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  • 2021-06-16 发布

江西省南昌市2020届高三第二次模拟数学(文)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com NCS20200707项目第二次模拟测试卷文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数,则等于( )‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的乘法运算得到,再利用模的计算公式计算即可.‎ ‎【详解】由已知,,所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复数的乘法以及复数模的计算,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.‎ ‎2.集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合中元素为函数的自变量,集合中元素为函数因变量,化简集合,根据交集定义,即可求得.‎ ‎【详解】‎ 集合中元素为函数的自变量 由,即 解得:‎ - 26 -‎ 集合中元素为函数因变量 由 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了集合交集运算,解题关键是掌握交集定义,在处理关于函数集合问题时,要注意集合中的元素是自变量还是因变量,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知空间内两条不同的直线,,则“”是“与没有公共点”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】空间内两条不同的直线,‎ 由“”可以推出“与没有公共点”‎ ‎“”是“与没有公共点”充分条件 在空间中“与没有公共点”, 与可以是或异面直线 故:“与没有公共点”不能推出“”‎ ‎“”是“与没有公共点”不必要条件 ‎“”是“与没有公共点”的充分不必要条件 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,在空间中两条不同直线没有交点可以是平行或者异面,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.‎ ‎4.已知,则不等式的解集是( )‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分,两种情况讨论,分别解不等式组,再求并集即可.‎ ‎【详解】当时,,解得,所以;‎ 当时,,解得,所以;‎ 综上,不等式的解集是.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查解分段函数不等式,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道容易题.‎ ‎5.已知函数的图象关于原点对称,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数的图象关于原点对称,可得函数为定义域为奇函数,根据奇函数性质,可得,求得值,进而求得.‎ ‎【详解】函数的图象关于原点对称 可得:为定义域为奇函数 根据奇函数性质 令,可得 又 - 26 -‎ 故 故选:A.‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握奇函数在定义域包含时,,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知中角,,所对的边分别为,,,若,,则角等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,根据正弦定理:“边化角”,结合余弦二倍角公式,即可求得角.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理:“边化角”‎ 可得:①‎ 又 ‎②‎ 联立①②可得:‎ 即 即:‎ 解得:(舍去)或③‎ 由①③可得:‎ 结合 故选:C.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了求三角形一个内角,解题关键是掌握正弦定理“边化角”和余弦二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎7.已知为不共线的两个单位向量,且在上的投影为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知得到,进一步得到,再代入中计算即可.‎ ‎【详解】设的夹角为,由已知,,,,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查向量模的计算,涉及到向量的投影,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.‎ ‎8.直线被圆截得最大弦长为( )‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心到直线的距离,再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知,圆的标准方程为,圆心为,半径,‎ 圆心到直线的距离,解得,‎ 所以弦长为,因为,‎ - 26 -‎ 所以,所以弦长,‎ 当即时,弦长有最大值.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,涉及到垂径定理,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.‎ ‎9.函数图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由可排除A、D;再利用导函数判断在上的单调性,即可得出结论.‎ ‎【详解】因为,故排除A、D;‎ ‎,‎ 令,‎ 在是减函数,,‎ 在是增函数,‎ ‎,‎ - 26 -‎ 存在,使得,‎ 单调递减,‎ 单调递增,‎ 所以选项B错误,选项C正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题,利用导数研究函数单调性是解题的关键,考查学生逻辑推理能力,是一道中档题.‎ ‎10.已知抛物线的焦点为,是抛物线上一点,过作抛物线准线的垂线,垂足为,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形,由,结合图象,根据抛物线定义,数学结合,即可求得答案.‎ ‎【详解】求,不妨设 根据题意画出图形:如图 为抛物线准线,过作垂线,交点为 ‎,设(),可得 根据抛物线定义可知,‎ - 26 -‎ 又,可得 在和 解得 ‎,故点横坐标为 故:‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求抛物线上点的坐标问题,解题关键是掌握抛物线定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影,在A处测得B处的仰角为37度,在A处测得C处的仰角为45度,在B处测得C处的仰角为53度,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为( )(参考数据)‎ - 26 -‎ A. 30米 B. 50米 C. 60米 D. 70米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,则,,,再由建立方程即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意,作出示意图如图所示,‎ 由已知,,,,,‎ 设,则,‎ ‎,,‎ 所以由,得,解得,又A点所在等高线值为20米,‎ 故B点所在等高线值为米.