,故舍去,所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题,得到两组解后检验,是解决此题的关键.
7. 定积分的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:=.故选C.
考点:1.微积分基本定理;2.定积分计算.
8. 的展开式中的系数为( )
A. 6 B. 24 C. 32 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项可得,令可求得结果.
【详解】因为的第项展开式,
令,则含项系数为,
故选:B.
- 13 -
【点睛】该题考查是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有二项展开式通项的应用,项的系数,属于简单题目.
9. 在极坐标系中,点对应的直角坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设点直角坐标为,根据,即可求解.
【详解】设点的极坐标化成直角坐标为,
则,,
故点的极坐标化成直角坐标为.
故选:C.
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化,属于基础题.
10. 已知,那么( )
A. 20 B. 30 C. 42 D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】
通过计算n,代入计算得到答案.
【详解】
答案选B
【点睛】本题考查了排列数和组合数的计算,属于简单题.
11. 教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )
- 13 -
A. 10种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】
通过层与层之间的走法,利用分步计数原理求解一层到五层的走法.
【详解】共分4步:一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2种,四层到五层2种,
利用分步计数原理可得:一共种.
故选:D.
【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用,解题关键是理解好题意,从一层到五层共分四步,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
12. 在极坐标系中,圆的圆心的极坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由圆,化为,∴,
化为,
∴圆心为,半径r=.
∵tanα=,取极角,
∴圆的圆心的极坐标为.
故选A.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共20分,每小题5分)
13. 曲线在点处的切线的倾斜角为__________.
【答案】45°
- 13 -
【解析】
【分析】
欲求在点(1,3)处的切线倾斜角,先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1,再结合正切函数的值求出角α的值即可.
【详解】y′=3x2﹣2,切线的斜率k=3×12﹣2=1.故倾斜角为45°.
故答案为45°.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及利用斜率求倾斜角,本题属于基础题.
14. 若函数,是的导函数,则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,求出函数的导数,将代入导数的解析式,计算可得答案.
【详解】根据题意,函数,其导数,
则,
故答案为:
【点睛】本题考查函数导数的计算,关键是掌握函数导数的计算公式,属于基础题.
15. 已知二项式的展开式中的常数项为,则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得常数项,再根据常数项等于求得实数的值.
【详解】二项式的展开式中的通项公式为,
令,求得,可得常数项为,,
故答案为.
- 13 -
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
16. 在极坐标系中,点到直线的距离为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
将A和直线化成直角坐标系下点和方程,再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由已知,在直角坐标系下,,直线方程为,
所以A到直线距离为.
故答案为:3
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,点到直线的距离,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.
三、解答题(本题共70分)
17. 复数.
(Ⅰ)实数m为何值时,复数z为纯虚数;
(Ⅱ)若m=2,计算复数.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:
(1)复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为零,据此可得;
(2)利用复数的运算法则计算可得.
试题解析:
(1)欲使z为纯虚数,则须且,所以得
(2)当m=2时,z=2+,=2-,故所求式子等于=
18. 已知函数,求:
- 13 -
(1)函数的图象在点处的切线方程;
(2)的单调区间及极值.
【答案】(1);(2)减区间为,,增区间为;极小值为,极大值为25.
【解析】
【分析】
(1)先求出,再对函数求导,将代入,求出,利用切线公式即可写出切线方程,;(2)由(1)中的导函数可知,令,求出单减区间,;令,求出单增区间,进而求出的极值.
【详解】(1)显然由题意有,,,
∴
∴由点斜式可知,切线方程为:;
(2)由(1)有
∴时,或
时,
∴的单减区间为,;单增区间为
∴在处取得极小值,
在处取得极大值.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程,利用导数处理函数的单调区间和极值,要求学生会求解基本初等函数的导函数,会处理理函数的极大值极小值,为容易题.函数在点处的切线方程为:.
19. 男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
- 13 -
(4)既要有队长,又要有女运动员.
【答案】(1)120;(2)246;(3)196;(4)191.
【解析】
【分析】
(1)本题是一个分步计数问题,第一步计算选3名男运动员选法数,第二步计算选2名女运动员的选法数,再利用乘法原理得到结果.
(2)利用对立事件,“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”,得到从10人中任选5人的选法数,再得到全是男运动员选法数,相减即可.
(3)分三类讨论求解,第一类“只有男队长”,第二类“只有女队长”,第三类 “男女队长都入选”,然后相加即可.
(4)分两类讨论求解,第一类,当有女队长时,其他人选法任意,第二类不选女队长,必选男队长,其中要减去不含女运动员的选法,然后相加即可.
【详解】(1)分两步完成,首先选3名男运动员,有种选法,
再选2名女运动员,有种选法,
共有种选法.
(2)“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”,
从10人中任选5人,有种选法,全是男运动员有种选法,
所以“至少有1名女运动员”的选法有种选法.
(3)“只有男队长”的选法有种,“只有女队长”的选法有种,“男女队长都入选”的选法有种,
所以队长中至少有1人参加的选法共有种;
(4)当有女队长时,其他人选法任意,共有种,
不选女队长,必选男队长,共有种,其中不含女运动员的选法有种,此时共有种,
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所以既要有队长,又要有女运动员的选法共有种.
【点睛】本题主要考查分步,分类计数原理以及组合的分配问题,还考查了理解辨析和运算求解的能力,属于中档题.
20. 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),椭圆的参数方程为(为参数)
(1)将直线的参数方程化为极坐标方程;
(2)设直线与椭圆相交于,两点,求线段的长.
【答案】(1)(2)
【解析】
【详解】(1)直线的参数方程化为普通方程为,
代入互化公式可得直线的极坐标方程
(2)椭圆的普通方程为,将直线的参数方程,代入,
得,即,解得,,
所以.
考点:极坐标方程,利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长
21. 在极坐标系下,已知圆:和直线:.
(Ⅰ)求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程;
(Ⅱ)求圆上的点到直线的最短距离.
【答案】(Ⅰ):,:;(Ⅱ)
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【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据进行直角坐标与极坐标互化,(Ⅱ)根据圆心到直线距离减去半径得结果.
【详解】(Ⅰ)圆:,即,
圆的直角坐标方程为:,即;
直线:,则直线的极坐标方程为.
(Ⅱ)由圆的直角坐标方程为可知圆心坐标为,半径为,因为圆心到直线的距离为,因此圆上的点到直线的最短距离为.
【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系,考查基本分析求解能力,属中档题.
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
写出曲线C的极坐标方程;
设点M的极坐标为,过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若,求AB的弦长.
【答案】(1);(2)3
【解析】
【分析】
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将参数方程转化为直角坐标方程,然后转化为极坐标方程可得曲线C的极坐标方程为.
设直线l的参数方程是(为参数,与圆的方程联立可得,结合题意和直线参数的几何意义可得弦长.
【详解】曲线C的参数方程为(为参数.
曲线C的直角坐标方程为,
曲线C的极坐标方程为,
即曲线C的极坐标方程为.
设直线l的参数方程是(为参数,
曲线C的直角坐标方程是,,
联立,得,
,且,,
则,或,,
的弦长.
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法,直线参数方程的几何意义及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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