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- 2021-06-16 发布
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NCS20200707项目第二次模拟测试卷文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数,则等于( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的乘法运算得到,再利用模的计算公式计算即可.
【详解】由已知,,所以.
故选:B
【点睛】本题考查复数的乘法以及复数模的计算,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.
2.集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
集合中元素为函数的自变量,集合中元素为函数因变量,化简集合,根据交集定义,即可求得.
【详解】
集合中元素为函数的自变量
由,即
解得:
- 26 -
集合中元素为函数因变量
由
故选:C
【点睛】本题主要考查了集合交集运算,解题关键是掌握交集定义,在处理关于函数集合问题时,要注意集合中的元素是自变量还是因变量,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
3.已知空间内两条不同的直线,,则“”是“与没有公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案.
【详解】空间内两条不同的直线,
由“”可以推出“与没有公共点”
“”是“与没有公共点”充分条件
在空间中“与没有公共点”, 与可以是或异面直线
故:“与没有公共点”不能推出“”
“”是“与没有公共点”不必要条件
“”是“与没有公共点”的充分不必要条件
故选:A.
【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,在空间中两条不同直线没有交点可以是平行或者异面,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
4.已知,则不等式的解集是( )
- 26 -
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分,两种情况讨论,分别解不等式组,再求并集即可.
【详解】当时,,解得,所以;
当时,,解得,所以;
综上,不等式的解集是.
故选:D
【点睛】本题考查解分段函数不等式,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道容易题.
5.已知函数的图象关于原点对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
因为函数的图象关于原点对称,可得函数为定义域为奇函数,根据奇函数性质,可得,求得值,进而求得.
【详解】函数的图象关于原点对称
可得:为定义域为奇函数
根据奇函数性质
令,可得
又
- 26 -
故
故选:A.
【点睛】本题解题关键是掌握奇函数在定义域包含时,,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
6.已知中角,,所对的边分别为,,,若,,则角等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为,根据正弦定理:“边化角”,结合余弦二倍角公式,即可求得角.
【详解】
根据正弦定理:“边化角”
可得:①
又
②
联立①②可得:
即
即:
解得:(舍去)或③
由①③可得:
结合
故选:C.
- 26 -
【点睛】本题考查了求三角形一个内角,解题关键是掌握正弦定理“边化角”和余弦二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
7.已知为不共线的两个单位向量,且在上的投影为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
由已知得到,进一步得到,再代入中计算即可.
【详解】设的夹角为,由已知,,,,
所以,
所以.
故选:D
【点睛】本题考查向量模的计算,涉及到向量的投影,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.
8.直线被圆截得最大弦长为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出圆心到直线的距离,再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
【详解】由已知,圆的标准方程为,圆心为,半径,
圆心到直线的距离,解得,
所以弦长为,因为,
- 26 -
所以,所以弦长,
当即时,弦长有最大值.
故选:D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,涉及到垂径定理,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.
9.函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由可排除A、D;再利用导函数判断在上的单调性,即可得出结论.
【详解】因为,故排除A、D;
,
令,
在是减函数,,
在是增函数,
,
- 26 -
存在,使得,
单调递减,
单调递增,
所以选项B错误,选项C正确.
故选:C
【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题,利用导数研究函数单调性是解题的关键,考查学生逻辑推理能力,是一道中档题.
10.已知抛物线的焦点为,是抛物线上一点,过作抛物线准线的垂线,垂足为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,由,结合图象,根据抛物线定义,数学结合,即可求得答案.
【详解】求,不妨设
根据题意画出图形:如图
为抛物线准线,过作垂线,交点为
,设(),可得
根据抛物线定义可知,
- 26 -
又,可得
在和
解得
,故点横坐标为
故:
故选:D.
【点睛】本题主要考查了求抛物线上点的坐标问题,解题关键是掌握抛物线定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影,在A处测得B处的仰角为37度,在A处测得C处的仰角为45度,在B处测得C处的仰角为53度,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为( )(参考数据)
- 26 -
A. 30米 B. 50米 C. 60米 D. 70米
【答案】B
【解析】
【分析】
设,则,,,再由建立方程即可得到答案.
【详解】由题意,作出示意图如图所示,
由已知,,,,,
设,则,
,,
所以由,得,解得,又A点所在等高线值为20米,
故B点所在等高线值为米.
故选:B
【点睛】本题考查解三角形的实际应用,读懂题意,弄清题中数据是代表什么是本题解题关键,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.