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用,读懂题意,弄清题中数据是代表什么是本题解题关键,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.‎ ‎12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点,下列判断:①在上有2个最大值点;②在上最少3个零点,最多4个零点;③;④在上单调递减.其中所有正确判断的序号是( )‎ - 26 -‎ A. ④ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数在区间上有且仅有2个最小值点,画出函数图象,结合函数图象,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】是定义域为 在上有且仅有2个最小值点 解得:‎ 故③错误;‎ 当时,由 可得:‎ 由图象可知此时有个最大值 故①错误;‎ 当时,由 - 26 -‎ 可得 由图象可知此时有零点 故②错误;‎ 当时 可得:‎ 此时单调减函数,‎ 故④正确.‎ 综上所述,正确④‎ 故选:A ‎【点睛】本题的解题关键是掌握正弦函数图象特征,整体法求零点的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为约束条件,可化简为:,画岀可行域,目标函数,变形为,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ - 26 -‎ 化简为:‎ 画岀可行域和目标函数,如图:‎ 目标函数,变形为 联立,解得,即点 当过与点时,在轴截距最大 目标函数的最大值为:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.‎ ‎14.已知函数,,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数,,可得:,即,求得值,根据均值不等式,即可求得最小值.‎ ‎【详解】函数,‎ ‎,可得:‎ - 26 -‎ 故:,且 根据均值不等式:‎ 当且仅当取等号 的最小值为:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值问题,解题关键是掌握均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值时,要注意验证等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎15.已知,分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为,若,则双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程,联立求出点的坐标,根据,求出,之间的关系,进而求出离心率即可.‎ ‎【详解】以为直径的圆的圆心是,半径为:;‎ 故圆的标准方程为:‎ 又双曲线的其中一条渐近线方程为:‎ 不妨设在第一象限 联立可得:‎ ‎,‎ 根据两点间距离公式可得:‎ - 26 -‎ 故:‎ 可得:‎ ‎,即 双曲线的离心率为:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率问题,解题关键是掌握双曲线离心率定义,根据所给条件,求出关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,,E为PD中点,过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M,N,且,则________;四边形EMBN的面积为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延伸平面,交所在的平面于,即平面平面,可得,在三角形和中,利用平面几何三角形全等和平行线中的比例关系可得;至于四边形EMBN的面积,连接,,可证明,求出 的长度,通过面积公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ - 26 -‎ 延伸平面,交所在的平面于,即平面平面,‎ 又平面平面,‎ ‎,即三点共线,‎ 又,由线面平行的性质定理可得,‎ 则,即,‎ 点为的中点,又E为PD中点,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,又,‎ ‎,则,‎ 过作交于点,‎ ‎,‎ 则,‎ ‎;‎ 连接,‎ 由同理可得,‎ ‎,‎ 又平面ABCD,平面ABCD,‎ ‎,又,‎ 面,又面,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ 所以四边形EMBN的面积为.‎ - 26 -‎ 故答案为:;.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线面平行的判定和性质,考查空间线面垂直的判定和性质,关键是利用线面平行的性质合理作出图像,考查学生的作图能力和计算能力,是中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.甲、乙两位战士参加射击比赛训练.从若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:‎ 甲82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎(1)用茎叶图表示这两组数据,并分别求两组数据的中位数;‎ ‎(2)现要从中选派一人参加射击比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位战士参加合适?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)茎叶图见解析,甲的中位数83,乙的中位数84;(2)派甲参赛比较合适,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将成绩的十位数作为茎,个位数作为叶,可得茎叶图,根据数的大小可得中位数; ‎ - 26 -‎ ‎(2)计算甲与乙的平均数与方差,即可求得结论.‎ ‎【详解】(1)作出茎叶图如图:‎ 从茎叶图中得出甲的中位数为,‎ 而乙的中位数为; ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎,,‎ 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图,考查平均数与方差的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎18.已知等差数列的公差为,前n项和为,且满足____________.