12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点,下列判断:①在上有2个最大值点;②在上最少3个零点,最多4个零点;③;④在上单调递减.其中所有正确判断的序号是( )
- 26 -
A. ④ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
因为函数在区间上有且仅有2个最小值点,画出函数图象,结合函数图象,逐项判断,即可求得答案.
【详解】是定义域为
在上有且仅有2个最小值点
解得:
故③错误;
当时,由
可得:
由图象可知此时有个最大值
故①错误;
当时,由
- 26 -
可得
由图象可知此时有零点
故②错误;
当时
可得:
此时单调减函数,
故④正确.
综上所述,正确④
故选:A
【点睛】本题的解题关键是掌握正弦函数图象特征,整体法求零点的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
因为约束条件,可化简为:,画岀可行域,目标函数,变形为,即可求得答案.
【详解】
- 26 -
化简为:
画岀可行域和目标函数,如图:
目标函数,变形为
联立,解得,即点
当过与点时,在轴截距最大
目标函数的最大值为:
故答案为:.
【点睛】线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.
14.已知函数,,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
函数,,可得:,即,求得值,根据均值不等式,即可求得最小值.
【详解】函数,
,可得:
- 26 -
故:,且
根据均值不等式:
当且仅当取等号
的最小值为:
故答案为:
【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值问题,解题关键是掌握均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值时,要注意验证等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
15.已知,分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为,若,则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程,联立求出点的坐标,根据,求出,之间的关系,进而求出离心率即可.
【详解】以为直径的圆的圆心是,半径为:;
故圆的标准方程为:
又双曲线的其中一条渐近线方程为:
不妨设在第一象限
联立可得:
,
根据两点间距离公式可得:
- 26 -
故:
可得:
,即
双曲线的离心率为:
故答案为:
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率问题,解题关键是掌握双曲线离心率定义,根据所给条件,求出关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,,E为PD中点,过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M,N,且,则________;四边形EMBN的面积为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
延伸平面,交所在的平面于,即平面平面,可得,在三角形和中,利用平面几何三角形全等和平行线中的比例关系可得;至于四边形EMBN的面积,连接,,可证明,求出
的长度,通过面积公式可得答案.
【详解】
- 26 -
延伸平面,交所在的平面于,即平面平面,
又平面平面,
,即三点共线,
又,由线面平行的性质定理可得,
则,即,
点为的中点,又E为PD中点,
则,
,
,又,
,则,
过作交于点,
,
则,
;
连接,
由同理可得,
,
又平面ABCD,平面ABCD,
,又,
面,又面,
,,
,
,
又,
所以四边形EMBN的面积为.
- 26 -
故答案为:;.
【点睛】
本题考查空间线面平行的判定和性质,考查空间线面垂直的判定和性质,关键是利用线面平行的性质合理作出图像,考查学生的作图能力和计算能力,是中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分
17.甲、乙两位战士参加射击比赛训练.从若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据,并分别求两组数据的中位数;
(2)现要从中选派一人参加射击比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位战士参加合适?请说明理由.
【答案】(1)茎叶图见解析,甲的中位数83,乙的中位数84;(2)派甲参赛比较合适,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)将成绩的十位数作为茎,个位数作为叶,可得茎叶图,根据数的大小可得中位数;
- 26 -
(2)计算甲与乙的平均数与方差,即可求得结论.
【详解】(1)作出茎叶图如图:
从茎叶图中得出甲的中位数为,
而乙的中位数为;
(2),
,
,
,
,,
甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.
【点睛】本题考查茎叶图,考查平均数与方差的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.
18.已知等差数列的公差为,前n项和为,且满足____________.(从①);②成等比数列;③,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题)
(I)求;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和.
【答案】(I)选择①②、①③、②③条件组合,均得﹔(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(I)先将①②③条件简化,再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可;
- 26 -
(Ⅱ),利用错位相减法计算即可.
【详解】(I)①由,得,即;
②由,,成等比数列,得,,即﹔
③由,得,即;
选择①②、①③、②③条件组合,均得、,即﹔
(Ⅱ)由(I)得,
所以,
,
两式相减得:,
得.
【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题,涉及到基本量的计算,错位相减法求数列的和,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.
19.如图所示,四棱柱,底面ABCD是以AB,CD为底边的等腰梯形,且,,.
(1)求证:平面平面ABCD;
(2)若,求三棱锥的体积.
- 26 -
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)在中,利用余弦定理求出,可得,再加上,可得平面,进而可得平面平面ABCD;
(2)取BD的中点O,由(1)可得出面ABCD,通过平面ABCD,得,代入条件可得答案.
【详解】(1)中,,,,
则,
,
即,又,,
平面,
又面ABCD,所以平面平面ABCD.
(2)取BD的中点O,由于,所以,
由(1)可知平面面ABCD,而平面面,
平面,故面ABCD.
因为,,则,
因为平面ABCD,
所以
.
- 26 -
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查锥体体积的计算,关键是利用线线平行转换锥体的顶点求体积,是中档题.
20.已知函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若恒成立,求实数a最大值.(e为自然对数的底)
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)求得,分,,讨论,可得在区间上的单调性;
(2)将恒成立转化为恒成立,令,求导可得,可得,利用导数研究函数的单调性,以及,可得实数a的最大值.
【详解】(1)由已知,
时,﹔时,,
①当时,在上单调递增;
②当时,在上单调递减,上单调递增;
③当时,在的单调递减;
(2)由已知恒成立,
令,则,
- 26 -
由(1)知:在上单调递减,在上单调递增,
则,即
整理得,
令,恒成立,即在R上单调递增,
而,,
所以,即a的最大值为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,将恒成立问题转化为最值问题是关键,考查学生的转化能力及计算能力,是中档题.
21.已知椭圆,过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A,B和C,D四点,其中A为椭圆E的右顶点.
(1)求以AB为直径的圆的方程;
(2)设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M,N两点,探究直线MN是否经过定点,若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)经过定点,.
【解析】
【分析】
(1)由已知得AB方程:,与椭圆方程联立可求出,则可求出以AB为直径的圆的圆心和半径,进而可求出圆的方程;
(2)当CD斜率存在时,并设CD方程:,与椭圆方程联立,通过根与系数的关系可得以CD为直径的圆方程,将其与以AB为直径的圆的方程作差,可得直线MN的方程,进而可得直线MN过的定点,当CD斜率不存在时,直线MN也过的定点,进而可得答案.
【详解】(1)由已知,则,故AB方程:,
- 26 -
联立直线AB与椭圆方程,消去y可得:,得,即,
从而以AB为直径的圆的圆心为,半径为,
所以圆的方程为,
即.;
(2)①当CD斜率存在时,并设CD方程:,
设,
由,消去y得:,
故,,
从而,
,
而以CD为直径的圆方程为:,
即①,
且以AB为直径的圆方程为②,
②-①得直线,
即
整理得,
可得:,
因为AB与 CD两条直线互异,则,
即,
- 26 -
令,解得,即直线MN过定点;
②当CD斜率不存在时,CD方程:,知,,
则以CD为直径的圆为,
而以AB为直径的圆方程,
两式相减得MN方程:,过点;
综上所述,直线MN过定点.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,注意两圆公共弦的求解以及已知直径求圆的方程的方法,是中档题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.平面直角坐标系xOy中,抛物线E顶点在坐标原点,焦点为.以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求抛物线E极坐标方程;
(Ⅱ)过点倾斜角为的直线l交E于M,N两点,若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由已知,利用代入即可;
(Ⅱ)设过点A的直线l参数方程为(t为参数)代入中得到根与系数的关系,再由,利用直线参数方程的几何意义解决.
【详解】(Ⅰ)由题意抛物线E的焦点为,所以标准方程为,
- 26 -
故极坐标方程为﹔
(Ⅱ)设过点A的直线l参数方程为(t为参数),
代入,化简得,设所对的参数分别为
,
则,,
且
由,A在E内部,知,
得或,
所以,当时,解得,
当时,解得
所以或.
【点晴】本题考查普通方程与极坐标方程的互化,以及直线的参数方程的几何意义解决线段长度等问题,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.
选修4-5:不等式选讲
23.已知,.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)求证:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】
- 26 -
(Ⅰ)当时,不等式为,平方转化为解不等式即可;
(Ⅱ)利用绝对值三角不等式即可证明.
【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,平方得,
则,得,即或,
所以,所求不等式的解集;
(Ⅱ)因为
,
又,
所以,不等式得证.
【点晴】本题考查解绝对值不等式以及利用绝对值三角不等式证明不等式,考查学生的数学运算能力,逻辑推理能力,是一道容易题.
- 26 -
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