(从①);②成等比数列;③,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题)‎ ‎(I)求;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(I)选择①②、①③、②③条件组合,均得﹔(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)先将①②③条件简化,再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可;‎ - 26 -‎ ‎(Ⅱ),利用错位相减法计算即可.‎ ‎【详解】(I)①由,得,即;‎ ‎②由,,成等比数列,得,,即﹔‎ ‎③由,得,即; ‎ 选择①②、①③、②③条件组合,均得、,即﹔ ‎ ‎(Ⅱ)由(I)得,‎ 所以,‎ ‎,‎ 两式相减得:, ‎ 得.‎ ‎【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题,涉及到基本量的计算,错位相减法求数列的和,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.‎ ‎19.如图所示,四棱柱,底面ABCD是以AB,CD为底边的等腰梯形,且,,.‎ ‎(1)求证:平面平面ABCD;‎ ‎(2)若,求三棱锥的体积.‎ - 26 -‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在中,利用余弦定理求出,可得,再加上,可得平面,进而可得平面平面ABCD;‎ ‎(2)取BD的中点O,由(1)可得出面ABCD,通过平面ABCD,得,代入条件可得答案.‎ ‎【详解】(1)中,,,,‎ 则, ‎ ‎,‎ 即,又,,‎ 平面,‎ 又面ABCD,所以平面平面ABCD. ‎ ‎(2)取BD的中点O,由于,所以,‎ 由(1)可知平面面ABCD,而平面面,‎ 平面,故面ABCD.‎ 因为,,则,‎ 因为平面ABCD,‎ 所以 ‎. ‎ - 26 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明,考查锥体体积的计算,关键是利用线线平行转换锥体的顶点求体积,是中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)讨论在区间上的单调性;‎ ‎(2)若恒成立,求实数a最大值.(e为自然对数的底)‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得,分,,讨论,可得在区间上的单调性;‎ ‎(2)将恒成立转化为恒成立,令,求导可得,可得,利用导数研究函数的单调性,以及,可得实数a的最大值.‎ ‎【详解】(1)由已知,‎ 时,﹔时,,‎ ‎①当时,在上单调递增;‎ ‎②当时,在上单调递减,上单调递增;‎ ‎③当时,在的单调递减; ‎ ‎(2)由已知恒成立,‎ 令,则,‎ - 26 -‎ 由(1)知:在上单调递减,在上单调递增,‎ 则,即 整理得, ‎ 令,恒成立,即在R上单调递增,‎ 而,,‎ 所以,即a的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,将恒成立问题转化为最值问题是关键,考查学生的转化能力及计算能力,是中档题.‎ ‎21.已知椭圆,过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A,B和C,D四点,其中A为椭圆E的右顶点.‎ ‎(1)求以AB为直径的圆的方程;‎ ‎(2)设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M,N两点,探究直线MN是否经过定点,若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)经过定点,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知得AB方程:,与椭圆方程联立可求出,则可求出以AB为直径的圆的圆心和半径,进而可求出圆的方程;‎ ‎(2)当CD斜率存在时,并设CD方程:,与椭圆方程联立,通过根与系数的关系可得以CD为直径的圆方程,将其与以AB为直径的圆的方程作差,可得直线MN的方程,进而可得直线MN过的定点,当CD斜率不存在时,直线MN也过的定点,进而可得答案.‎ ‎【详解】(1)由已知,则,故AB方程:,‎ - 26 -‎ 联立直线AB与椭圆方程,消去y可得:,得,即,‎ 从而以AB为直径的圆的圆心为,半径为,‎ 所以圆的方程为,‎ 即.;‎ ‎(2)①当CD斜率存在时,并设CD方程:,‎ 设,‎ 由,消去y得:,‎ 故,,‎ 从而,‎ ‎, ‎ 而以CD为直径的圆方程为:,‎ 即①,‎ 且以AB为直径的圆方程为②,‎ ‎②-①得直线,‎ 即 整理得,‎ 可得:,‎ 因为AB与 CD两条直线互异,则,‎ 即, ‎ - 26 -‎ 令,解得,即直线MN过定点; ‎ ‎②当CD斜率不存在时,CD方程:,知,,‎ 则以CD为直径的圆为,‎ 而以AB为直径的圆方程,‎ 两式相减得MN方程:,过点;‎ 综上所述,直线MN过定点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,注意两圆公共弦的求解以及已知直径求圆的方程的方法,是中档题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.平面直角坐标系xOy中,抛物线E顶点在坐标原点,焦点为.以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线E极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过点倾斜角为的直线l交E于M,N两点,若,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知,利用代入即可;‎ ‎(Ⅱ)设过点A的直线l参数方程为(t为参数)代入中得到根与系数的关系,再由,利用直线参数方程的几何意义解决.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意抛物线E的焦点为,所以标准方程为,‎ - 26 -‎ 故极坐标方程为﹔‎ ‎(Ⅱ)设过点A的直线l参数方程为(t为参数),‎ 代入,化简得,设所对的参数分别为 ‎,‎ 则,,‎ 且 ‎ 由,A在E内部,知,‎ 得或,‎ 所以,当时,解得,‎ 当时,解得 所以或.‎ ‎【点晴】本题考查普通方程与极坐标方程的互化,以及直线的参数方程的几何意义解决线段长度等问题,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎(Ⅰ)当时,不等式为,平方转化为解不等式即可;‎ ‎(Ⅱ)利用绝对值三角不等式即可证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,平方得,‎ 则,得,即或,‎ 所以,所求不等式的解集; ‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎, ‎ 又,‎ 所以,不等式得证.‎ ‎【点晴】本题考查解绝对值不等式以及利用绝对值三角不等式证明不等式,考查学生的数学运算能力,逻辑推理能力,是一道容易题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